диск Сигела

Диск Зигеля или диск Зигеля — связный компонент множества Фату , динамика которого аналитически сопряжена с иррациональным вращением .

Описание [ править ]

Учитывая голоморфный эндоморфизм $f:S\to S$ на римановой поверхности $S$ мы рассматриваем динамическую систему порожденную итерациями , $f$ обозначается $f^{n}=f\circ {\stackrel {\left(n\right)}{\cdots }}\circ f$ . Затем мы называем орбиту ${\mathcal {O}}^{+}(z_{0})$ из $z_{0}$ как набор прямых итераций $z_{0}$ . Нас интересует асимптотическое поведение орбит в $S$ (что обычно будет $\mathbb {C}$ , комплексная плоскость или $\mathbb {\hat {C}} =\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ , сфера Римана ), и мы называем $S$ фазовая плоскость или динамическая плоскость .

Одно возможное асимптотическое поведение точки $z_{0}$ должна быть фиксированной точкой или вообще периодической точкой . В этом последнем случае $f^{p}(z_{0})=z_{0}$ где $p$ это период и $p=1$ означает $z_{0}$ является фиксированной точкой. Затем мы можем определить множитель орбиты как $\rho =(f^{p})'(z_{0})$ и это позволяет нам классифицировать периодические орбиты как притягивающие , если $|\rho |<1$ суперпривлечение , если $|\rho |=0$ ), отталкивая , если $|\rho |>1$ и безразличен, если $\rho =1$ . Безразличные периодические орбиты могут быть либо рационально безразличными , либо иррационально безразличными , в зависимости от того, $\rho ^{n}=1$ для некоторых $n\in \mathbb {Z}$ или $\rho ^{n}\neq 1$ для всех $n\in \mathbb {Z}$ , соответственно.

Диски Зигеля являются одним из возможных случаев связных компонентов в множестве Фату (дополняющем множестве Жюлиа ), согласно Классификации компонентов Фату , и могут возникать вокруг иррационально безразличных периодических точек. Множество Фату — это, грубо говоря, набор точек, в которых итерации ведут себя аналогично своим соседям (они образуют нормальное семейство ). Диски Зигеля соответствуют точкам, в которых динамика $f$ аналитически сопряжено с иррациональным вращением комплексного единичного диска.

Имя [ править ]

Диск Зигеля назван в честь Карла Людвига Зигеля .

Галерея [ править ]

Диск Зигеля для полиномиального отображения ^[1]
Юлия, настроена на $B(z)=\lambda a(e^{z/a}(z+1-a)+a-1)$ , где $a=15-15i$ и $\lambda$ это золотое сечение . орбиты некоторых точек внутри диска Зигеля . Подчеркнуты
Юлия, настроена на $B(z)=\lambda a(e^{z/a}(z+1-a)+a-1)$ , где $a=-0.33258+0.10324i$ и $\lambda$ это золотое сечение . Подчеркнуты орбиты некоторых точек внутри диска Зигеля . Диск Зигеля либо неограничен , либо его граница представляет собой неразложимый континуум . ^[2]
Наполнил Юля набор для $f_{c}(z)=z*z+c$ для числа вращения Золотого сечения с внутренним цветом, пропорциональным средней дискретной скорости на орбите = abs( z_(n+1) - z_n). Обратите внимание, что существует только один диск Зигеля и множество прообразов орбит внутри диска Зигеля.
Сворачивающийся диск Зигеля около 1/2
Сворачивание диска Зигеля около 1/3. Можно увидеть виртуальный диск Зигеля.
Сворачивающийся диск Зигеля около 2/7
Джулия установила для fc(z) = z*z+c, где c = -0,749998153581339 +0,001569040474910*I. Внутренний угол в поворотах t = 0,49975027919634618290.
Набор Жюлиа квадратичного полинома с диском Зигеля для числа вращения [3,2,1000,1...]

Формальное определение [ править ]

Позволять $f\colon S\to S$ — голоморфный эндоморфизм , где $S$ — риманова поверхность , и пусть U — связная компонента множества Фату ${\mathcal {F}}(f)$ . Мы говорим, что U — это диск Зигеля f вокруг точки $z_{0}$ если существует биголоморфизм $\phi :U\to \mathbb {D}$ где $\mathbb {D}$ является единичным диском и таким, что $\phi (f^{n}(\phi ^{-1}(z)))=e^{2\pi i\alpha n}z$ для некоторых $\alpha \in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}$ и $\phi (z_{0})=0$ .

Теорема Зигеля доказывает существование дисков Зигеля для иррациональных чисел, удовлетворяющих сильному условию иррациональности ( диофантовому условию ), тем самым решая открытую проблему, поскольку Фату выдвинул гипотезу о своей теореме о классификации компонентов Фату . ^[3]

Позже Александр Д. Брюно улучшил это условие иррациональности, расширив его до чисел Брюно . ^[4]

Это часть результата Классификации компонентов Фату .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Полиномиальные карты Нурии Фагеллы в наборах Мандельброта и Джулии «Анатомия».
^ Рубен Беренгель и Нурия Фагелла Целая трансцендентная семья с постоянным диском Зигеля , препринт 2009 г.: arXiV:0907.0116
^ Леннарт Карлесон и Теодор В. Гамелен, Сложная динамика , Springer 1993
^ Милнор, Джон В. (2006), Динамика одной комплексной переменной , Анналы математических исследований, том. 160 (Третье изд.), Princeton University Press (Впервые появилось в 1990 году как препринт Stony Brook IMS, заархивировано 24 апреля 2006 г. в Wayback Machine , доступно как arXiV:math.DS/9201272 .)

Диски Сигела в Scholarpedia

[1] Полиномиальные карты Нурии Фагеллы в наборах Мандельброта и Джулии «Анатомия».

[2] Рубен Беренгель и Нурия Фагелла Целая трансцендентная семья с постоянным диском Зигеля , препринт 2009 г.: arXiV:0907.0116

[3] Леннарт Карлесон и Теодор В. Гамелен, Сложная динамика , Springer 1993

[MilnorComplexDynamics-4] Милнор, Джон В. (2006), Динамика одной комплексной переменной , Анналы математических исследований, том. 160 (Третье изд.), Princeton University Press (Впервые появилось в 1990 году как препринт Stony Brook IMS, заархивировано 24 апреля 2006 г. в Wayback Machine , доступно как arXiV:math.DS/9201272 .)

[1]

[2]

[3]

[4]