p -адическое число

В этой статье, если не указано иное, p обозначает простое число, фиксированное раз и навсегда.

3-адические целые числа с выбранными соответствующими символами в их двойственной группе Понтрягина.

В теории чисел , учитывая простое число p , p -адические числа образуют расширение рациональных чисел , которое отличается от действительных чисел , хотя и с некоторыми схожими свойствами; p -адические числа могут быть записаны в форме, аналогичной (возможно, бесконечной ) десятичной дроби , но с цифрами, основанными на простом числе p, а не на десяти, и простирающимися влево, а не вправо.

Например, сравнивая разложение рационального числа ${\tfrac {1}{5}}$ в базе 3 по сравнению с 3 -адическим расширением,

${\begin{alignedat}{3}{\tfrac {1}{5}}&{}=0.01210121\ldots \ ({\text{base }}3)&&{}=0\cdot 3^{0}+0\cdot 3^{-1}+1\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+\cdots \\[5mu]{\tfrac {1}{5}}&{}=\dots 121012102\ \ ({\text{3-adic}})&&{}=\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}.\end{alignedat}}$

Формально, учитывая простое число p , p -адическое число можно определить как ряд

$s=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{k}p^{k}+a_{k+1}p^{k+1}+a_{k+2}p^{k+2}+\cdots$

где k — целое число (возможно, отрицательное), и каждый $a_{i}$ целое число такое, что $0\leq a_{i}<p.$ — p -адическое целое число это p -адическое число такое, что $k\geq 0.$

В общем, ряд, представляющий p -адическое число, не сходится в обычном смысле, но сходится для p -адического абсолютного значения. $|s|_{p}=p^{-k},$ где k — наименьшее целое число i такое, что $a_{i}\neq 0$ (если все $a_{i}$ равны нулю, то единица имеет нулевое p -адическое число, которое имеет 0 в качестве p -адического абсолютного значения).

Каждое рациональное число может быть однозначно выражено как сумма ряда, как указано выше, относительно p -адического абсолютного значения. Это позволяет рассматривать рациональные числа как особые p -адические числа и, альтернативно, определять p -адические числа как пополнение рациональных чисел для p -адического абсолютного значения, точно так же, как действительные числа являются пополнением рациональных чисел для обычных чисел. абсолютное значение.

p -адические числа были впервые описаны Куртом Хензелем в 1897 году. хотя, оглядываясь назад, некоторые из более ранних работ Эрнста Куммера можно интерпретировать как неявно использующие p -адические числа.

Мотивация

Грубо говоря, модульная арифметика по модулю положительного целого числа n состоит из «приближения» каждого целого числа остатком от его деления на n , называемым его остатком по модулю n . Основное свойство модульной арифметики состоит в том, что вычет по модулю n результата последовательности операций над целыми числами совпадает с результатом той же последовательности операций над остатками по модулю n . Если известно, что абсолютное значение результата меньше n/2 , это позволяет вычислить результат, который не включает в себя целое число, большее n .

Для получения более крупных результатов старый метод, все еще широко используемый, состоит в использовании нескольких небольших модулей, которые попарно взаимно просты, и применении китайской теоремы об остатках для восстановления результата по модулю произведения модулей.

Другой метод, открытый Куртом Хензелем, состоит в использовании простого модуля p и применении леммы Хенселя для итеративного восстановления результата по модулю. $p^{2},p^{3},\ldots ,p^{n},\ldots$ Если процесс продолжается бесконечно, в конечном итоге результатом будет p -адическое число.

Основные леммы

Теория p -адических чисел фундаментально основана на двух следующих леммах

Любое ненулевое рациональное число можно записать ${\textstyle p^{v}{\frac {m}{n}},}$ где v , m и n — целые числа и ни m, ни n не делятся на p . Показатель v однозначно определяется рациональным числом и называется его p -адической оценкой (это определение является частным случаем более общего определения, данного ниже). Доказательство леммы непосредственно вытекает из основной теоремы арифметики .

Каждое ненулевое рациональное число r оценки v можно однозначно записать $r=ap^{v}+s,$ где s — рациональное число оценки, большей, чем v , а a — целое число такое, что $0<a<p.$

Доказательство этой леммы следует из модулярной арифметики : по приведенной выше лемме ${\textstyle r=p^{v}{\frac {m}{n}},}$ где m и n — целые числа, взаимно простые с p . Модульная обратная величина n — это целое число q такое, что $nq=1+ph$ для некоторого целого числа h . Следовательно, у человека есть ${\textstyle {\frac {1}{n}}=q-p{\frac {h}{n}},}$ и ${\textstyle r=p^{v}mq-p^{v+1}{\frac {hm}{n}}.}$ Евклидово деление ​ $mq$ по р дает $mq=pk+a$ где $0<a<p,$ поскольку mq не делится на p . Так,

$r=ap^{v}+p^{v+1}{\frac {kn-hm}{n}},$

что является желаемым результатом.

Это можно повторить, начиная с s вместо r , давая следующее.

Учитывая ненулевое рациональное число r оценки v и целое положительное число k , существует рациональное число $s_{k}$ неотрицательного значения и k однозначно определенных неотрицательных целых чисел $a_{0},\ldots ,a_{k-1}$ меньше, чем p, такое, что $a_{0}>0$ и

$r=a_{0}p^{v}+a_{1}p^{v+1}+\cdots +a_{k-1}p^{v+k-1}+p^{v+k}s_{k}.$

-адические числа p по существу получаются путем бесконечного продолжения этого процесса с образованием бесконечного ряда .

