Кролик Дуади

Кролик Дуади — это фрактал, полученный из множества Жюлиа функции ${\textstyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ , когда параметр $c$ находится недалеко от центра одной из трех луковиц периода для множества Мандельброта сложной квадратичной карты .

Он назван в честь французского математика Адриана Дуади .

Предыстория [ править ]

Кролик Дуади создается путем итерации карты множества Мандельброта. $z_{n+1}=z_{n}^{2}+c$ на комплексной плоскости , где параметр $c$ фиксируется так, чтобы лежать в одной из двух лампочек с периодом три от основной кардиоиды и $z$ колеблясь над самолетом. Полученное изображение можно раскрасить, сопоставив каждому пикселю начальное значение. $z_{0}$ и вычисление количества итераций, необходимых для получения значения $z_{n}$ выходит из ограниченной области, после чего будет расходиться в бесконечность .

Это также можно описать, используя форму логистической карты комплексной квадратичной карты , в частности

z_{n+1}={\mathcal {M}}z_{n}:=\gamma z_{n}\left(1-z_{n}\right).

что эквивалентно

$w_{n+1}=w_{n}^{2}+c$ .

Независимо от конкретной используемой итерации, заполненный набор Джулии, связанный с заданным значением $\gamma$ (или $\mu$ ) состоит из всех начальных точек $z_{0}$ (или $w_{0}$ ), для которого итерация остается ограниченной. Тогда множество Мандельброта состоит из значений $\gamma$ (или $\mu$ ), для которого связно соответствующее заполненное множество Жюлиа. Множество Мандельброта можно рассматривать как относительно $\gamma$ или $\mu$ .

Набор Мандельброта в

\gamma

самолет

Набор Мандельброта в

\mu

самолет

отмечая, что $\mu$ инвариантен относительно замены $\gamma \to 2-\gamma$ , множество Мандельброта относительно $\gamma$ имеет дополнительную горизонтальную симметрию. С $z$ и $w$ являются аффинными преобразованиями друг друга или, более конкретно, преобразованием подобия, состоящим только из масштабирования, вращения и перемещения, заполненные множества Джулии выглядят одинаково для любой формы итерации, приведенной выше.

Подробное описание [ править ]

Вы также можете описать кролика Дуади, используя множество Мандельброта относительно $\gamma$ как показано на графике выше. На этом рисунке набор Мандельброта внешне выглядит как два смежных единичных диска с ростками или почками , например, ростки в положениях одного и пяти часов на правом диске или ростки в положениях семи и пяти часов. одиннадцатичасовые позиции на левом диске. Когда $\gamma$ находится внутри одного из этих четырех ростков, соответствующее заполненное множество Джулии в плоскости отображения называется кроликом Дуади. Для этих значений $\gamma$ , можно показать, что ${\mathcal {M}}$ имеет $z=0$ и еще одна точка как неустойчивые (отталкивающие) неподвижные точки, и $z=\infty$ как притягивающая неподвижная точка. Более того, карта ${\mathcal {M}}^{3}$ имеет три притягивающие неподвижные точки. Кролик Дуади состоит из трех притягивающих неподвижных точек. $z_{1}$ , $z_{2}$ , и $z_{3}$ и их бассейны притяжения.

Например, на рисунке 4 показан кролик Дуади в $z$ самолет когда $\gamma =\gamma _{D}=2.55268-0.959456i$ , точка в пятичасовом отростке правого диска. Для этого значения $\gamma$ , карта ${\mathcal {M}}$ имеет отталкивающие неподвижные точки $z=0$ и $z=.656747-.129015i$ . Три притягивающие неподвижные точки ${\mathcal {M}}^{3}$ (также называемые фиксированными точками третьего периода) имеют местоположения

{\begin{aligned}z_{1}&=0.499997032420304-(1.221880225696050\times 10^{-6})i{\;}{\;}{\mathrm {(red)} },\\z_{2}&=0.638169999974373-(0.239864000011495)i{\;}{\;}{\mathrm {(green)} },\\z_{3}&=0.799901291393262-(0.107547238170383)i{\;}{\;}{\mathrm {(yellow)} }.\end{aligned}}

Красная, зеленая и желтая точки лежат в бассейнах. $B(z_{1})$ , $B(z_{2})$ , и $B(z_{3})$ из ${\mathcal {M}}^{3}$ , соответственно. Белые точки лежат в тазу $B(\infty )$ из ${\mathcal {M}}$ .

Действие ${\mathcal {M}}$ на этих неподвижных точках задается соотношениями ${\mathcal {M}}z_{1}=z_{2}$ , ${\mathcal {M}}z_{2}=z_{3}$ , и ${\mathcal {M}}z_{3}=z_{1}$ .

