Канторовский набор

Не путать с канторовым пространством .

В математике — множество Кантора это набор точек, лежащих на одном отрезке прямой , обладающий рядом неинтуитивных свойств. Он был открыт в 1874 году Генри Джоном Стивеном Смитом. и упомянут немецким математиком Георгом Кантором в 1883 году.

Рассмотрев этот набор, Кантор и другие помогли заложить основы современной топологии множества точек . Наиболее распространенной конструкцией является троичное множество Кантора , построенное путем удаления средней трети отрезка прямой и последующего повторения процесса с оставшимися более короткими отрезками. Кантор упомянул об этой троичной конструкции лишь вскользь, как пример совершенного множества , нигде не плотного (, Комментарии к §10 /с. 590).

В более общем смысле, в топологии канторово пространство — это топологическое пространство, гомеоморфное тернарному множеству Кантора (оснащённое топологией подпространства). По теореме Л. Дж. Брауэра это эквивалентно совершенству, непустости, компактности, метризуемости и нульмерности.

Расширение канторового множества. Каждая точка набора представлена ​​здесь вертикальной линией.

Конструкция и формула троичного множества

Тройное множество Кантора ${\mathcal {C}}$ создается путем итеративного удаления открытой средней трети из набора отрезков линии. Начинают с удаления открытой средней трети. ${\textstyle \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)}$ из интервала $\textstyle \left[0,1\right]$, оставляя два отрезка: ${\textstyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right]}$. Далее удаляется открытая средняя треть каждого из этих оставшихся отрезков, оставляя четыре отрезка: ${\textstyle \left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right]}$.Тройное множество Кантора содержит все точки интервала $[0,1]$ которые не удаляются ни на каком этапе этого бесконечного процесса . Те же факты можно описать рекурсивно, полагая

$C_{0}:=[0,1]$

и

$C_{n}:={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right)={\frac {1}{3}}{\bigl (}C_{n-1}\cup \left(2+C_{n-1}\right){\bigr )}$

для $n\geq 1$, так что

${\mathcal {C}}:=$ ${\color {Blue}\lim _{n\to \infty }C_{n}}$ $=\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}=\bigcap _{n=m}^{\infty }C_{n}$ для любого $m\geq 0$.

Первые шесть шагов этого процесса проиллюстрированы ниже.

Используя идею самоподобных преобразований, $T_{L}(x)=x/3,$ $T_{R}(x)=(2+x)/3$ и $C_{n}=T_{L}(C_{n-1})\cup T_{R}(C_{n-1}),$ явные замкнутые формулы для множества Кантора:

${\mathcal {C}}=[0,1]\,\setminus \,\bigcup _{n=0}^{\infty }\bigcup _{k=0}^{3^{n}-1}\left({\frac {3k+1}{3^{n+1}}},{\frac {3k+2}{3^{n+1}}}\right)\!,$

где каждая средняя треть удаляется как открытый интервал ${\textstyle \left({\frac {3k+1}{3^{n+1}}},{\frac {3k+2}{3^{n+1}}}\right)}$ из закрытого интервала ${\textstyle \left[{\frac {3k+0}{3^{n+1}}},{\frac {3k+3}{3^{n+1}}}\right]=\left[{\frac {k+0}{3^{n}}},{\frac {k+1}{3^{n}}}\right]}$ окружающий его, или

${\mathcal {C}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=0}^{3^{n-1}-1}\left(\left[{\frac {3k+0}{3^{n}}},{\frac {3k+1}{3^{n}}}\right]\cup \left[{\frac {3k+2}{3^{n}}},{\frac {3k+3}{3^{n}}}\right]\right)\!,$

где средняя треть ${\textstyle \left({\frac {3k+1}{3^{n}}},{\frac {3k+2}{3^{n}}}\right)}$ предыдущего замкнутого интервала ${\textstyle \left[{\frac {k+0}{3^{n-1}}},{\frac {k+1}{3^{n-1}}}\right]=\left[{\frac {3k+0}{3^{n}}},{\frac {3k+3}{3^{n}}}\right]}$ удаляется путем пересечения с ${\textstyle \left[{\frac {3k+0}{3^{n}}},{\frac {3k+1}{3^{n}}}\right]\cup \left[{\frac {3k+2}{3^{n}}},{\frac {3k+3}{3^{n}}}\right]\!.}$

Этот процесс удаления средних третей является простым примером правила конечного подразделения . Дополнение к троичному множеству Кантора является примером фрактальной струны .

