Кривая Де Рама

В математике кривая де Рама — это непрерывная фрактальная кривая, полученная как образ канторова пространства или, что то же самое, из разложения по основанию двойки действительных чисел в единичном интервале. Многие известные фрактальные кривые, в том числе функция Кантора , кривая Чезаро-Фабера ( кривая Леви C ), функция вопросительного знака Минковского , кривая Бланманже и кривая Коха , являются примерами кривых де Рама. Общий вид кривой был впервые описан Жоржем де Рамом в 1957 году.

Строительство

Рассмотрим некоторое полное метрическое пространство $(M,d)$ (в целом $\mathbb {R}$² с обычным евклидовым расстоянием) и пару сжимающих отображений на M:

$d_{0}:\ M\to M$

$d_{1}:\ M\to M.$

По теореме Банаха о неподвижной точке они имеют неподвижные точки. $p_{0}$ и $p_{1}$ соответственно. Пусть x — действительное число из интервала $[0,1]$, имеющий двоичное расширение

$x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {b_{k}}{2^{k}}},$

где каждый $b_{k}$ равно 0 или 1. Рассмотрим карту

$c_{x}:\ M\to M$

определяется

$c_{x}=d_{b_{1}}\circ d_{b_{2}}\circ \cdots \circ d_{b_{k}}\circ \cdots ,$

где $\circ$ обозначает композицию функций . Можно показать, что каждый $c_{x}$ составит карту общего бассейна притяжения $d_{0}$ и $d_{1}$ в одну точку $p_{x}$ в $M$. Сбор очков $p_{x}$, параметризованная одним вещественным параметром x , известна как кривая де Рама.

Условие непрерывности

Построение в терминах двоичных цифр можно понимать двумя разными способами. Один из способов — это отображение канторова пространства на отдельные точки плоскости. Канторово пространство — это совокупность всех строк двоичных цифр бесконечной длины. Это дискретное пространство , и оно несвязно . Канторово пространство можно отобразить на единичный действительный интервал, рассматривая каждую строку как двоичное разложение действительного числа. На этой карте двоичные рациональные числа имеют два различных представления в виде строк двоичных цифр. Например, у действительного числа одна половина есть два эквивалентных двоичных представления: $h_{1}=0.1000\cdots$ и $h_{0}=0.01111\cdots$ Это аналогично тому, как 0,999...=1,000... в десятичном представлении. Две точки $h_{0}$ и $h_{1}$ являются различными точками в канторовом пространстве, но обе они отображаются в вещественное число половина. Таким образом, действительные числа единичного интервала представляют собой непрерывный образ канторова пространства.

То же понятие непрерывности применяется к кривой де Рама, требуя, чтобы неподвижные точки были парными, так что

$d_{0}(p_{1})=d_{1}(p_{0})$

При таком спаривании двоичные разложения двоичных рациональных чисел всегда сопоставляются с одной и той же точкой, обеспечивая тем самым непрерывность в этой точке. Рассмотрим поведение на половине. Для любой точки p на плоскости есть две различные последовательности:

$d_{0}\circ d_{1}\circ d_{1}\circ d_{1}\circ \cdots (p)$

и

$d_{1}\circ d_{0}\circ d_{0}\circ d_{0}\circ \cdots (p)$

соответствующий двум двоичным разложениям $1/2=0.01111\cdots$ и $1/2=0.1000\cdots$. Поскольку обе карты сжимаются, первая последовательность сходится к $d_{0}(p_{1})$ и второй к $d_{1}(p_{0})$. Если эти два числа равны, то оба двоичных расширения 1/2 соответствуют одной и той же точке. Этот аргумент можно повторить в любой двоично-рациональной точке, обеспечивая таким образом непрерывность в этих точках. Действительные числа, не являющиеся двоично-рациональными, имеют только одно единственное двоичное представление, и из этого следует, что кривая не может быть разрывной в таких точках. Полученная кривая де Рама $p_{x}$ является непрерывной функцией x при всех x .

В общем случае кривые де Рама не дифференцируемы.

Свойства

Кривые де Рама по построению самоподобны, поскольку

$p(x)=d_{0}(p(2x))$ для $x\in [0,1/2]$ и

$p(x)=d_{1}(p(2x-1))$ для $x\in [1/2,1].$

Самосимметрии всех кривых де Рама задаются моноидом , который описывает симметрии бесконечного двоичного дерева или пространства Кантора . Этот так называемый моноид удвоения периода является подмножеством модулярной группы .

Изображение точек кривой, т.е. множество $\{p(x),x\in [0,1]\}$, может быть получено с помощью итерированной системы функций с использованием набора сжимающих отображений $\{d_{0},\ d_{1}\}$. Но результат итерированной системы функций с двумя сжимающими отображениями является кривой де Рама тогда и только тогда, когда сжимающие отображения удовлетворяют условию непрерывности.

