Теорема о коллаже

В математике теорема о коллаже характеризует итерированную систему функций которой , аттрактор близок относительно метрики Хаусдорфа к заданному множеству. Описываемая IFS состоит из сокращений , образы которых, как коллаж или объединение при отображении данного множества, сколь угодно близки к данному множеству. Обычно он используется при фрактальном сжатии .

Заявление

Позволять $\mathbb {X}$ быть полным метрическим пространством . Предполагать $L$ является непустым компактным подмножеством $\mathbb {X}$ и пусть $\epsilon >0$ быть дано. Выберите систему итерированных функций (IFS). $\{\mathbb {X} ;w_{1},w_{2},\dots ,w_{N}\}$ с коэффициентом сжатия $s,$ где $0\leq s<1$ (коэффициент сжатия $s$ IFS – это максимум коэффициентов сжимаемости карт $w_{i}$). Предполагать

$h\left(L,\bigcup _{n=1}^{N}w_{n}(L)\right)\leq \varepsilon ,$

где $h(\cdot ,\cdot )$ – метрика Хаусдорфа . Затем

$h(L,A)\leq {\frac {\varepsilon }{1-s}}$

где A — аттрактор IFS. Эквивалентно,

$h(L,A)\leq (1-s)^{-1}h\left(L,\cup _{n=1}^{N}w_{n}(L)\right)\quad$, для всех непустых компактных подмножеств L $\mathbb {X}$.

Неформально, если $L$ близок к стабилизации IFS, тогда $L$ также близок к тому, чтобы стать аттрактором IFS.

См. также

• Майкл Барнсли
• Папоротник Барнсли

Ссылки

• Барнсли, Майкл. (1988). Фракталы повсюду . Academic Press, Inc. ISBN  0-12-079062-9 .

Внешние ссылки

• Описание теоремы о коллаже и интерактивного Java-апплета на сайте Cut-the-Knot .
• Замечания по созданию IFS для аппроксимации реальных изображений.
• Разъяснительная статья по фракталам и теореме о коллаже