В арифметических терминах множество Кантора состоит из всех действительных чисел единичного интервала. $[0,1]$ для которых не требуется цифра 1, чтобы их можно было выразить в виде троичной дроби (по основанию 3). Как показано на диаграмме выше, каждая точка в множестве Кантора уникально расположена по пути через бесконечно глубокое двоичное дерево , где путь поворачивает влево или вправо на каждом уровне в зависимости от того, на какой стороне удаленного сегмента находится точка. Представление каждого поворота налево цифрой 0 и каждого поворота направо цифрой 2 дает троичную дробь для точки.

Конструкция Мандельброта путем «свертывания»

В книге «Фрактальная геометрия природы » математик Бенуа Мандельброт предлагает причудливый мысленный эксперимент, чтобы помочь читателям, не разбирающимся в математике, представить себе конструкцию ${\mathcal {C}}$. Его повествование начинается с представления стержня, возможно, из легкого металла, в котором вещество стержня «свертывается», итеративно смещаясь к его концам. По мере того, как сегменты стержня становятся меньше, они превращаются в тонкие, плотные слизни, которые в конечном итоге становятся слишком маленькими и тусклыми, чтобы их можно было увидеть.

СВЕРТЫВАНИЕ: Конструкция стержня Кантора является результатом процесса, который я называю свертыванием. Он начинается с круглой планки. Лучше всего думать об этом как об очень низкой плотности. Затем материя «свертывается» из средней трети этого такта в конечные трети, так что положение последних остается неизменным. Далее материя свертывается из средней трети каждой конечной трети в ее конечные трети, и так до бесконечности, пока не останется бесконечно большое количество бесконечно тонких кусочков бесконечно высокой плотности. Эти пули располагаются вдоль линии очень специфическим образом, вызванным процессом генерации. На этой иллюстрации свертывание (которое в конечном итоге требует удара молотком!) прекращается, когда и печатная машина, и наш глаз перестают следить за ним; последняя линия неотличима от предпоследней: каждая из ее конечных частей видится серой пулей, а не двумя параллельными черными пулями.

Состав

Поскольку множество Кантора определяется как набор неисключенных точек, пропорция (т. е. мера ) оставшегося единичного интервала может быть найдена путем удаления общей длины. Эта сумма представляет собой геометрическую прогрессию

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{3^{n+1}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {4}{27}}+{\frac {8}{81}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{1-{\frac {2}{3}}}}\right)=1.$

Так что оставшаяся пропорция равна 1 − 1 = 0.

Этот расчет предполагает, что множество Кантора не может содержать интервал ненулевой длины. Может показаться удивительным, что там что-то должно остаться — ведь сумма длин удаленных интервалов равна длине исходного интервала. Однако более пристальный взгляд на процесс показывает, что что-то должно остаться, поскольку удаление «средней трети» каждого интервала предполагает удаление открытых наборов (множеств, которые не включают свои конечные точки). Поэтому удаление отрезка линии ( ⁠ 1 / 3 ⁠ , ⁠ 2/3 ] оставляет за собой ) из исходного интервала [0, 1 ⁠ точки ⁠ 1/3 ​ ⁠ и ​ ⁠ 2 / 3 ⁠ . Последующие шаги не удаляют эти (или другие) конечные точки, поскольку удаленные интервалы всегда являются внутренними по отношению к оставшимся интервалам. Итак, множество Кантора не пусто , а фактически содержит несчетное количество точек (как следует из приведенного выше описания в терминах путей в бесконечном бинарном дереве).

Может показаться, что остались только концы строительных отрезков, но это тоже не так. Число ⁠ 1/4 = ⁠ , например, имеет уникальную троичную форму 0.020202... 0.02 . Он находится в нижней трети, в верхней трети этой трети, в нижней трети этой верхней трети и так далее. Поскольку он никогда не находится ни в одном из средних сегментов, его никогда не удаляют. Однако он также не является конечной точкой какого-либо среднего сегмента, поскольку не кратен какой-либо степени 1/3. Все концы отрезков являются конечными троичными дробями и содержатся в множестве

$\left\{x\in [0,1]\mid \exists i\in \mathbb {N} _{0}:x\,3^{i}\in \mathbb {Z} \right\}\qquad {\Bigl (}\subset \mathbb {N} _{0}\,3^{-\mathbb {N} _{0}}{\Bigr )}$

которое представляет собой счетное бесконечное множество.Что касается мощности , то почти все элементы множества Кантора не являются ни конечными точками интервалов, ни рациональными точками, такими как 1/4. Все канторово множество фактически несчетно.

