точка Мисюревича

Предпериодическая орбита.

В математике точка Мисюревича — значение параметра в множестве Мандельброта ( пространстве параметров комплексных квадратичных отображений ), а также в вещественных квадратичных отображениях интервала. для которого критическая точка является строго предпериодической (т. е. она становится периодической после конечного числа итераций, но сама не является периодической). По аналогии, термин «точка Мисюревича» также используется для параметров мультиброт -множества , где единственная критическая точка строго предпериодична. Этот термин имеет меньше смысла для карт в большей степени, которые имеют более одной свободной критической точки, поскольку некоторые критические точки могут быть периодическими, а другие — нет. Эти точки названы в честь польско-американского математика Михала Мисюревича , который первым их изучил.

Главный Мисюревич точка следа 1/31

Математические обозначения

Параметр $c$ это точка Мисюревича $M_{k,n}$ если он удовлетворяет уравнениям:

$f_{c}^{(k)}(z_{cr})=f_{c}^{(k+n)}(z_{cr})$

и:

$f_{c}^{(k-1)}(z_{cr})\neq f_{c}^{(k+n-1)}(z_{cr})$

так:

$M_{k,n}=c:f_{c}^{(k)}(z_{cr})=f_{c}^{(k+n)}(z_{cr})$

где:

• $z_{cr}$ является критической точкой $f_{c}$,
• $k$ и $n$ являются положительными целыми числами,
• $f_{c}^{(k)}$ обозначает $k$-я итерация $f_{c}$.

Имя

Термин «точка Мисюревича» используется неоднозначно: первоначально Мисюревич исследовал карты, в которых все критические точки были неповторяющимися; то есть в которой для каждой критической точки существует окрестность, которую не посещает орбита этой критической точки. Это значение прочно утвердилось в контексте динамики итерированных карт интервалов. Лишь в очень особых случаях квадратичный многочлен имеет строго периодическую и единственную критическую точку. В этом ограниченном смысле этот термин используется в сложной динамике; более подходящим вариантом были бы точки Мисюревича-Терстона (в честь Уильяма Терстона , исследовавшего посткритически конечные рациональные карты).

Квадратичные карты

Комплексный квадратичный многочлен имеет только одну критическую точку. Подходящим сопряжением любой квадратичный многочлен можно преобразовать в отображение вида $P_{c}(z)=z^{2}+c$ который имеет единственную критическую точку $z=0$. Точки Мисюревича этого семейства отображений являются корнями уравнений:

$P_{c}^{(k)}(0)=P_{c}^{(k+n)}(0),$

При условии, что критическая точка не является периодической, где:

• k — предпериод
• n - период
• $P_{c}^{(n)}=P_{c}(P_{c}^{(n-1)})$ обозначает n -кратную композицию ​ $P_{c}(z)=z^{2}+c$ сам с собой, т.е. n ^й итерация ​ $P_{c}$.

Например, точки Мисюревича с k = 2 и n = 1, обозначаемые M _2,1 , являются корнями:

${\begin{aligned}&P_{c}^{(2)}(0)=P_{c}^{(3)}(0)\\\Rightarrow {}&c^{2}+c=(c^{2}+c)^{2}+c\\\Rightarrow {}&c^{4}+2c^{3}=0.\end{aligned}}$

Корень c = 0 не является точкой Мисюревича, поскольку критическая точка является фиксированной точкой, когда c = 0, и поэтому является периодической, а не предпериодической. В результате остается единственная точка Мисюревича M _2,1 в точке c = −2.

комплексного квадратичного

Точки Мисюревича принадлежат и плотны на ней . границе множества Мандельброта

Если $c$ является точкой Мисюревича, то соответствующее заполненное множество Жюлиа равно множеству Жюлиа и означает, что заполненное множество Жюлиа не имеет внутренней части .

Если $c$ является точкой Мисюревича, то в соответствующем множестве Жюлиа все периодические циклы отталкиваются (в частности, цикл, на который попадает критическая орбита).

Множество Мандельброта и множество Юлии. $J_{c}$ локально асимптотически самоподобны вокруг точек Мисюревича.

Типы

Точки Мисюревича в контексте множества Мандельброта можно классифицировать по нескольким критериям. Одним из таких критериев является количество внешних лучей, сходящихся в такой точке. Точки ветвления, которые могут разделить множество Мандельброта на две или более подобласти, имеют три или более внешних аргумента (или углов) . Точки неветвления имеют ровно два внешних луча (они соответствуют точкам, лежащим на дугах множества Мандельброта). Эти точки, не являющиеся ветвями, обычно более тонкие, и их сложнее идентифицировать в визуальных представлениях. Конечные точки, или кончики ветвей, имеют только один сходящийся к ним внешний луч. Другим критерием классификации точек Мисюревича является их появление на графике подмножества множества Мандельброта. Точки Мисюревича можно найти в центрах спиралей, а также в точках пересечения двух и более ветвей. Согласно теореме ветвления множества Мандельброта, все точки ветвления множества Мандельброта являются точками Мисюревича.

