Набор Мультиброт

Мультиброт 3 в левом нижнем углу основной части.

деталь мультиЮля 8.

Мультиброт_4.

Продолжительность: 9 секунд. 0:09 Доступны субтитры. СС

Экспонента мультиброта 0–8

В математике набор Мультиброта — это набор значений на комплексной плоскости , абсолютное значение которого остается ниже некоторого конечного значения на протяжении итераций члена общего мономерного одномерного полинома семейства рекурсий . Имя представляет собой совокупность слов Multiple и Множество Мандельброта . То же самое можно применить и к набору Джулии , который называется набором Multijulia .

$z\mapsto z^{d}+c.\,$

где d ≥ 2. Показатель степени d можно далее обобщить до отрицательных и дробных значений.

Примеры

Случай

$d=2\,$

— это классическое множество Мандельброта, от которого и произошло название.

Наборы для других значений d также демонстрируют фрактальные изображения. когда они построены на комплексной плоскости.

Каждый из примеров различных степеней d, показанных ниже, построен в одном и том же масштабе. Значения c, принадлежащие множеству, выделены черным цветом. Значения c , которые имеют неограниченное значение при рекурсии и, следовательно, не принадлежат набору, отображаются разными цветами, которые отображаются в виде контуров, в зависимости от количества рекурсий, которые привели к превышению значения фиксированной величины в алгоритме Escape Time. .

Положительные силы

Пример d = 2 представляет собой исходное множество Мандельброта. Примеры для d > 2 часто называют мультибро-множествами . Эти наборы включают начало координат и имеют фрактальные периметры с ( d - 1)-кратной вращательной симметрией.

г ↦ г 2 + с

г ↦ г 3 + с

г ↦ г 4 + с

г ↦ г 5 + с

г ↦ г 6 + с

г ↦ г 96 + с

г ↦ г 96 + детализация х40

силы

Когда d отрицательно, набор кажется окружающим, но не включает начало координат. Однако это всего лишь артефакт фиксированного максимального радиуса, разрешенного алгоритмом Escape Time, и не является пределом наборов, которые на самом деле имеют форму посередине. без дырок (вы можете увидеть это, используя показатель Ляпунова [Нет дырок, потому что начало координат расходится до неопределенного значения , а не до бесконечности, потому что начало координат {0 или 0+0i}, возведенное в отрицательную степень, становится неопределенным]). Интересное сложное поведение наблюдается в контурах между множеством и началом координат в звездообразной области с (1 - d )-кратной вращательной симметрией. Кажется, что наборы имеют круглый периметр, однако это артефакт фиксированного максимального радиуса, разрешенного алгоритмом Escape Time, и не является пределом наборов, которые фактически простираются во всех направлениях до бесконечности.

г ↦ г −2 + с

г ↦ г −3 + с

г ↦ г −4 + с

г ↦ г −5 + с

г ↦ г −6 + с

Дробные степени

Рендеринг по экспоненте

Альтернативный метод — отобразить показатель степени вдоль вертикальной оси. Для этого необходимо либо зафиксировать действительное, либо мнимое значение и отобразить оставшееся значение по горизонтальной оси. Полученный набор поднимается вертикально от начала координат в узком столбце до бесконечности. Увеличение показывает возрастающую сложность. Первый заметный выступ или пик виден при показателе степени 2, месте традиционного набора Мандельброта на его поперечном сечении. Третье изображение здесь отображается на плоскости, зафиксированной под углом 45 градусов между реальной и воображаемой осями.

Мультиброт отображается с действительным значением по горизонтальной оси и экспонентой по вертикальной оси, мнимое значение зафиксировано на нуле.

Мультиброт отображается с мнимым значением по горизонтальной оси и показателем степени по вертикальной оси, реальное значение зафиксировано на нуле.

Мультиброт отображается с показателем степени на вертикальной оси вдоль плоскости, расположенной под углом 45 градусов между действительной и мнимой осями.

Рендеринг изображений

Все приведенные выше изображения визуализируются с использованием алгоритма Escape Time, который простым способом идентифицирует точки вне набора. Гораздо большую фрактальную детализацию можно выявить, построив показатель Ляпунова , как показано в примере ниже. Показатель Ляпунова — это скорость роста ошибок данной последовательности. Сначала вычислите последовательность итераций с N итерациями, затем вычислите показатель степени как

$\lambda =\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\ln |\mathbf {z} |$

и если показатель степени отрицателен, последовательность устойчива. Белые пиксели на картинке — это параметры c, для которых показатель степени положителен или нестабилен. Цветами показаны периоды циклов, к которым притягиваются орбиты. Все точки, окрашенные в темно-синий цвет (снаружи), притягиваются фиксированной точкой, все точки в середине (светло-синий) притягиваются циклом периода 2 и так далее.

Увеличенный первый квадрант множества мультибротов для итерации z ↦ z ⁻² + c визуализируется с помощью алгоритма Escape Time.

Увеличенный первый квадрант множества мультибротов для итерации z ↦ z ⁻² + c визуализируется с использованием показателя Ляпунова последовательности в качестве критерия устойчивости, а не с использованием алгоритма Escape Time. Проверка периодичности использовалась для раскрашивания набора в соответствии с периодом циклов орбит.

Псевдокод

ESCAPE TIME ALGORITHM
=====================

for each pixel on the screen do
    x = x0 = x co-ordinate of pixel
    y = y0 = y co-ordinate of pixel
  
    iteration := 0
    max_iteration := 1000
  
    while (x*x + y*y ≤ (2*2) and iteration < max_iteration do
        /* INSERT CODE(S)FOR Z^d FROM TABLE BELOW */
        iteration := iteration + 1
  
    if iteration = max_iteration then
        colour := black
    else
        colour := iteration
  
    plot(x0, y0, colour)

Комплексное значение z имеет координаты ( x , y ) на комплексной плоскости и возводится в различные степени внутри итерационного цикла с помощью кодов, показанных в этой таблице. Степени, не показанные в таблице, можно получить путем объединения показанных кодов.

С −2	С −1	С 2 (для множества Мандельброта)	С 3	С 5	С н
d=x^4+2*x^2*y^2+y^4 утверждать d != 0 xtmp = (x^2-y^2)/d+a y = -2*x*y/d+b х = xtmp	д=х^2+у^2 утверждать d != 0 х = х/д + а у= -у/д + б	xtmp=x^2-y^2 + а у=2*х*у + б х=xtmp	xtmp=x^3-3*x*y^2 + а у=3*х^2*уу^3 + б х=xtmp	xtmp=x^5-10*x^3*y^2+5*x*y^4 + a y=5*x^4*y-10*x^2*y^3+y^5 + b х=xtmp	xtmp=(x*x+y*y)^(n/2)*cos(n*atan2(y,x)) + a y=(x*x+y*y)^(n/2)*sin(n*atan2(y,x)) + b х=xtmp