Герман кольцо

В математической дисциплине, известной как комплексная динамика , кольцо Германа является компонентом Фату. ^[1] где рациональная функция конформно сопряжена с иррациональным вращением стандартного кольца .

Формальное определение

А именно, если ƒ обладает кольцом Германа U с периодом p , то существует конформное отображение

\phi :U\rightarrow \{\zeta :0<r<|\zeta |<1\}

и иррациональное число $\theta$ , такой, что

\phi \circ f^{\circ p}\circ \phi ^{-1}(\zeta )=e^{2\pi i\theta }\zeta .

Итак, динамика на кольце Германа проста.

Имя

Он был представлен Майклом Германом и позже назван в его честь (1979). ^[2]), который первым нашел и сконструировал компонент Фату такого типа.

Функция

Полиномы не имеют колец Германа.
Рациональные функции могут иметь кольца Германа. Согласно результату Шишикуры, если рациональная функция ƒ обладает кольцом Германа, то степень ƒ не ниже 3.
На трансцендентных целых картах их нет. ^[3]
мероморфные функции могут обладать кольцами Германа. Кольца Германа для трансцендентных мероморфных функций были изучены Т. Наяком. Согласно результату Наяка, если для такой функции есть опущенное значение, то колец Германа периода 1 или 2 не существует. Также доказано, что если имеется только один полюс и хотя бы пропущенное значение, функция не имеет кольца Германа любого периода.

Примеры

Герман и параболический бассейн

Вот пример рациональной функции, обладающей кольцом Германа. ^[1]

f(z)={\frac {e^{2\pi i\tau }z^{2}(z-4)}{1-4z}}

где $\tau =0.6151732\dots$ так, что оборотов ƒ число наединичный круг $({\sqrt {5}}-1)/2$ .

Изображение, показанное справа, представляет собой набор Жюлиа для ƒ : кривые в белом кольце — это орбиты некоторых точек при итерациях ƒ, а пунктирная линия обозначает единичный круг.

Приведен пример рациональной функции, которая обладает кольцом Германа и некоторыми периодическими параболическими компонентами Фату одновременно .

Рациональная функция $f_{t,a,b}(z)=e^{2\pi it}z^{3}\,{\frac {1-{\overline {a}}z}{z-a}}\,{\frac {1-{\overline {b}}z}{z-b}}$ обладающий кольцом Германа и некоторыми периодическими параболическими компонентами Фату, где $t=0.6141866\dots ,\,a=1/4,\,b=0.0405353-0.0255082i$ такое, что число оборотов $f_{t,a,b}$ на единичном круге $({\sqrt {5}}-1)/2$ . Изображение было повернуто.

Кольцо Германа периода 2

Далее, существует рациональная функция, обладающая кольцом Германа с периодом 2.

Здесь выражение этой рациональной функции имеет вид

g_{a,b,c}(z)={\frac {z^{2}(z-a)}{z-b}}+c,\,

где

{\begin{aligned}a&=0.17021425+0.12612303i,\\b&=0.17115266+0.12592514i,\\c&=-1.18521775-0.16885254i.\end{aligned}}

Этот пример был построен с помощью квазиконформной хирургии. ^[4]из квадратичного многочлена

h(z)=z^{2}-1-{\frac {e^{{\sqrt {5}}\pi i}}{4}}

который обладает диском Зигеля с периодом 2. Параметры a , b , c вычисляются методом проб и ошибок .

Сдача в аренду

{\begin{aligned}a&=0.14285933+0.06404502i,\\b&=0.14362386+0.06461542i,{\text{ and}}\\c&=-0.18242894-0.81957139i,\end{aligned}}

тогда период одного из колец Германа g _{a , b , c} равен 3.

Шишикура также привел пример: ^[5] рациональная функция, обладающая кольцом Германа с периодом 2, но параметры, указанные выше, отличаются от его.

Кольцо Германа периода 5

Возникает вопрос: как найти формулы рациональных функций, обладающих кольцами Германа большего периода?

На этот вопрос можно ответить (для любого периода > 0), используя множество Мандельброта для рациональных функций g _{a , b , c} . Классическое множество Мандельброта (для квадратичных многочленов) аппроксимируется путем итерации критической точки для каждого такого многочлена и определения полиномов, для которых итерации критической точки не сходятся к бесконечности. Аналогично множество Мандельброта может быть определено для набора рациональных функций g _{a , b , c} путем различения значений (a,b,c) в комплексном трехмерном пространстве, для которого все три критические точки (т.е. точки, где производная равна нулю) функции сходятся к бесконечности, а значения, критические точки которых не все сходятся к бесконечности.