Характеристики

Мощность

Можно показать, что в этом процессе осталось столько же точек, сколько было вначале, и что, следовательно, множество Кантора несчетно . Чтобы убедиться в этом, покажем, что существует функция f из множества Кантора. ${\mathcal {C}}$ в замкнутый интервал [0,1], который является сюръективным (т.е. f отображается из ${\mathcal {C}}$ на [0,1]), так что мощность ${\mathcal {C}}$ не меньше, чем у [0,1]. С ${\mathcal {C}}$ является подмножеством [0,1], его мощность также не больше, поэтому две мощности фактически должны быть равными по теореме Кантора–Бернштейна–Шредера .

Чтобы построить эту функцию, рассмотрим точки в интервале [0, 1] в терминах системы счисления по основанию 3 (или троичной записи). Напомним, что правильные троичные дроби, точнее: элементы ${\bigl (}\mathbb {Z} \setminus \{0\}{\bigr )}\cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}$, допускают более одного представления в этой записи, как, например, ⁠ 1 / 3 ⁠ , что можно записать как 0,1 ₃ = 0,1 0 ₃ , но также и как 0,0222... ₃ = 0,0 2 ₃ , и ⁠ 2 / 3 ⁠ , это можно записать как 0,2 ₃ = 0,2 0 ₃ , но также и как 0,1222... ₃ = 0,1 2 ₃ . Когда мы удаляем среднюю треть, она содержит числа с троичными цифрами в форме 0,1xxxxx... ₃ , где xxxxx... ₃ находится строго между 00000... ₃ и 22222... ₃ . Таким образом, числа, оставшиеся после первого шага, состоят из

• Числа вида 0,0xxxxxx... ₃ (в том числе 0,022222... ₃ = 1/3)
• Числа вида 0,2xxxxxx... ₃ (в том числе 0,222222... ₃ = 1)

Это можно резюмировать, сказав, что те числа с троичным представлением, в которых первая цифра после точки счисления не равна 1, являются числами, оставшимися после первого шага.

На втором этапе удаляются числа вида 0.01xxxx... ₃ и 0.21xxxx... ₃ , и (при соответствующем уходе за конечными точками) можно сделать вывод, что оставшиеся числа - это числа с троичными числами, где ни один из первых две цифры это 1.

Продолжая таким образом, чтобы число не было исключено на шаге n , оно должно иметь троичное представление, n- я цифра которого не равна 1. Чтобы число попало в множество Кантора, оно не должно быть исключено ни на каком шаге, оно должно допускать числовое представление, состоящее полностью из 0 и 2.

Стоит подчеркнуть, что числа типа 1, ⁠ 1/3 ​ и ⁠ 0,1 ₃ = ⁠ 7/9 ... 0,222 ⁠ = 0,21 ₃ входят в множество Кантора, так как имеют троичные числительные, состоящие целиком из 0 и 2: 1 = ₃ = 0,2 ₃ , ⁠ 1/3 и ⁠ = ... ₃ = 0,0 2 ₃ 0,0222 ⁠ 7 / 9 ⁠ = 0,20222... ₃ = 0,20 2 ₃ .Все последние числа являются «конечными точками», а эти примеры — правыми предельными точками ${\mathcal {C}}$. То же самое справедливо и для левых предельных точек ${\mathcal {C}}$, например ⁠ 2/3 = 0,1 ⁠ = 0,1222... ₃ = 2 ₃ 0,2 0 ₃ и ⁠ 8 / 9 ⁠ знак равно 0,21222... _{3 знак} равно 0,21 2 ₃ = 0,22 0 ₃ . Все эти конечные точки являются правильными тройными дробями (элементами $\mathbb {Z} \cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}$) вида ⁠ p / q ⁠ , где знаменатель q — это степень 3 , когда дробь находится в неприводимой форме. Троичное представление этих дробей оканчивается (т. е. конечно) или — напомним выше, что каждая правильная троичная дробь имеет по два представления — бесконечно и «заканчивается» либо на бесконечное число повторяющихся нулей, либо на бесконечное число повторяющихся двоек. Такая дробь является левой предельной точкой ${\mathcal {C}}$ если его троичное представление не содержит единиц и «заканчивается» бесконечным количеством повторяющихся нулей. Точно так же правильная тройная дробь является правой предельной точкой ${\mathcal {C}}$ если это снова, то его троичное разложение не содержит единиц и «заканчивается» бесконечным множеством повторяющихся двоек.

