Дерево Пифагора (фрактал)

Анимация несовершенно похожего на себя дерева Пифагора

Дерево Пифагора с углом 25 градусов и плавной окраской.

Дерево Пифагора представляет собой плоский фрактал, построенный из квадратов . Изобретён голландским учителем математики Альбертом Э. Босманом в 1942 году. он назван в честь древнегреческого математика Пифагора, потому что каждая тройка соприкасающихся квадратов заключает в себе прямоугольный треугольник в конфигурации, традиционно используемой для изображения теоремы Пифагора .Если самый большой квадрат имеет размер L × L , все дерево Пифагора плотно умещается внутри коробки размером 6 × 4 L. L Более мелкие детали дерева напоминают кривую C Леви .

Строительство

Построение дерева Пифагора начинается с квадрата . На этом квадрате строятся два квадрата, каждый из которых уменьшен в линейный коэффициент √ 2/2 , так что углы квадратов попарно совпадают. применяется Затем та же процедура рекурсивно к двум меньшим квадратам, до бесконечности . На иллюстрации ниже показаны первые несколько итераций процесса построения.

Construction of the Pythagoras tree, order 0	Order 1	Order 2	Order 3
Заказать 0	Заказ 1	Заказ 2	Заказ 3

Это простейший симметричный треугольник. Альтернативно, стороны треугольника имеют рекурсивно равные пропорции, что приводит к тому, что стороны пропорциональны квадратному корню из обратного золотого сечения, а площади квадратов находятся в пропорции золотого сечения.

Площадь

Итерация n в конструкции добавляет 2 ^н квадраты площади ${\tfrac {1}{2^{n}}}$, для общей площади 1. Таким образом, может показаться, что площадь дерева неограниченно растет в пределе при n → ∞. Однако некоторые квадраты перекрываются, начиная с итерации порядка 5, и на самом деле дерево имеет конечную площадь, поскольку оно помещается внутри блока 6×4.

Легко показать, что площадь A дерева Пифагора должна находиться в диапазоне 5 < A < 18, который можно сузить еще больше, приложив дополнительные усилия. мало что известно о фактической стоимости A. Кажется ,

Изменение угла

Интересный набор вариантов можно создать, сохранив равнобедренный треугольник, но изменив угол при основании (90 градусов для стандартного дерева Пифагора). В частности, когда базовый полуугол установлен равным (30°) = arcsin(0,5), легко увидеть, что размер квадратов остается постоянным. Первое перекрытие происходит на четвертой итерации. Общий полученный узор представляет собой ромботригексагональную мозаику , массив шестиугольников, окаймленный строительными квадратами.

Заказ 4	Заказать 10

В пределе, когда полуугол равен 90 градусам, очевидно, что перекрытия нет, а общая площадь в два раза превышает площадь основного квадрата.

История

Дерево Пифагора было впервые построено Альбертом Э. Босманом (1891–1961), голландским учителем математики, в 1942 году.

См. также

• Кривая Леви C

Внешние ссылки

• Галерея деревьев Пифагора
• Дерево Пифагора, заполненное с использованием VB6, Эдвард Боул (Болиман)
• Интерактивный генератор с кодом
• «Дерево Пифагора различной геометрии, а также в 3D» . Архивировано из оригинала 15 января 2008 г.
• Дерево Пифагора Энрике Зелени на основе программы Эрика В. Вайсстейна , Демонстрационный проект Вольфрама .
• Вайсштейн, Эрик В. «Дерево Пифагора» . Математический мир .
• Трехмерное дерево Пифагора
• Скрипт MatLab для создания дерева Пифагора
• Строительство шаг за шагом в программе виртуальной реальности Neotrie VR.
• Пурахмадазар, Дж.; Гобади, К.; Нуриния, Дж. (2011). «Новые модифицированные фрактальные монопольные антенны из дерева Пифагора для приложений СШП». Антенны IEEE и письма о распространении беспроводной связи . 10 . Нью-Йорк: IEEE: 484–487. Бибкод : 2011IAWPL..10..484P . дои : 10.1109/LAWP.2011.2154354 .