Символическая динамика
В математике состоянию символическая динамика — это практика моделирования топологической или гладкой динамической системы дискретным пространством, состоящим из бесконечных последовательностей абстрактных символов, каждый из которых соответствует системы , с динамикой (эволюцией), задаваемой оператором сдвига. . Формально марковское разбиение используется для обеспечения конечного покрытия гладкой системы; каждый набор покрытия связан с одним символом, а последовательности символов возникают по мере того, как траектория системы движется от одного набора покрытий к другому.
История [ править ]
Идея восходит к статье Жака Адамара 1898 года о геодезических на поверхностях отрицательной кривизны . [1] Его применил Марстон Морс в 1921 году для построения непериодической рекуррентной геодезической. Соответствующие работы были выполнены Эмилем Артином в 1924 году (по системе, ныне называемой биллиардом Артина ), Пеккой Мирбергом , Паулем Кебе , Якобом Нильсеном , Г.А. Хедлундом .
Первая формальная трактовка была разработана Морсом и Хедлундом в их статье 1938 года. [2] Джордж Биркгоф , Норман Левинсон и пара Мэри Картрайт и Дж. Э. Литтлвуд применили аналогичные методы для качественного анализа неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка .
Клод Шеннон использовал символические последовательности и сдвиги конечного типа в своей статье 1948 года «Математическая теория коммуникации, которая породила теорию информации» .
В конце 1960-х годов метод символической динамики был развит для гиперболических торических автоморфизмов Роем Адлером и Бенджамином Вайсом . [3] и диффеоморфизмам Аносова Якова Синая , который использовал символическую модель для построения мер Гиббса . [4] В начале 1970-х годов теория была распространена на потоки Аносова Мариной Ратнер и на аксиомы А диффеоморфизмы и потоки Руфусом Боуэном .
Ярким применением методов символической динамики является теорема Шарковского о периодических орбитах непрерывного отображения интервала в себя (1964).
Примеры [ править ]
Такие понятия, как гетероклинические орбиты и гомоклинические орбиты, имеют особенно простое представление в символической динамике.
Маршрут [ править ]
Маршрут точки относительно разбиения представляет собой последовательность символов. Он описывает динамику точки. [5]
Приложения [ править ]
Символическая динамика возникла как метод изучения общих динамических систем; теперь его методы и идеи нашли существенное применение в хранении и передаче данных , линейной алгебре , движении планет и многих других областях. [ нужна цитата ] . Отличительной особенностью символической динамики является то, что время измеряется дискретными интервалами. Таким образом, в каждый интервал времени система находится в определенном состоянии . Каждое состояние связано с символом, а эволюция системы описывается бесконечной последовательностью символов, которые фактически представляются в виде строк . Если состояния системы не являются по своей сути дискретными, то вектор состояния должен быть дискретизирован, чтобы получить грубое описание системы.
См. также [ править ]
- Динамическая система, сохраняющая меру
- Комбинаторика и динамические системы
- Сдвиг пространства
- Сдвиг конечного типа
- Сложная динамика
- Арифметическая динамика
Ссылки [ править ]
- ^ Адамар, Ж. (1898). «Поверхности противоположной кривизны и их геодезические линии» (PDF) . Дж. Математика. Чистое приложение. 5 (4): 27–73.
- ^ Морс, М .; Хедлунд, Джорджия (1938). «Символическая динамика». Американский журнал математики . 60 (4): 815–866. дои : 10.2307/2371264 . JSTOR 2371264 .
- ^ Адлер, Р.; Вайс, Б. (1967). «Энтропия, полный метрический инвариант автоморфизмов тора» . ПНАС . 57 (6): 1573–1576. Бибкод : 1967PNAS...57.1573A . дои : 10.1073/pnas.57.6.1573 . JSTOR 57985 . ПМК 224513 . ПМИД 16591564 .
- ^ Sinai, Y. (1968). "Construction of Markov partitionings". Funkcional. Anal. I Priložen . 2 (3): 70–80.
- ^ Математика сложности и динамических систем Роберта А. Мейерса. Springer Science & Business Media, 2011, ISBN 1461418054 , 9781461418054
Дальнейшее чтение [ править ]
- Хао, Байлин (1989). Элементарная символическая динамика и хаос в диссипативных системах . Всемирная научная . ISBN 9971-5-0682-3 . Архивировано из оригинала 5 декабря 2009 г. Проверено 2 декабря 2009 г.
- Брюс Китченс, Символическая динамика. Односторонние, двусторонние и счетные состояния марковских сдвигов . Universitext, Springer-Verlag , Берлин, 1998. x+252 стр. ISBN 3-540-62738-3 МР 1484730
- Линд, Дуглас; Маркус, Брайан (1995). Введение в символическую динамику и кодирование . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-55124-2 . МР 1369092 . Збл 1106.37301 .
- Г. А. Хедлунд, Эндоморфизмы и автоморфизмы динамической системы сдвига . Математика. Теория систем, Vol. 3, № 4 (1969) 320–3751
- Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0 .
- «Символическая динамика» . Схоларпедия .