Папоротник Барнсли

Папоротник Барнсли

Папоротник Барнсли — фрактал, названный в честь британского математика Майкла Барнсли , который впервые описал его в своей книге «Фракталы повсюду» . Он сделал его похожим на черную селезенку Asplenium adiantum-nigrum .

История

Папоротник является одним из основных примеров самоподобных множеств, т.е. это математически созданный узор, который можно воспроизвести при любом увеличении или уменьшении. Подобно треугольнику Серпинского , папоротник Барнсли показывает, как графически красивые структуры могут быть построены путем многократного использования математических формул с помощью компьютеров. Книга Барнсли 1988 года «Фракталы повсюду» , который он преподавал студентам и аспирантам Школы математики Технологического института Джорджии основана на курсе « Фрактальная геометрия» . После публикации книги был разработан второй курс, получивший название «Теория фрактальной меры» . Работы Барнсли были источником вдохновения для художников-графиков, пытающихся имитировать природу с помощью математических моделей.

Код папоротника, разработанный Барнсли, является примером системы итерированных функций (IFS) для создания фрактала. Это следует из теоремы о коллаже . Он использовал фракталы для моделирования широкого спектра явлений. в науке и технике, но особенно в растительных структурах.

IFS предоставляют модели для определенных растений, листьев и папоротников благодаря самоподобию, которое часто встречается в ветвящихся структурах в природе. Но природа также демонстрирует случайность и вариации от одного уровня к другому; нет двух одинаковых папоротников, и ветвящиеся листья превращаются в листья меньшего размера. Фракталы с V-переменной допускают такую ​​случайность и изменчивость в разных масштабах, но в то же время допускают непрерывную зависимость от параметров, что облегчает геометрическое моделирование. Эти факторы позволяют нам создавать гибридные биологические модели... ... мы предполагаем, что когда обнаруживается геометрическая фрактальная модель с V-переменной, которая хорошо соответствует геометрии данного растения, тогда возникает определенная связь между этими кодовыми деревьями и информацией, хранящейся в генах растения.

—Майкл Барнсли и др.

Строительство

Настоящие дамские папоротники.

Папоротник Барнсли использует четыре аффинных преобразования . Формула одного преобразования следующая:

$f_{w}(x,y)={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e\\f\end{bmatrix}}$

Барнсли показывает код IFS для своего фрактала папоротника черной селезенки в виде матрицы значений, представленных в таблице. В таблице столбцы от « a » до « f » представляют собой коэффициенты уравнения, а « p » представляет собой коэффициент вероятности.

В	а	б	с	д	и	ж	п	Созданная порция
ж 1	0	0	0	0.16	0	0	0.01	Корень
ff2	0.85	0.04	−0.04	0.85	0	1.60	0.85	Листовки последовательно меньшего размера
f 3	0.20	−0.26	0.23	0.22	0	1.60	0.07	Самый большой левый буклет
ж 4	−0.15	0.28	0.26	0.24	0	0.44	0.07	Самый большой правый буклет

Им соответствуют следующие преобразования:

${\begin{aligned}f_{1}(x,y)&={\begin{bmatrix}0.00&0.00\\0.00&0.16\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\\[6px]f_{2}(x,y)&={\begin{bmatrix}0.85&0.04\\-0.04&0.85\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.00\\1.60\end{bmatrix}}\\[6px]f_{3}(x,y)&={\begin{bmatrix}0.20&-0.26\\0.23&0.22\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.00\\1.60\end{bmatrix}}\\[6px]f_{4}(x,y)&={\begin{bmatrix}-0.15&0.28\\0.26&0.24\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.00\\0.44\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Поколение компьютеров

Фрактальный папоротник в четырех стадиях строительства. Выделенные треугольники показывают, как половина одного листочка превращается в половину целого листа или листа .

Хотя папоротник Барнсли теоретически можно нарисовать вручную с помощью ручки и миллиметровой бумаги, количество необходимых итераций исчисляется десятками тысяч, что делает использование компьютера практически обязательным. Множество различных компьютерных моделей папоротника Барнсли популярны среди современных математиков. Если математические вычисления правильно запрограммированы с использованием матрицы констант Барнсли, будет получена та же форма папоротника.