Большинство параметров Мисюревича в множестве Мандельброта имеют «центр спирали». Это происходит из-за поведения параметра Мисюревича, когда критическое значение переходит в отталкивающий периодический цикл после конечного числа итераций. В каждой точке цикла множество Жюлиа демонстрирует асимптотическое самоподобие посредством комплексного умножения на производную этого цикла. Если производная недействительна, это означает, что множество Жюлиа вблизи периодического цикла имеет спиральную структуру. Следовательно, подобная спиральная структура возникает в множестве Жюлиа вблизи критического значения, а по теореме Тан Лея также и в множестве Мандельброта вблизи любого параметра Мисюревича, для которого отталкивающая орбита имеет недействительный множитель. Видимость спиральной формы зависит от значения этого множителя. Число ветвей спирали соответствует числу ветвей параметра Мисюревича, который, в свою очередь, равен количеству ветвей при критическом значении множества Жюлиа. Даже главная точка Мисюревича в 1/3-лимбе, расположенная на концах параметрических лучей под углами 9/56, 11/56 и 15/56, асимптотически представляет собой спираль с бесконечным числом витков, хотя это трудно объяснить. различать без увеличения.

Внешние аргументы

Внешние аргументы очков Мисюревича, измеряемые по очереди, таковы:

• Рациональные числа
• Правильные дроби с четным знаменателем
  • Двоичные дроби со знаменателем $=2^{b}$ и конечное ( завершающее ) расширение:
    $${\frac {1}{2}}_{10}=0.5_{10}=0.1_{2}$$
  • Дроби со знаменателем $=a\cdot 2^{b}$ и повторяющееся расширение :
    $${\frac {1}{6}}_{10}={\frac {1}{2\times 3}}_{10}=0.16666..._{10}=0.0(01)..._{2}.$$

где: a и b — положительные целые числа, а b — нечетное число, индекс показывает основание системы счисления .

комплексного квадратичного

Конечные точки

Орбита критической точки $z=0$ под $f_{-2}$

$c=M_{2,1}$

Точка $c=M_{2,2}=i$ считается конечной точкой, поскольку это кончик нити, и точка приземления внешнего луча для угла 1/6. Его критическая орбита $\{0,i,i-1,-i,i-1,-i...\}$.

Точка $c=M_{2,1}=-2$ считается конечной точкой, поскольку это конечная точка основной антенны множества Мандельброта. и точка приземления только одного внешнего луча (параметрического луча) с углом 1/2. Его также считают конечной точкой, поскольку его критическая орбита равна $\{0,-2,2,2,2,...\}$, следующая символическая последовательность = CLRRR... с предпериодом 2 и периодом 1.

Точки ветвления

Увеличьте масштаб главной точки Мисюревича на периоды от 2 до 1024.

$c=M_{4,1}$

Точка $c=-0.10109636384562...+i\,0.95628651080914...=M_{4,1}$ считается точкой ветвления, поскольку она является главной точкой Мисюревича лимба 1/3 и имеет 3 внешних луча: 9/56, 11/56 и 15/56.

Другие моменты

Это точки, которые не являются ветвями и неконечными точками.

$c=M_{23,2}$

Точка $c=-0.77568377+i\,0.13646737$ находится недалеко от точки Мисюревича $M_{23,2}$. Это можно увидеть, потому что это центр двулучевой спирали, точка приземления двух внешних лучей с углами: ${\frac {8388611}{25165824}}$ и ${\frac {8388613}{25165824}}$ где знаменатель $3*2^{23}$, и имеет предпериодическую точку с предпериодом $k=23$ и период $n=2$

Точка $c=-1.54368901269109$ находится недалеко от точки Мисюревича $M_{3,1}$, так как это точка приземления пары лучей: ${\frac {5}{12}}$, ${\frac {7}{12}}$ и имеет предменструальный период $k=3$ и период $n=1$.

См. также

• Арифметическая динамика
• Точка фигового дерева
• Дендрит (математика)

Дальнейшее чтение

• Михал Мисюревич (1981), «Абсолютно непрерывные меры для некоторых отображений интервала» (на французском языке) . Publications Mathématiques de l'IHÉS, 53 (1981), с. 17-51

Внешние ссылки

• Предпериодические точки (Мисюревича) в наборе Мандельброта Евгения Демидова
• M&J-устанавливает сходство для предпериодических точек. Теорема Лея Дугласа К. Равенела
• Мисюревич Точка логистической карты Спротта Дж. К.