Этот набор конечных точек плотен в ${\mathcal {C}}$ (но не плотное в [0, 1]) и составляет счетное бесконечное множество. Числа в ${\mathcal {C}}$ которые не являются конечными точками, также имеют только 0 и 2 в своем троичном представлении, но они не могут заканчиваться бесконечным повторением цифры 0 или цифры 2, потому что тогда это была бы конечная точка.

Функция из ${\mathcal {C}}$ до [0,1] определяется путем взятия троичных чисел, которые полностью состоят из 0 и 2, замены всех 2 на 1 и интерпретации последовательности как двоичного представления действительного числа. В формуле

$f{\bigg (}\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{k}3^{-k}{\bigg )}=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {a_{k}}{2}}2^{-k}$ где $\forall k\in \mathbb {N} :a_{k}\in \{0,2\}.$

Для любого числа y из [0,1] его двоичное представление можно перевести в троичное представление числа x из ${\mathcal {C}}$ заменив все 1 на 2. При этом f ( x ) = y так что y находится в диапазоне f , . Например, если у = ⁠ 3/5 = 1001 ⁠ = 0,100110011001... ₂ = 0. , пишем x = 0. = 0,200220022002... ₃ 2002 ⁠ 7/10 ​ ​ ⁠ . Следовательно, f сюръективен. Однако f является не инъективным — значения, для которых f ( x ) совпадают, находятся на противоположных концах одной из средних третей удаленных . Например, возьмите

⁠ 1 / 3 ⁠ = 0,0 2 ₃ (что является правой предельной точкой ${\mathcal {C}}$ и левая предельная точка средней трети [ ⁠ 1 / 3 ⁠ , ⁠ 2 / 3 ⁠ ]) и

⁠ 2 / 3 ⁠ = 0,2 0 ₃ (что является левой предельной точкой ${\mathcal {C}}$ и правая предельная точка средней трети [ ⁠ 1 / 3 ⁠ , ⁠ 2 / 3 ⁠ ])

так

${\begin{array}{lcl}f{\bigl (}{}^{1}\!\!/\!_{3}{\bigr )}=f(0.0{\overline {2}}_{3})=0.0{\overline {1}}_{2}=\!\!&\!\!0.1_{2}\!\!&\!\!=0.1{\overline {0}}_{2}=f(0.2{\overline {0}}_{3})=f{\bigl (}{}^{2}\!\!/\!_{3}{\bigr )}.\\&\parallel \\&{}^{1}\!\!/\!_{2}\end{array}}$

Таким образом, в канторовом множестве столько же точек, сколько в интервале [0, 1] (имеющем несчетную мощность ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}$). Однако множество концов удаленных интервалов счетно, поэтому в канторовом множестве должно быть несчетное количество чисел, не являющихся конечными точками интервала. Как отмечалось выше, одним из примеров такого числа является ⁠ 1/4 3 ⁠ 0,02 , что можно записать как 0,020202... ₌ в троичной записи. В действительности, при любом $a\in [-1,1]$, существуют $x,y\in {\mathcal {C}}$ такой, что $a=y-x$. Впервые это было продемонстрировано Штейнгаузом в 1917 году, который доказал с помощью геометрического аргумента эквивалентное утверждение, что $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=x+a\}\;\cap \;({\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}})\neq \emptyset$ для каждого $a\in [-1,1]$. Поскольку данная конструкция обеспечивает впрыск из $[-1,1]$ к ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}$, у нас есть $|{\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}|\geq |[-1,1]|={\mathfrak {c}}$ как непосредственное следствие . Предполагая, что $|A\times A|=|A|$ для любого бесконечного множества $A$ (утверждение, эквивалентное аксиоме выбора Тарского ), это обеспечивает еще одну демонстрацию того, что $|{\mathcal {C}}|={\mathfrak {c}}$.

Множество Кантора содержит столько же точек, сколько интервал, из которого оно взято, но само по себе не содержит интервалов ненулевой длины. Иррациональные числа обладают тем же свойством, но множество Кантора обладает дополнительным свойством замкнутости , поэтому оно даже не является плотным ни в одном интервале, в отличие от иррациональных чисел, которые плотны в каждом интервале.

Было высказано предположение , что все алгебраические иррациональные числа нормальны . Поскольку члены множества Кантора не являются нормальными, это означало бы, что все члены множества Кантора либо рациональны, либо трансцендентальны .

