Марковский раздел

Марковское разбиение в математике — это инструмент, используемый в теории динамических систем , позволяющий применять методы символической динамики к изучению гиперболической динамики . Используя марковское разбиение, систему можно сделать похожей на марковский процесс с дискретным временем , при этом долгосрочные динамические характеристики системы будут представлены как марковский сдвиг . Название «Марков» уместно, поскольку результирующая динамика системы подчиняется марковскому свойству . Таким образом, разделение Маркова позволяет стандартные методы символической динамики применять , включая вычисление значений ожидания , корреляций , топологической энтропии , топологических дзета-функций , определителей Фредгольма и тому подобного.

Мотивация [ править ]

Позволять $(M,\varphi )$ быть дискретной динамической системой. Основной метод изучения его динамики состоит в том, чтобы найти символическое представление : точное кодирование точек $M$ последовательностями символов такими, что отображение $\varphi$ становится картой смены .

Предположим, что $M$ был разделен на несколько частей $E_{1},E_{2},\ldots ,E_{r}$ которые считаются небольшими и локализованными, практически не пересекающимися. Поведение точки $x$ под итерациями $\varphi$ можно отслеживать путем записи для каждого $n$ , часть $E_{i}$ который содержит $\varphi ^{n}(x)$ . Это приводит к бесконечной последовательности в алфавите $\{1,2,\ldots ,r\}$ который кодирует точку. В общем, это кодирование может быть неточным (одна и та же последовательность может представлять множество разных точек), и набор последовательностей, возникающих таким образом, может оказаться трудным для описания. При определенных условиях, которые явно выражены в строгом определении марковского разбиения, сопоставление последовательности точке $M$ становится почти взаимно однозначным отображением, образ которого представляет собой символическую динамическую систему особого вида, называемую сдвигом конечного типа . В этом случае символическое представление является мощным инструментом исследования свойств динамической системы. $(M,\varphi )$ .

Формальное определение [ править ]

Марковское разбиение ^[1] является конечным покрытием многообразия инвариантного множества набором криволинейных прямоугольников $\{E_{1},E_{2},\ldots ,E_{r}\}$ такой, что

Для любой пары точек $x,y\in E_{i}$ , что $W_{s}(x)\cap W_{u}(y)\in E_{i}$
$\operatorname {Int} E_{i}\cap \operatorname {Int} E_{j}=\emptyset$ для $i\neq j$
Если $x\in \operatorname {Int} E_{i}$ и $\varphi (x)\in \operatorname {Int} E_{j}$ , затем

\varphi \left[W_{u}(x)\cap E_{i}\right]\supset W_{u}(\varphi x)\cap E_{j}

\varphi \left[W_{s}(x)\cap E_{i}\right]\subset W_{s}(\varphi x)\cap E_{j}

Здесь, $W_{u}(x)$ и $W_{s}(x)$ — неустойчивое и стабильное многообразия x и соответственно, $\operatorname {Int} E_{i}$ просто обозначает внутреннюю часть $E_{i}$ .

Эти последние два условия можно понимать как утверждение марковского свойства символической динамики; то есть движение траектории от одного открытого укрытия к другому определяется только самым последним укрытием, а не историей системы. Именно это свойство покрытия и заслуживает наименования «марковское». Результирующая динамика представляет собой динамику марковского сдвига ; то, что это действительно так, объясняется теоремами Якова Синая (1968). ^[2] и Руфус Боуэн (1975), ^[3] тем самым поставив символическую динамику на прочную основу.

Найдены варианты определения, соответствующие условиям на геометрию фигур. $E_{i}$ . ^[4]

Примеры [ править ]

Марковские перегородки строились в нескольких ситуациях.

диффеоморфизмы тора Аносовские . ^{[ нужна ссылка ]}
Динамический бильярд , в этом случае покрытие счетно. ^{[ нужна ссылка ]}

Марковские разбиения делают гомоклинические и гетероклинические орбиты особенно простыми для описания. ^{[ нужна ссылка ]}

Система $([0,1),x\mapsto 2x\ mod\ 1)$ имеет марковское разбиение $E_{0}=(0,1/2),E_{1}=(1/2,1)$ , и в данном случае символическое представление действительного числа в $[0,1)$ это его двоичное расширение. Например: $x\in E_{0},Tx\in E_{1},T^{2}x\in E_{1},T^{3}x\in E_{1},T^{4}x\in E_{0}\Rightarrow x=(0.01110...)_{2}$ . Присвоение баллов $[0,1)$ их последовательностям в марковском разбиении хорошо определена, за исключением двоичных рациональных чисел - с моральной точки зрения, это потому, что $(0.01111\dots )_{2}=(0.10000\dots )_{2}$ , точно так же, как $1=0.999\dots$ в десятичных разложениях.

Ссылки [ править ]

^ Гаспар, Пьер (1998). Хаос, рассеяние и статистическая механика . Кембриджская серия по нелинейным наукам. Том. 9. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-39511-3 . Збл 0915.00011 .
^ Синай, Я. Г. (1968), "Марковские разбиения и U-диффеоморфизмы", Академия наук СССР , 2 (1): 64–89, МР 0233038 . Синай, Я. Г. (1968), «Построение марковских разбиений», Академия наук СССР , 2 (3): 70–80, МР 0250352 .
^ Пифей Фогг (2002), с. 208.
^ Пифей Фогг (2002), с. 206.

Линд, Дуглас; Маркус, Брайан (1995). Введение в символическую динамику и кодирование . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-55124-3 . Збл 1106.37301 .
Пифей Фогг, Н. (2002). Берта, Валери ; Ференци, Себастьен; Модуит, Кристиан; Сигел, Энн (ред.). Замены в динамике, арифметике и комбинаторике . Конспект лекций по математике. Том. 1794. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44141-0 . Збл 1014.11015 .

[1] Гаспар, Пьер (1998). Хаос, рассеяние и статистическая механика . Кембриджская серия по нелинейным наукам. Том. 9. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-39511-3 . Збл 0915.00011 .

[2] Синай, Я. Г. (1968), "Марковские разбиения и U-диффеоморфизмы", Академия наук СССР , 2 (1): 64–89, МР 0233038 . Синай, Я. Г. (1968), «Построение марковских разбиений», Академия наук СССР , 2 (3): 70–80, МР 0250352 .

[PF208-3] Пифей Фогг (2002), с. 208.

[PF206-4] Пифей Фогг (2002), с. 206.

[1]

[2]

[3]

[4]