Теорема о ветвлении

В математике теорема ветвления — это теорема о римановых поверхностях . что каждая непостоянная голоморфная функция является локально многочленом Интуитивно понятно , .

Формулировка теоремы

Позволять $X$ и $Y$ — римановы поверхности, и пусть $f:X\to Y$ — непостоянное голоморфное отображение. Исправить точку $a\in X$ и установить $b:=f(a)\in Y$ . Тогда существуют $k\in \mathbb {N}$ и графики $\psi _{1}:U_{1}\to V_{1}$ на $X$ и $\psi _{2}:U_{2}\to V_{2}$ на $Y$ такой, что

$\psi _{1}(a)=\psi _{2}(b)=0$ ; и
$\psi _{2}\circ f\circ \psi _{1}^{-1}:V_{1}\to V_{2}$ является $z\mapsto z^{k}.$

Эта теорема порождает несколько определений:

Мы звоним $k$ множественность из $f$ в $a$ . Некоторые авторы обозначают это $\nu (f,a)$ .
Если $k>1$ , точка $a$ называется ветвления точкой $f$ .
Если $f$ не имеет точек ветвления, его называют неразветвленным . См. также неразветвленный морфизм .