Этим соотношениям соответствуют результаты

{\begin{aligned}{\mathcal {M}}B(z_{1})&=B(z_{2}){\;}{\mathrm {or} }{\;}{\mathcal {M}}{\;}{\mathrm {red} }\subseteq {\mathrm {green} },\\{\mathcal {M}}B(z_{2})&=B(z_{3}){\;}{\mathrm {or} }{\;}{\mathcal {M}}{\;}{\mathrm {green} }\subseteq {\mathrm {yellow} },\\{\mathcal {M}}B(z_{3})&=B(z_{1}){\;}{\mathrm {or} }{\;}{\mathcal {M}}{\;}{\mathrm {yellow} }\subseteq {\mathrm {red} }.\end{aligned}}

Рисунок 4: Кролик Дуади для $\gamma =2.55268-0.959456i$ или $\mu =0.122565-0.744864i$

В качестве второго примера на рисунке 5 показан кролик Дуади, когда $\gamma =2-\gamma _{D}=-.55268+.959456i$ , точка в одиннадцатичасовом ростке на левом диске ( $\mu$ инвариантен относительно этого преобразования). Этот кролик более симметричен в плоскости. Фиксированные точки периода три тогда расположены в

{\begin{aligned}z_{1}&=0.500003730675024+(6.968273875812428\times 10^{-6})i{\;}{\;}({\mathrm {red} }),\\z_{2}&=-0.138169999969259+(0.239864000061970)i{\;}{\;}({\mathrm {green} }),\\z_{3}&=-0.238618870661709-(0.264884797354373)i{\;}{\;}({\mathrm {yellow} }).\end{aligned}}

Отталкивающиеся неподвижные точки ${\mathcal {M}}$ сами находятся по адресу $z=0$ и $z=1.450795+0.7825835i$ . Три основных лепестка слева, которые содержат фиксированные точки периода три. $z_{1}$ , $z_{2}$ , и $z_{3}$ , встретимся в фиксированной точке $z=0$ , и их аналоги справа встречаются в точке $z=1$ . Можно показать, что эффект ${\mathcal {M}}$ в точках вблизи начала координат состоит из вращения против часовой стрелки вокруг начала координат. $\arg(\gamma )$ или очень близко $120^{\circ }$ , с последующим масштабированием (расширением) в коэффициент $|\gamma |=1.1072538$ .

Рисунок 5: Кролик Дуади для $\gamma =-0.55268+0.959456i$ или $\mu =0.122565-0.744864i$

Варианты [ править ]

кролик Искривленный ^[1] представляет собой композицию полинома кролика с $n$ силы Дена крутятся вокруг его ушей. ^[2]

Кораббит — симметричное изображение кролика. Здесь параметр $c\approx -0.1226-0.7449i$ . Это один из двух других полиномов, вызывающих ту же самую перестановку своего посткритического набора, что и кролик.

3D [ edit ]

Набор Джулии не имеет прямого аналога в трех измерениях.

4D[edit4D

Кватернион Джулии с параметрами $c=-0.123+0.745i$ и разрез в $xy$ самолет. Кролик Дуади виден в разрезе.

Встроенный [ править ]

Небольшая встроенная гомеоморфная копия кролика в центре набора Джулии. ^[3]

Жир [ править ]

У толстого кролика или пухлого кролика c в корне 1/3 конечности множества Мандельброта . Он имеет параболическую неподвижную точку с тремя лепестками . ^[4]

Толстый кролик
Параболическая шахматная доска

n-ный ушастый [ править ]

В общем, кролик для $period-(n+1)$ лампочка основной кардиоиды будет иметь $n$ уши ^[5] Например, у кролика периода четырех луковиц три уха.

Возмущенный [ править ]

Возмущённый кролик ^[6]

Возмущённый кролик
Возмущённый кролик
Встревоженный кролик зум

Проблема с искривленным кроликом [ править ]

В начале 1980-х годов Хаббард сформулировал так называемую проблему скрученного кролика — задачу полиномиальной классификации. Цель состоит в том, чтобы определить типы эквивалентности Терстона. ^{[ необходимо определение ]} функций комплексных чисел , которые обычно не задаются формулой (их называют топологическими полиномами): ^[7]

задан топологический квадрат, точка ветвления которого периодична с периодом три, определение того, какому квадратному многочлену он эквивалентен по Терстону
определение класса эквивалентности скрученных кроликов, т.е. композиции кроличьего многочлена с n-ными степенями скручиваний Дена вокруг его ушей.

Первоначально задачу решили Лоран Бартольди и Владимир Некрашевич. ^[8] с использованием итерированных монодромных групп . Также решено обобщение задачи на случай, когда число посткритических точек сколь угодно велико. ^[9]

Галерея [ править ]

Уровни серого указывают на скорость сходимости к бесконечности или к циклу притяжения.
Границы наборов уровней
Бинарное разложение
С позвоночником
С внешними лучами
Мультиброт-4 Кролик Дуади
Кролик Дуади на красном фоне
Цепочка кроликов Дуади