Подробные проработанные примеры самоподобия можно найти в статьях о функции Кантора и о функции вопросительного знака Минковского . Точно такой же моноид самоподобий, диадический моноид , применим к каждой кривой де Рама.

Классификация и примеры

Следующие системы генерируют непрерывные кривые.

Кривые Чезаро

Кривая Чезаро для a = 0,3 + i 0,3

Кривая Чезаро для a = 0,5 + i 0,5. Это кривая Леви C.

Кривые Чезаро , также известные как кривые Чезаро-Фабера или кривые Леви C , представляют собой кривые Де Рама, порожденные аффинными преобразованиями, сохраняющими ориентацию , с фиксированными точками. $p_{0}=0$ и $p_{1}=1$.

Из-за этих ограничений кривые Чезаро однозначно определяются комплексным числом $a$ такой, что $|a|<1$ и $|1-a|<1$.

Отображения сжатия $d_{0}$ и $d_{1}$ затем определяются как комплексные функции в комплексной плоскости следующим образом:

$d_{0}(z)=az$

$d_{1}(z)=a+(1-a)z.$

По стоимости $a=(1+i)/2$, результирующая кривая является C. кривой Леви

Кривые Коха – Пеано

Кривая Коха–Пеано для a = 0,6 + i 0,37. Это близко, но не совсем к кривой Коха .

Кривая Коха–Пеано для a = 0,6 + i 0,45.

Аналогичным образом мы можем определить семейство кривых Коха – Пеано как набор кривых Де Рама, порожденных аффинными преобразованиями, меняющими ориентацию, с неподвижными точками $p_{0}=0$ и $p_{1}=1$.

Эти отображения выражаются в комплексной плоскости как функция ${\overline {z}}$, комплексно- сопряженное $z$:

$d_{0}(z)=a{\overline {z}}$

$d_{1}(z)=a+(1-a){\overline {z}}.$

Название семьи происходит от двух самых известных ее членов. Кривую Коха получают, полагая:

$a_{\text{Koch}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{6}},$

а кривая Пеано соответствует:

$a_{\text{Peano}}={\frac {(1+i)}{2}}.$

Кривая де Рама для $a=(1+ib)/2$ для значений $b$ чуть менее единицы визуально напоминает кривую Осгуда . Эти две кривые тесно связаны, но не совпадают. Кривая Осгуда получается путем многократного вычитания множества и, таким образом, представляет собой идеальное множество , во многом похожее на само множество Кантора . Конструкция множества Осгуда требует вычитания все меньших треугольников, оставляя после себя «толстый» набор ненулевой меры; конструкция аналогична толстому множеству Кантора , имеющему ненулевую меру . Напротив, кривая де Рама не является «толстой»; конструкция не предлагает способа «утолщить» «отрезки прямых», которые проходят «между» диадтическим рациональными числами.

Общие аффинные карты

Общая аффинная кривая де Рама

Общая аффинная кривая де Рама

Общая аффинная кривая де Рама

Общая аффинная кривая де Рама

Кривые Чезаро–Фабера и Пеано–Коха являются частными случаями общего случая пары аффинных линейных преобразований на комплексной плоскости. Фиксируя одну конечную точку кривой в 0, а другую в единице, общий случай получается путем итерации двух преобразований

$d_{0}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\alpha &\delta \\0&\beta &\varepsilon \end{pmatrix}}$

и

$d_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\\alpha &1-\alpha &\zeta \\\beta &-\beta &\eta \end{pmatrix}}.$

Будучи аффинными преобразованиями , эти преобразования действуют в точке $(u,v)$ двумерной плоскости, действуя на вектор

${\begin{pmatrix}1\\u\\v\end{pmatrix}}.$

Видно, что середина кривой находится в точке $(u,v)=(\alpha ,\beta )$; остальные четыре параметра можно варьировать для создания самых разнообразных кривых.

Кривая бланманже параметра $w$ можно получить, установив $\alpha =\beta =1/2$, $\delta =\zeta =0$ и $\varepsilon =\eta =w$. То есть:

$d_{0}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1/2&0\\0&1/2&w\end{pmatrix}}$

и

$d_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\1/2&1/2&0\\1/2&-1/2&w\end{pmatrix}}.$

Поскольку кривая бланманже для параметра $w=1/4$ является параболой уравнения $f(x)=4x(1-x)$, это иллюстрирует тот факт, что в некоторых случаях кривые де Рама могут быть гладкими.

Функция вопросительного знака Минковского

Функция вопросительного знака Минковского генерируется парой карт

$d_{0}(z)={\frac {z}{z+1}}$

и

$d_{1}(z)={\frac {1}{2-z}}.$

Непримеры

Учитывая любые две функции $d_{0}$ и $d_{1}$, можно определить отображение из пространства Кантора путем повторной итерации цифр точно так же, как и для кривых де Рама. В общем случае результат не будет кривой де Рама, если не выполняются условия непрерывности. Таким образом, существует множество множеств, которые могут находиться во взаимно однозначном соответствии с канторовым пространством, точки которого могут быть однозначно помечены точками в канторовом пространстве; однако это не кривые де Рама, когда двоичные рациональные числа не отображаются в одну и ту же точку.

