Т-квадрат (фрактал)

Эта статья о двумерном фрактале в математике. Чтобы узнать о других значениях, см. Т-квадрат (значения) .

В математике Т -квадрат представляет собой двумерный фрактал . Он имеет границу бесконечной длины, ограничивающую конечную площадь. Его название происходит от инструмента для рисования, известного как Т-квадрат .

Алгоритмическое описание

Т-квадрат .

Его можно сгенерировать с помощью этого алгоритма :

1. Изображение 1:
   1. Начните с квадрата. (Черный квадрат на изображении)
2. Изображение 2:
   1. В каждом выпуклом углу предыдущего изображения поместите еще один квадрат с центром в этом углу, длина стороны которого равна половине квадрата предыдущего изображения.
   2. Возьмите объединение предыдущего изображения с набором меньших квадратов, расположенных таким образом.
3. Изображения 3–6:
   1. Повторите шаг 2.

Золотые квадраты с Т-образным разветвлением

Квадратные ветви, связанные соотношением 1/φ

Ветви квадратов, связанные 1/2

Метод создания довольно похож на тот, который использовался для создания снежинки Коха или треугольника Серпинского , «оба основаны на рекурсивном рисовании равносторонних треугольников и ковра Серпинского ».

Свойства

Фрактал Т-квадрат имеет фрактальную размерность ln(4)/ln(2) = 2. Черная поверхность присутствует почти повсюду в большом квадрате, поскольку, как только точка затемнена, она остается черной для каждой следующей итерации; однако некоторые точки остаются белыми.

Фрактальная размерность границы равна $\textstyle {{\frac {\log {3}}{\log {2}}}=1.5849...}$.

Используя математическую индукцию, можно доказать, что для каждого n ≥ 2 количество новых квадратов, добавляемых на этапе n, равно $4*3^{(n-1)}$.

Т-квадрат и игра хаоса

Фрактал Т-квадрат также может быть создан путем адаптации игры хаоса , в которой точка неоднократно прыгает на полпути к случайно выбранным вершинам квадрата. Т-квадрат появляется, когда точка прыжка не может нацелиться на вершину, расположенную прямо напротив ранее выбранной вершины. То есть, если текущая вершина — v [i], а предыдущая вершина была v [i-1], то v [i] ≠ v [i-1] + vinc , где vinc = 2 и модульная арифметика означает, что 3 + 2 = 1, 4 + 2 = 2:

Randomly chosen v [i] ≠ v [i-1] + 2

Если vinc заданы разные значения, появляются алломорфы Т-квадрата, которые вычислительно эквивалентны Т-квадрату, но сильно отличаются по внешнему виду:

Randomly chosen v [i] ≠ v [i-1] + 0

Randomly chosen v [i] ≠ v [i-1] + 1

Т-квадрат и

Фрактал Т-квадрат можно получить из треугольника Серпинского и наоборот, регулируя угол, под которым подэлементы исходного фрактала добавляются от центра наружу.

Треугольник Серпинского превращается во фрактал Т-квадрат

См. также

• Список фракталов по размерности Хаусдорфа
• Последовательность «Зубочистка» создает аналогичный шаблон.
• H-дерево

Дальнейшее чтение

• Хамма, Алиосция; Лидар, Дэниел А.; Северини, Симона (2010). «Запутанность и закон площади с фрактальной границей в топологически упорядоченной фазе». Физ. Преподобный А. Том. 82. дои : 10.1103/PhysRevA.81.010102 .
• Ахмед, Эмад С. (2012). «Двухрежимный двухполосный микрополосковый полосовой фильтр на основе фрактала Т-квадрата четвертой итерации и закорачивающего штифта». Радиотехника . 21 (2): 617.