Самоподобие

Множество Кантора является прототипом фрактала . Он самоподобен , поскольку равен двум копиям самого себя, если каждую копию уменьшить в 3 раза и перевести. Точнее, множество Кантора равно объединению двух функций, левого и правого самоподобных преобразований самого себя: $T_{L}(x)=x/3$ и $T_{R}(x)=(2+x)/3$, которые оставляют канторово множество инвариантным с точностью до гомеоморфизма : $T_{L}({\mathcal {C}})\cong T_{R}({\mathcal {C}})\cong {\mathcal {C}}=T_{L}({\mathcal {C}})\cup T_{R}({\mathcal {C}}).$

Повторная итерация ​ $T_{L}$ и $T_{R}$ можно представить как бесконечное двоичное дерево . То есть в каждом узле дерева можно рассматривать поддерево слева или справа. Принимая набор $\{T_{L},T_{R}\}$ вместе с функциональной композицией образует моноид , диадический моноид .

Автоморфизмы модулярной бинарного дерева представляют собой его гиперболические вращения и задаются группой . Таким образом, множество Кантора является однородным пространством в том смысле, что для любых двух точек $x$ и $y$ в наборе Кантора ${\mathcal {C}}$, существует гомеоморфизм $h:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$ с $h(x)=y$. Явное построение $h$ может быть описано более легко, если мы рассматриваем множество Кантора как пространство произведений счетного числа копий дискретного пространства. $\{0,1\}$. Тогда карта $h:\{0,1\}^{\mathbb {N} }\to \{0,1\}^{\mathbb {N} }$ определяется $h_{n}(u):=u_{n}+x_{n}+y_{n}\mod 2$ является инволютивным гомеоморфизмом, меняющим $x$ и $y$.

Закон сохранения

Было обнаружено, что за масштабирование и самоподобие всегда ответственна та или иная форма закона сохранения. В случае канторового множества можно видеть, что $d_{f}$момент (где $d_{f}=\ln(2)/\ln(3)$ — фрактальная размерность ) всех сохранившихся интервалов на любом этапе процесса построения равна константе, равной единице в случае канторового множества. Мы знаем, что существуют $N=2^{n}$ интервалы размера $1/3^{n}$ присутствует в системе на $n$шаг его строительства. Тогда, если мы обозначим сохранившиеся интервалы как $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2^{n}}$ тогда $d_{f}$этот момент $x_{1}^{d_{f}}+x_{2}^{d_{f}}+\cdots +x_{2^{n}}^{d_{f}}=1$ с $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{n}}=1/3^{n}$.

Хаусдорфова размерность канторового множества равна ln(2)/ln(3) ≈ 0,631.

Топологические и аналитические свойства

Хотя «множество Кантора» обычно относится к исходному множеству Кантора средней трети, описанному выше, топологи часто говорят о «множестве Кантора», что означает любое топологическое пространство , которое гомеоморфно (топологически эквивалентно) ему.

Как показывает приведенный выше аргумент суммирования, множество Кантора несчетно, но имеет меру Лебега 0. Поскольку множество Кантора является дополнением объединения полным , открытых множеств оно само является замкнутым подмножеством действительных чисел и, следовательно, метрическим пространством . Поскольку он также полностью ограничен , теорема Гейне-Бореля гласит, что он должен быть компактным .

Для любой точки множества Кантора и любой сколь угодно малой окрестности точки существует какое-то другое число с троичной цифрой, состоящей только из 0 и 2, а также числа, троичные цифры которых содержат 1. Следовательно, каждая точка множества Кантора является точкой накопления (также называемой точкой кластера или предельной точкой) множества Кантора, но ни одна из них не является внутренней точкой . Замкнутое множество, в котором каждая точка является точкой накопления, также называется совершенным множеством в топологии , а замкнутое подмножество интервала без внутренних точек нигде не является плотным в интервале.

Каждая точка множества Кантора является также точкой накопления дополнения к множеству Кантора.

Для любых двух точек множества Кантора найдется какая-то троичная цифра, где они различаются — одна будет иметь 0, а другая 2. Разделив множество Кантора на «половинки» в зависимости от значения этой цифры, можно получить разбиение множество Кантора разделилось на два замкнутых множества, разделяющих исходные две точки. В относительной топологии множества Кантора точки разделены замкнуто-замкнутым множеством . Следовательно, множество Кантора полностью несвязно . Как компактное, полностью несвязное пространство Хаусдорфа , множество Кантора является примером пространства Стоуна .