из множества

Множество Мандельброта генерируется с помощью удвоения периода итерированного уравнения $z_{n+1}=z_{n}^{2}+c.$ Соответствующий набор Жюлиа получается путем итерации в противоположном направлении. Это делается путем написания $z_{n}=\pm {\sqrt {z_{n+1}-c}}$, что дает два различных корня, которые можно выполнить при прямой итерации $z_{n+1}$ «пришел откуда». Эти два корня можно различить как

$d_{0}(z)=+{\sqrt {z-c}}$

и

$d_{1}(z)=-{\sqrt {z-c}}.$

Исправление комплексного числа $c$, результатом является набор Джулии для этого значения $c$. Эта кривая является непрерывной, когда $c$ находится внутри множества Мандельброта; в противном случае это бессвязная пыль точек. Однако причина непрерывности не связана с условием де Рама, поскольку, вообще говоря, точки, соответствующие двоичным рациональным числам, находятся далеко друг от друга. Фактически, это свойство можно использовать для определения понятия «полярных противоположностей», сопряженных точек в множестве Жюлиа.

Обобщения

Определение легко обобщить, используя более двух сжимающих отображений. Если используется n отображений, то n -арное разложение x необходимо использовать вместо двоичного разложения действительных чисел . Условие непрерывности должно быть обобщено на:

$d_{i}(p_{n-1})=d_{i+1}(p_{0})$, для $i=0\ldots n-2.$

Это условие непрерывности можно понять на следующем примере. Предположим, кто-то работает в системе счисления с основанием 10. Тогда получается (как известно) 0,999...= 1,000... что представляет собой уравнение непрерывности, которое должно соблюдаться в каждом таком разрыве. То есть, учитывая десятичные цифры $b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k}$ с $b_{k}\neq 9$, у одного есть

$b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k},9,9,9,\cdots =b_{1},b_{2},\cdots ,b_{k}+1,0,0,0,\cdots$

Такое обобщение позволяет, например, создать кривую со стрелкой Серпинского (образом которой является треугольник Серпинского ), используя сжимающие отображения итерированной системы функций, которая создает треугольник Серпинского.

Мультифрактальные кривые

Орнштейн и другие описывают мультифрактальную систему , в которой вместо работы с фиксированной базой мы работаем с переменной базой.

Рассмотрим пространство произведений переменной базы. $m_{n}$ дискретные пространства

$\Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$

для $A_{n}=\mathbb {Z} /m_{n}\mathbb {Z} =\{0,1,\cdots ,m_{n}-1\}$ циклическая группа , для $m_{n}\geq 2$ целое число. Любое действительное число в единичном интервале можно разложить в последовательность $(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots )$ такой, что каждый $a_{n}\in A_{n}$. Точнее, действительное число $0\leq x\leq 1$ написано как

$x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{\prod _{k=1}^{n}m_{k}}}$

Это расширение не уникально, если все $a_{n}=0$ мимо какого-то момента $K<n$. В данном случае это имеет место

$a_{1},a_{2},\cdots ,a_{K},0,0,\cdots =a_{1},a_{2},\cdots ,a_{K}-1,m_{K+1}-1,m_{K+2}-1,\cdots$

Такие точки аналогичны двоичным рациональным числам в двоичном разложении, и в этих точках необходимо применять уравнения непрерывности на кривой.

Для каждого $A_{n}$, необходимо указать две вещи: набор из двух точек $p_{0}^{(n)}$ и $p_{1}^{(n)}$ и набор $m_{n}$ функции $d_{j}^{(n)}(z)$ (с $j\in A_{n}$). Условие непрерывности тогда такое же, как указано выше:

$d_{j}^{(n)}(p_{1}^{(n+1)})=d_{j+1}^{(n)}(p_{0}^{(n+1)})$, для $j=0,\cdots ,m_{n}-2.$

Использован оригинальный пример Орнштейна

$\Omega =\left(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \right)\times \cdots$

См. также

• Итерированная система функций
• Уточняемая функция
• Модульная группа
• Фуксова группа

Дальнейшее чтение

• Жорж де Рам, «О некоторых кривых, определяемых функциональными уравнениями» (1957), перепечатано в журнале «Классика фракталов» , изд. Джеральд А. Эдгар (Аддисон-Уэсли, 1993), стр. 285–298.
• Линас Вепстас, Галерея кривых де Рама , (2006).
• Линас Вепстас, Симметрии карт удвоения периода , (2006). (Общее исследование симметрии модульной группы во фрактальных кривых.)