Первая нарисованная точка находится в начале координат ( x ₀ = 0, y ₀ = 0 ), а затем новые точки итеративно вычисляются путем случайного применения одного из следующих четырех преобразований координат:

ж ₁

х _{п + 1} = 0

у _{н + 1} = 0,16 у _н

Это преобразование координат выбирается в 1% случаев и просто сопоставляет любую точку с точкой в ​​первом сегменте линии у основания стебля. При итеративной генерации он действует как сброс к основанию стебля. Важно отметить, что он не сбрасывается точно на (0,0), что позволяет ему заполнить базовый стебель, который транслируется и служит своего рода «ядром», из которого генерируются все остальные части папоротника посредством преобразований f ₂ , f ₃ , ф ₄ .

f_f2

х _{п + 1} = 0,85 х _п + 0,04 у _н

y _{n + 1} = −0,04 x _n + 0,85 y _n + 1,6

Это преобразование кодирует отношение самоподобия всего папоротника с подструктурой, состоящей из папоротника, с удалением части, включающей два нижних листа. В матричном представлении это можно увидеть как небольшое вращение по часовой стрелке, немного уменьшенное и сдвинутое в положительном направлении y . При итеративной генерации это преобразование применяется с вероятностью 85% и интуитивно отвечает за генерацию основного стебля и последующую вертикальную генерацию листьев по обе стороны стебля из их «исходных» листьев у основания.

f ₃

х _{п + 1} = 0,2 х _п - 0,26 у _н

у _{н + 1} = 0,23 х _п + 0,22 у _н + 1,6

Это преобразование кодирует самоподобие всего папоротника с нижним левым листом. В матричном представлении это выглядит как вращение против часовой стрелки почти на 90°, уменьшенное примерно до 30% размера с перемещением в положительном направлении y . При итеративной генерации он применяется с вероятностью 7% и интуитивно отвечает за генерацию нижнего левого листа.

ж ₄

x _{n + 1} = −0,15 x _n + 0,28 y _n

у _{н + 1} = 0,26 х _п + 0,24 у _н + 0,44

Точно так же это преобразование кодирует самоподобие всего папоротника с нижним правым листом. Судя по его определителю, легко увидеть, что оно включает в себя отражение, и его можно рассматривать как преобразование, аналогичное преобразованию f _3, хотя и с отражением относительно оси y . При итеративной генерации он применяется с вероятностью 7% и отвечает за генерацию нижнего правого листа.

Мутантные сорта

Папоротник Барнсли мутировал в папоротник Thelypteridaceae .

Папоротник Барнсли мутировал в лептоспорангиатный папоротник .

Играя с коэффициентами, можно создать мутантные сорта папоротников. В своей статье о фракталах с V-переменной Барнсли называет эту особенность суперфракталом .

Один экспериментатор разработал таблицу коэффициентов, позволяющую получить еще один удивительно естественно выглядящий папоротник, напоминающий папоротник Cyclosorus или Thelypteridaceae . Это:

В	а	б	с	д	и	ж	п
ж 1	0	0	0	0.25	0	−0.4	0.02
ff2	0.95	0.005	−0.005	0.93	−0.002	0.5	0.84
f 3	0.035	−0.2	0.16	0.04	−0.09	0.02	0.07
ж 4	−0.04	0.2	0.16	0.04	0.083	0.12	0.07

Псевдокод

draw all pixels on screen white
x = 0.0
y = 0.0
t = 0.0
xn = 0.0
yn = 0.0
while t < maximum iterations:
    r = random() between 0 and 1
    if r < 0.01:
        xn = 0.0
        yn = 0.16 * y
    else if r < 0.86:
        xn = 0.85 * x + 0.04 * y
        yn = -0.04 * x + 0.85 * y + 1.6
    else if r < 0.93:
        xn = 0.2 * x - 0.26 * y
        yn = 0.23 * x + 0.22 * y + 1.6
    else:
        xn = -0.15 * x + 0.28 * y
        yn = 0.26 * x + 0.24 * y + 0.44
    draw green pixel on screen at (xn, yn)
    x = xn
    y = yn
    increment t