Как топологическое пространство, множество Кантора естественным образом гомеоморфно произведению счетного числа копий пространства. $\{0,1\}$, где каждая копия несет дискретную топологию . Это пространство всех последовательностей двухзначных .

$2^{\mathbb {N} }=\{(x_{n})\mid x_{n}\in \{0,1\}{\text{ for }}n\in \mathbb {N} \},$

которое также можно отождествить с набором 2-адических целых чисел . Основой топологии открытых множеств произведения являются множества цилиндров ; гомеоморфизм отображает их в топологию подпространства , которую множество Кантора наследует от естественной топологии на вещественной прямой . Эта характеристика канторова пространства как произведения компактных пространств дает второе доказательство того, что канторово пространство компактно, посредством теоремы Тихонова .

Согласно приведенной выше характеристике, множество Кантора гомеоморфно p -адическим целым числам и, если из него удалить одну точку, p -адическим числам .

Множество Кантора — это подмножество действительных чисел, которые являются метрическим пространством по отношению к обычной метрике расстояния ; следовательно, множество Кантора само по себе является метрическим пространством, используя ту же метрику. В качестве альтернативы можно использовать p -адическую метрику для $2^{\mathbb {N} }$: учитывая две последовательности $(x_{n}),(y_{n})\in 2^{\mathbb {N} }$, расстояние между ними $d((x_{n}),(y_{n}))=2^{-k}$, где $k$ — наименьший индекс такой, что $x_{k}\neq y_{k}$; если такого индекса нет, то две последовательности одинаковы, и расстояние определяется как нулевое. Эти две метрики создают одну и ту же топологию на множестве Кантора.

Выше мы видели, что канторово множество представляет собой вполне несвязное совершенное компактное метрическое пространство. Действительно, в каком-то смысле оно единственное: всякое непустое вполне несвязное совершенное компактное метрическое пространство гомеоморфно канторову множеству. Кантора, см . в разделе « Пространство Кантора Дополнительную информацию о пространствах, гомеоморфных множеству ».

Множество Кантора иногда рассматривается как «универсальное» в категории метрических пространств компактных , поскольку любое компактное метрическое пространство является непрерывным образом множества Кантора; однако эта конструкция не уникальна, и поэтому множество Кантора не является универсальным в точном категориальном смысле. Свойство «универсальности» имеет важные приложения в функциональном анализе , где его иногда называют теоремой о представлении компактных метрических пространств .

Для любого целого числа q ≥ 2 топология группы G = Z _q ^ой (счетная прямая сумма) дискретна. Хотя двойственный Понтрягину Γ также является Z _q ^ой топология Γ компактна. Видно, что Γ вполне несвязно и совершенно, а значит, гомеоморфно канторову множеству. Гомеоморфизм проще всего явно выписать в случае q = 2 (см. Рудин, 1962, стр. 40).

Мера и вероятность

Множество Кантора можно рассматривать как компактную группу двоичных последовательностей, и поэтому оно наделено естественной мерой Хаара . Если нормализовать так, что мера набора равна 1, это модель бесконечной последовательности подбрасываний монеты. Кроме того, можно показать, что обычная мера Лебега на отрезке является образом меры Хаара на канторовом множестве, а естественная инъекция в троичное множество является каноническим примером сингулярной меры . Также можно показать, что мера Хаара является образом любой вероятности , что в некотором смысле позволяет Кантору задать универсальное вероятностное пространство.

В теории меры Лебега множество Кантора является примером множества, которое несчетно и имеет нулевую меру. Напротив, набор имеет меру Хаусдорфа , равную 1, в размерности log 2 / log 3.

Числа Кантора

Если мы определим число Кантора как член множества Кантора, то

1. Каждое действительное число в [0, 2] представляет собой сумму двух чисел Кантора.
2. Между любыми двумя числами Кантора находится число, не являющееся числом Кантора.

