Номер Брюно

В математике число Брюно (иногда пишется как Бруно или Брюно ) — это особый тип иррационального числа, названный в честь русского математика Александра Бруно , который ввёл их в «Брюно» (1971) .

Формальное определение

Иррациональное число $\alpha$ называется числом Брюно, если бесконечная сумма

$B(\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log q_{n+1}}{q_{n}}}$

сходится к конечному числу.

Здесь:

• $q_{n}$ является знаменателем n- й подходящей ${\tfrac {p_{n}}{q_{n}}}$ продолжающегося фракционного расширения $\alpha$.
• $B$ является функцией Брюно

Примеры

Рассмотрим золотое сечение 𝜙:

$\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}.$

Тогда n- я подходящая ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ можно найти через рекуррентное соотношение :

${\begin{cases}p_{n}=p_{n-1}+p_{n-2}&{\text{ with }}p_{0}=1,p_{1}=2,\\q_{n}=q_{n-1}+q_{n-2}&{\text{ with }}q_{0}=q_{1}=1.\end{cases}}$

Это легко увидеть $q_{n+1}<q_{n}^{2}$ для $n\geq 2$, как результат

${\frac {\log {q_{n+1}}}{q_{n}}}<{\frac {2\log {q_{n}}}{q_{n}}}{\text{ for }}n\geq 2$

и поскольку можно доказать, что $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log q_{n}}{q_{n}}}<\infty$ для любого иррационального числа 𝜙 — число Брюно. Более того, аналогичный метод можно использовать, чтобы доказать, что любое иррациональное число, разложение цепной дроби которого заканчивается строкой единиц, является числом Брюно.

Напротив, рассмотрим константу $\alpha =[a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ]$ с $(a_{n})$ определяется как

$a_{n}={\begin{cases}10&{\text{ if }}n=0,1,\\q_{n}^{q_{n-1}}&{\text{ if }}n\geq 2.\end{cases}}$

Затем $q_{n+1}>q_{n}^{\frac {2q_{n}}{q_{n-1}}}$, поэтому мы имеем по критерию отношения, что $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log q_{n+1}}{q_{n}}}$ расходится. $\alpha$ следовательно, не является числом Брюно.

Важность

Числа Брюно важны в одномерных аналитических задачах о малых делителях. Бруно улучшил диофантовое условие в теореме Зигеля, показал, что ростки голоморфных функций с линейной частью $e^{2\pi i\alpha }$ линеаризуемы , если $\alpha$ — число Брюно. Жан-Кристоф Йокко ( 1995 ) показал в 1987 году, что это условие также необходимо, а для квадратичных полиномов является необходимым и достаточным.

Свойства

Интуитивно понятно, что эти числа не имеют большого количества больших «скачков» в последовательности подходящих чисел, в которых знаменатель ( n + 1 )-й подходящей дроби экспоненциально больше, чем знаменатель n- й подходящей дроби. Таким образом, в отличие от чисел Лиувилля , они не имеют необычайно точных диофантовых приближений рациональными числами .

Функция Брюно

Сумма Брюно

Сумма Брюно или функция Брюно $B$ является

$B(\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log q_{n+1}}{q_{n}}}$

где:

• $q_{n}$ является знаменателем n- й подходящей ${\tfrac {p_{n}}{q_{n}}}$ продолжающегося фракционного расширения $\alpha$.

Реальный вариант

Функция Брюно

Настоящая функция Брюно $B(\alpha )$ определяется для иррациональных чисел $\alpha$

$B:\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$

и удовлетворяет

${\begin{aligned}B(\alpha )&=B(\alpha +1)\\B(\alpha )&=-\log \alpha +\alpha B(1/\alpha )\end{aligned}}$

для всего иррационального $\alpha$ между 0 и 1.

Вариант Йокоза

Йоко, определяется следующим образом: Вариант суммы Брюно, предложенный

$Y(\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }\alpha _{0}\cdots \alpha _{n-1}\log {\frac {1}{\alpha _{n}}},$

где:

• $\alpha$ иррациональное действительное число: $\alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$
• $\alpha _{0}$ это дробная часть $\alpha$
• $\alpha _{n+1}$ это дробная часть ${\frac {1}{\alpha _{n}}}$

Эта сумма сходится тогда и только тогда, когда сходится сумма Брюно, и фактически их разность ограничена универсальной константой.

См. также

• постоянная Маркова

Ссылки

• Брюно, Александр Д. (1971), «Аналитическая форма дифференциальных уравнений. I, II», Труды Московского математического общества , 25 : 119–262, ISSN   0134-8663 , MR   0377192
• Ли, Эйлин Ф. (весна 1999 г.), «Структура и топология чисел Брюно» (PDF) , Материалы конференции по топологии и динамике 1999 г. (Солт-Лейк-Сити, Юта) , Топологические труды, том. 24, стр. 189–201, МР   1802686
• Марми, Стефано; Мусса, Пьер; Йоккоз, Жан-Кристоф (2001), «Комплексные функции Брюно», Журнал Американского математического общества , 14 (4): 783–841, doi : 10.1090/S0894-0347-01-00371-X , ISSN   0894-0347 , МР   1839917
• Йоккоз, Жан-Кристоф (1995), «Теорема Зигеля, числа Бруно и квадратичные многочлены», Малые делители в размерности 1 , Asterisk , vol. 231, с. 3–88, МР   1367353