Фрактальные шутки

В математике фрактал Вичека , также известный как снежинка Вичека или фрактал коробки , ^[1]^[2] фрактал, возникающий из конструкции, подобной конструкции ковра Серпинского , предложенной Тамашем Вичеком . Он имеет применение, в том числе в качестве компактных антенн , особенно в сотовых телефонах.

Фрактал коробки также относится к различным итерированным фракталам, созданным с помощью квадратной или прямоугольной сетки с удаленными или отсутствующими различными прямоугольниками, и на каждой итерации присутствующие и / или отсутствующие прямоугольники уменьшают и рисуют внутри них предыдущее изображение. Треугольник Серпинского можно аппроксимировать прямоугольником $2 \times 2$ с удаленным одним углом. Ковер Серпинского представляет собой $фрактал размером 3 \times 3$ с удаленным средним квадратом.

Строительство [ править ]

Основной квадрат разбивается на девять меньших квадратов в сетке 3х3. Четыре квадрата по углам и средний квадрат остаются, остальные квадраты удаляются. Процесс повторяется рекурсивно для каждого из пяти оставшихся подквадратов. Фрактал Вичека — это набор, полученный на пределе этой процедуры. Хаусдорфова размерность этого фрактала равна $\textstyle {\frac {\log(5)}{\log(3)}}$ ≈ 1.46497.

Альтернативная конструкция (показана ниже на левом изображении) состоит в том, чтобы удалить четыре угловых квадрата и оставить средний квадрат и квадраты сверху, снизу, слева и справа от него. Обе конструкции создают одинаковые ограничивающие кривые, но одна повернута на 45 градусов относительно другой.

Самоподобие I — удаление угловых квадратов.
Самоподобия II — сохранение угловых квадратов.4

Кривая антиперекрестной вышивки , итерации 0-4

Свойства [ править ]

Фрактал Вичека обладает удивительным свойством: он имеет нулевую площадь и бесконечный периметр из- за своей нецелочисленной размерности. На каждой итерации четыре квадрата удаляются на каждые пять оставшихся, а это означает, что на итерации n площадь равна $\textstyle {({\frac {5}{9}})^{n}}$ (при условии, что исходный квадрат имеет длину стороны 1). Когда n приближается к бесконечности, площадь приближается к нулю. Однако периметр $\textstyle {4({\frac {5}{3}})^{n}}$ , потому что каждая сторона разделена на три части, а центральная заменяется тремя сторонами, что дает увеличение от трех до пяти. Периметр приближается к бесконечности по мере увеличения n .

Границей фрактала Вичека является квадратичная кривая Коха 1-го типа .

Аналоги в высших измерениях [ править ]

Полет к трехмерному фракталу Вичека и вокруг него

Существует трехмерный аналог фрактала Вичека. Он построен путем разделения каждого куба на 27 меньших и удаления всего, кроме «центрального креста», центрального куба и шести кубов, соприкасающихся с центром каждой грани. Его хаусдорфова размерность равна $\textstyle {\frac {\log(7)}{\log(3)}}$ ≈ 1.7712.

Подобно двумерному фракталу Вичека, эта фигура имеет нулевой объем. На каждой итерации сохраняется 7 кубов на каждые 27, в результате чего получается объем $\textstyle {({\frac {7}{27}})^{n}}$ на итерации n , которая приближается к нулю, когда n приближается к бесконечности.

Существует бесконечное количество сечений , которые образуют двумерный фрактал Вичека.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Шань Фуци; Гу Хунмин; Гао Баосинь (2004). «Анализ фрактальной патч-антенны Вичека». 4-я Международная конференция ICMMT по технологиям микроволнового и миллиметрового диапазона, 2004 г. Пекин, Китай: IEEE. стр. 98–101. дои : 10.1109/ICMMT.2004.1411469 . ISBN 9780780384019 . S2CID 44047788 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Фрактал коробки» . Математический мир .
^ «Коробочные фракталы» . 03.01.2014.

Внешние ссылки [ править ]

«Коробочный фрактал» . Вольфрама Альфа -сайт . Проверено 21 февраля 2019 г.

[1] Шань Фуци; Гу Хунмин; Гао Баосинь (2004). «Анализ фрактальной патч-антенны Вичека». 4-я Международная конференция ICMMT по технологиям микроволнового и миллиметрового диапазона, 2004 г. Пекин, Китай: IEEE. стр. 98–101. дои : 10.1109/ICMMT.2004.1411469 . ISBN 9780780384019 . S2CID 44047788 .

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Фрактал коробки» . Математический мир .

[3] «Коробочные фракталы» . 03.01.2014.

[1]

[2]

[3]

v т и Фракталы
Характеристики	Фрактальные измерения Ассуад Подсчет коробок Хигучи Корреляция Хаусдорф Упаковка Топологический Рекурсия Самоподобие
Итерированная функция система	Папоротник Барнсли Канторовский набор Снежинка Коха Моя губка Ковер Серпинского Треугольник Серпинского Аполлоническая прокладка Слово Фибоначчи Кривая заполнения пространства Кривая Бланманже Кривая Де Рама Минковский Кривая дракона Кривая Гильберта кривая Коха Кривая Леви C Кривая Мура Кривые Пеано Кривая Серпинского Кривая Z-порядка Нить Т-квадрат н-хлопья Фрактальные шутки шестихлопьевидный Кривая Госпера Дерево Пифагора Функция Вейерштрасса
Странный аттрактор	Мультифрактальная система
L-система	Фрактальный навес Кривая заполнения пространства H-дерево
Время побега фракталы	Фрактал горящего корабля Джулия сет Заполненный Ньютон фрактал Кролик Дуади Ляпунов фрактал Набор Мандельброта точка Мисюревича Набор Мультиброт Ньютон фрактал Треуголка Мандельбокс Мандельбулба
рендеринга Методы	Буддадброт Орбитальная ловушка Пиковерный стебель
Случайные фракталы	Броуновское движение Броуновское дерево Броуновский двигатель Фрактальный пейзаж полет Леви Теория перколяции Самоизбегающая прогулка
Люди	Майкл Барнсли Георг Кантор Билл Госпер Феликс Хаусдорф Десмонд Пол Генри Гастон Джулия Хельге фон Кох Пол Леви Aleksandr Lyapunov Бенуа Мандельброт Хамид Надери Йегане Льюис Фрай Ричардсон Вацлав Серпиньский
Другой	« Какова длина побережья Британии? » Парадокс береговой линии Фрактальное искусство Список фракталов по размерности Хаусдорфа Фрактальная геометрия природы (книга 1982 г.) Красота фракталов (книга 1986 г.) Хаос: создание новой науки (книга 1987 г.) Калейдоскоп Теория хаоса