Описательная теория множеств

Множество Кантора — это скудное множество (или множество первой категории) как подмножество [0,1] (хотя и не как подмножество самого себя, поскольку это пространство Бэра ). Таким образом, множество Кантора демонстрирует, что понятия «размера» с точки зрения мощности, меры и категории (Бэра) не обязательно должны совпадать. Как набор $\mathbb {Q} \cap [0,1]$, множество Кантора ${\mathcal {C}}$ является «маленьким» в том смысле, что это нулевое множество (множество нулевой меры) и скудное подмножество [0,1]. Однако в отличие от $\mathbb {Q} \cap [0,1]$, которая счетна и имеет «малую» мощность, $\aleph _{0}$, мощность ${\mathcal {C}}$ такое же, как и у [0,1], континуум ${\mathfrak {c}}$, и является «большим» в смысле мощности. Фактически, также возможно построить скудное подмножество [0,1], но положительной меры, и нескучное подмножество, но нулевой меры: Взяв счетное объединение «толстых» канторовых множеств ${\mathcal {C}}^{(n)}$ меры $\lambda =(n-1)/n$ (см. конструкцию Смита–Вольтерра–Кантора ниже), мы получаем набор ${\textstyle {\mathcal {A}}:=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}$имеющая положительную меру (равную 1), но скудную на [0,1], поскольку каждое ${\mathcal {C}}^{(n)}$ нигде не густо. Затем рассмотрим набор ${\textstyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }=[0,1]\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}$. С ${\mathcal {A}}\cup {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }=[0,1]$, ${\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }$ не может быть скудным, но поскольку $\mu ({\mathcal {A}})=1$, ${\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }$ должна иметь нулевую меру.

Варианты

Радиальный график первых десяти шагов

Набор Смита – Вольтерры – Кантора

Основная статья: набор Смита – Вольтерры – Кантора

Вместо того, чтобы неоднократно удалять среднюю треть каждой фигуры, как в наборе Кантора, мы могли бы также продолжать удалять любой другой фиксированный процент (кроме 0% и 100%) из середины. В случае, когда середина ⁠ 8/10 . 9 ⁠ интервала удаляется, мы получаем удивительно доступный случай — набор состоит из всех чисел из [0,1], которые можно записать в виде десятичной дроби, состоящей целиком из 0 и Если на каждом этапе удалять фиксированный процент, то ограничивающее множество будет иметь нулевую меру, так как длина остатка $(1-f)^{n}\to 0$ как $n\to \infty$ для любого $f$ такой, что $0<f\leq 1$.

С другой стороны, «толстые канторовы множества» положительной меры могут быть созданы путем удаления меньших частей середины отрезка на каждой итерации. Таким образом, можно построить множества, гомеоморфные канторовскому множеству, имеющие положительную меру Лебега, но при этом нигде не плотные. Если интервал длиной $r^{n}$ ( $r\leq 1/3$) удаляется из середины каждого сегмента на n -й итерации, тогда общая удаленная длина равна ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n-1}r^{n}=r/(1-2r)}$, а предельное множество будет иметь Лебега меру $\lambda =(1-3r)/(1-2r)$. Таким образом, в некотором смысле канторово множество средней трети представляет собой предельный случай с $r=1/3$. Если $0<r<1/3$, то остаток будет иметь положительную меру с $0<\lambda <1$. Дело $r=1/4$ известно как множество Смита-Вольтерра-Кантора , которое имеет меру Лебега $1/2$.

Стохастический набор Кантора

Можно изменить конструкцию множества Кантора, разделив его случайно, а не поровну. Кроме того, чтобы включить время, мы можем разделить только один из доступных интервалов на каждом шаге вместо того, чтобы делить все доступные интервалы. В случае стохастического триадического множества Кантора результирующий процесс можно описать следующим уравнением скорости:

${\frac {\partial c(x,t)}{\partial t}}=-{\frac {x^{2}}{2}}c(x,t)+2\int _{x}^{\infty }(y-x)c(y,t)\,dy,$

и для стохастического диадического множества Кантора

${{\partial c(x,t)} \over {\partial t}}=-xc(x,t)+(1+p)\int _{x}^{\infty }c(y,t)\,dy,$

где $c(x,t)dx$ количество интервалов размера между $x$ и $x+dx$. В случае триадного множества Кантора фрактальная размерность равна $0.5616$ который меньше, чем его детерминированный аналог $0.6309$. В случае стохастического диадического множества Канторафрактальное измерение - это $p$ что снова меньше, чем у его детерминированного аналога $\ln(1+p)/\ln 2$. В случае стохастической диады Кантор нашел решение для $c(x,t)$ демонстрирует динамическое масштабирование , поскольку его решение в долгосрочном пределе равно $t^{-(1+d_{f})}e^{-xt}$ где фрактальная размерность стохастического диадического множества Кантора $d_{f}=p$. В любом случае, как и в случае с триадным множеством Кантора, $d_{f}$этот момент ( ${\textstyle \int x^{d_{f}}c(x,t)\,dx={\text{constant}}}$) стохастических триадических и диадических канторовых множеств также являются сохраняющимися величинами.