Для каждого значения a и b множество Мандельброта для g _{a , b , c} можно вычислить в плоскости комплексных значений c. Когда a и b почти равны, этот набор аппроксимирует классический набор Мандельброта для квадратичных многочленов, потому что g _{a , b ,c} равен x ² + c, когда a=b. В классическом наборе Мандельброта диски Зигеля можно аппроксимировать, выбирая точки на краю множества Мандельброта с иррациональным числом витков, имеющим непрерывное дробное разложение с ограниченными знаменателями. Иррациональные числа, конечно, лишь аппроксимируются в их компьютерном представлении. Эти знаменатели можно идентифицировать по последовательности узлов вдоль края множества Мандельброта, приближающегося к точке. Точно так же кольца Германа можно идентифицировать в множестве рациональных функций Мандельброта, наблюдая за серией узлов, расположенных по обе стороны кривой, и выбирая точки вдоль этой кривой, избегая присоединенных узлов, тем самым получая желаемую последовательность знаменателей в непрерывном дробное разложение числа вращения. Следующее иллюстрирует плоский срез множества Мандельброта g _{a , b ,c} с |ab| = 0,0001, и с центром c на значении c, которое идентифицирует 5-цикл дисков Зигеля в классическом наборе Мандельброта.

Множество Мандельброта рациональной функции g в c-плоскости вблизи 5-циклов.

На изображении выше используются a = 0,12601278 + 0,0458649i, b = 0,12582484 + 0,045796497i, а центрировано значение c = 0,3688 - 0,3578, что близко к 5 циклам дисков Зигеля в классическом наборе Мандельброта. На изображении выше 5-цикл колец Германа можно аппроксимировать, выбрав точку c на показанной выше кривой, имеющей узлы с обеих сторон, для которой g _{a , b ,c} имеет приблизительно желаемое число витков, используя следующие значения: :

${\begin{aligned}a&=.12601278+.0458649i,\\b&=.12582484+.045796497i,{\text{ and}}\\c&=0.37144067-.35829275i,\end{aligned}}$

Полученный 5-цикл колец Германа показан ниже:

Набор Юлии G с изображением кольца Германа 5-го периода.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Джон Милнор , Динамика одной комплексной переменной : Третье издание, Анналы математических исследований, 160, Princeton Univ. Пресс, Принстон, Нью-Джерси, 2006 г.
^ Герман, Майкл-Роберт (1979), «О дифференцируемом сопряжении диффеоморфизмов окружности с вращениями» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 49 (49): 5–233, doi : 10.1007/BF02684798 , ISSN 1618-1913 , МР 0538680 , S2CID 118356096
^ Пропущенные значения и кольца Германа Тараканты Наяка. ^{[ нужна полная цитата ]}
^ Мицухиро Шишикура , О квазиконформной хирургии рациональных функций . Энн. наук. Эколь Норм. Как дела. (4) 20 (1987), вып. 1, 1–29.
^ Мицухиро Шишикура , Хирургия сложных аналитических динамических систем , в «Динамические системы и нелинейные колебания», под ред. Гико Икегами, Расширенная серия World Scientific по динамическим системам, 1, World Scientific, 1986, 93–105.

[dyn-1] Jump up to: ^а ^б Джон Милнор , Динамика одной комплексной переменной : Третье издание, Анналы математических исследований, 160, Princeton Univ. Пресс, Принстон, Нью-Джерси, 2006 г.

[2] Герман, Майкл-Роберт (1979), «О дифференцируемом сопряжении диффеоморфизмов окружности с вращениями» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 49 (49): 5–233, doi : 10.1007/BF02684798 , ISSN 1618-1913 , МР 0538680 , S2CID 118356096

[3] Пропущенные значения и кольца Германа Тараканты Наяка. ^{[ нужна полная цитата ]}

[4] Мицухиро Шишикура , О квазиконформной хирургии рациональных функций . Энн. наук. Эколь Норм. Как дела. (4) 20 (1987), вып. 1, 1–29.

[5] Мицухиро Шишикура , Хирургия сложных аналитических динамических систем , в «Динамические системы и нелинейные колебания», под ред. Гико Икегами, Расширенная серия World Scientific по динамическим системам, 1, World Scientific, 1986, 93–105.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]