Канторова пыль

Канторова пыль — это многомерная версия множества Кантора. Его можно сформировать, взяв конечное декартово произведение канторова множества на самого себя, сделав его канторовым пространством . Как и множество Кантора, пыль Кантора имеет нулевую меру .

канторовых кубов к канторовской пыли Прогресс рекурсии

Канторова пыль (2D)

Канторова пыль (3D)

Другим 2D-аналогом множества Кантора является ковер Серпинского , где квадрат делится на девять меньших квадратов, а средний удаляется. Оставшиеся квадраты затем делятся еще на девять каждый, а середина удаляется, и так до бесконечности. Одним из трехмерных аналогов этого является губка Менгера .

Исторические замечания

изображение второй итерации канторовой пыли в двух измерениях

изображение 4-й итерации канторовой пыли в двух измерениях

Кантор представил то, что мы сегодня называем тройным множеством Кантора. ${\mathcal {C}}$ как пример « идеального набора точек , который не является всюду плотным в любом интервале, каким бы малым он ни был». Кантор описал ${\mathcal {C}}$ в терминах троичных разложений, как «множество всех действительных чисел, заданное формулой: $z=c_{1}/3+c_{2}/3^{2}+\cdots +c_{\nu }/3^{\nu }+\cdots$где коэффициенты $c_{\nu }$ произвольно примите два значения 0 и 2, и ряд может состоять из конечного числа или бесконечного числа элементов».

Топологическое пространство $P$ совершенен, если все его точки являются предельными точками или, что то же самое, если он совпадает со своим производным множеством $P'$. Подмножества реальной линии, например ${\mathcal {C}}$, можно рассматривать как топологические пространства с топологией индуцированного подпространства.

К изучению производных множеств Кантора привели его результаты о единственности тригонометрических рядов . Последний многое сделал для того, чтобы направить его на путь разработки абстрактной общей теории бесконечных множеств .

Бенуа Мандельброт много писал о канторовой пыли и ее связи с природными фракталами и статистической физикой . Далее он размышлял о загадочной или даже расстраивающей природе таких структур представителей математического и физического сообщества. В «Фрактальной геометрии природы » он описал, как «когда я начал заниматься этой темой в 1962 году, все были согласны с тем, что пыль Кантора по меньшей мере так же чудовищна, как кривые Коха и Пеано », и добавил, что «каждый уважающий себя физик автоматически его отключило упоминание о Канторе, и он был готов бежать на милю от любого, кто заявит, что ${\mathcal {C}}$ интересоваться наукой».

См. также

изображение 6-й итерации канторовой пыли в двух измерениях

• Индикаторная функция множества Кантора
• Набор Смита – Вольтерры – Кантора
• Функция Кантора
• Канторов куб
• ожерелье Антуана
• Снежинка Коха
• Фанат Кнастера – Куратовского
• Список фракталов по размерности Хаусдорфа
• Последовательность Мозера – де Брейна

  

  Заглавная колонка с узором, напоминающим набор Кантора, но выраженным в двоичной, а не троичной форме. Гравюра с изображением Иль-де-Филы из «Описания Египта» Жана-Батиста Проспера Жоллуа и Эдуарда Девилье, Imprimerie Impériale, Париж, 1809–1828 гг.

Ссылки

• Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( Дувра переиздание , изд. 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . Пример 29. ISBN  978-0-486-68735-3 . МР   0507446 .
• Уайз, Гэри Л.; Холл, Эрик Б. (1993). Контрпримеры в теории вероятности и реальном анализе . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета . Глава 1. ISBN  0-19-507068-2 .
• Фальконер, KJ (24 июля 1986 г.). Геометрия фрактальных множеств . Кембриджские трактаты по математике. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0521337054 .
• Маттила, Пертти (25 февраля 1999 г.). Геометрия множеств и мер в евклидовом пространстве: фракталы и спрямляемость . Кембриджские исследования в области высшей математики. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0521655951 .
• Маттила, Пертти (2015). Анализ Фурье и размерность Хаусдорфа . Кембриджские исследования в области высшей математики. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9781316227619 . .
• Зигмунд, А. (1958). Тригонометрическая серия, Тт. Я и II . Издательство Кембриджского университета.

Внешние ссылки

• «Канторовое множество» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Канторовы множества и Канторовы множества и функции в кратчайшие сроки
• Канторовский сет в Platonic Realms