р -адический ряд

p - -адические числа обычно определяются с помощью p адических рядов.

p ряд -адический ряд — это формальный степенной вида

$\sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},$

где $v$ является целым числом, а $r_{i}$ — рациональные числа, которые либо равны нулю, либо имеют неотрицательную оценку (т. е. знаменатель $r_{i}$ не делится на p ).

Каждое рациональное число можно рассматривать как p -адический ряд с единственным ненулевым членом, состоящим из его факторизации вида $p^{k}{\tfrac {n}{d}},$ с n и d оба взаимно просты с p .

Две p -адические серии ${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i}}$ и ${\textstyle \sum _{i=w}^{\infty }s_{i}p^{i}}$эквивалентны , если существует целое число N такое, что для любого целого числа $n>N,$ рациональное число

$\sum _{i=v}^{n}r_{i}p^{i}-\sum _{i=w}^{n}s_{i}p^{i}$

равно нулю или имеет p -адическое значение больше n .

p ряд -адический ${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }a_{i}p^{i}}$ нормируется , если либо все $a_{i}$ являются целыми числами такими, что $0\leq a_{i}<p,$ и $a_{v}>0,$ или все $a_{i}$ равны нулю. В последнем случае ряд называется нулевым рядом .

Каждый p -адический ряд эквивалентен ровно одному нормированному ряду. Этот нормализованный ряд получается последовательностью преобразований, которые являются эквивалентностями рядов; см. § Нормализация p -адического ряда ниже.

Другими словами, эквивалентность p -адических рядов является отношением эквивалентности , и каждый класс эквивалентности содержит ровно один нормализованный p -адический ряд.

Обычные операции над рядами (сложение, вычитание, умножение, деление) совместимы с эквивалентностью р -адического ряда. То есть, обозначая эквивалентность с ~ , если S , T и U — ненулевые p -адические ряды такие, что $S\sim T,$ у одного есть

${\begin{aligned}S\pm U&\sim T\pm U,\\SU&\sim TU,\\1/S&\sim 1/T.\end{aligned}}$

p - адические числа часто определяются как классы эквивалентности p -адических рядов, аналогично определению действительных чисел как классов эквивалентности последовательностей Коши . Свойство единственности нормализации позволяет однозначно представить любое p -адическое число соответствующим нормализованным p -адическим рядом. Совместимость эквивалентности рядов почти сразу приводит к основным свойствам p -адических чисел:

• Сложение , умножение и мультипликативное обращение - адических p чисел определяются как для формальных степенных рядов с последующей нормализацией результата.
• С помощью этих операций p -адические числа образуют поле , которое является полем расширения рациональных чисел.
• Оценка x ненулевого p -адического числа , обычно обозначаемого $v_{p}(x)$ – показатель степени p в первом ненулевом члене соответствующего нормализованного ряда; нулевая оценка равна $v_{p}(0)=+\infty$
• p ненулевого -адическое абсолютное значение x p -адического числа , равно $|x|_{p}=p^{-v(x)};$ для нулевого p -адического числа имеем $|0|_{p}=0.$

Нормализация p -адического ряда

Начиная с сериала ${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},}$ первая лемма выше позволяет получить эквивалентный ряд такой, что p -адическая оценка $r_{v}$ равен нулю. Для этого рассматривается первый ненулевой $r_{i}.$ Если его p -адическая оценка равна нулю, достаточно заменить v на i , то есть начать суммирование с v . В противном случае p -адическая оценка $r_{i}$ является $j>0,$ и $r_{i}=p^{j}s_{i}$ где оценка $s_{i}$ равен нулю; Итак, можно получить эквивалентный ряд, заменив $r_{i}$ до 0 и $r_{i+j}$ к $r_{i+j}+s_{i}.$ Повторяя этот процесс, в конечном итоге, возможно, после бесконечного числа шагов, получаем эквивалентный ряд, который либо является нулевым рядом, либо таким рядом, что оценка $r_{v}$ равен нулю.

Затем, если ряд не нормализован, рассмотрим первый ненулевой $r_{i}$ это не целое число в интервале $[0,p-1].$ Вторая лемма выше позволяет записать ее $r_{i}=a_{i}+ps_{i};$ можно получить n эквивалентных серий, заменив $r_{i}$ с $a_{i},$ и добавление $s_{i}$ к $r_{i+1}.$ Повторение этого процесса, возможно, бесконечное количество раз, в конечном итоге дает желаемый нормализованный p -адический ряд.

Определение

Существует несколько эквивалентных определений p -адических чисел. Тот, который приведен здесь, относительно элементарен, поскольку не включает в себя никаких других математических понятий, кроме тех, которые были представлены в предыдущих разделах. Другие эквивалентные определения используют пополнение кольца дискретного нормирования (см. § p-адические целые числа ), пополнение метрического пространства (см. § Топологические свойства ) или обратные пределы (см. § Модульные свойства ).

-адическое число p можно определить как нормализованный p -адический ряд . Поскольку существуют и другие эквивалентные определения, которые обычно используются, часто говорят, что нормализованный p -адический ряд представляет p - адическое число, вместо того, чтобы говорить, что это p - адическое число.

Можно также сказать, что любой p -адический ряд представляет собой p -адическое число, поскольку каждый p -адический ряд эквивалентен единственному нормализованному p -адическому ряду. Это полезно для определения операций (сложения, вычитания, умножения, деления) p -адических чисел: результат такой операции получается путем нормализации результата соответствующей операции над рядом. Это хорошо определяет операции над p -адическими числами, поскольку операции над рядами совместимы с эквивалентностью p -адических рядов.

С помощью этих операций p -адические числа образуют поле, называемое полем p -адических чисел и обозначаемое $\mathbb {Q} _{p}$ или $\mathbf {Q} _{p}.$ Существует единственный гомоморфизм полей рациональных чисел в p -адические числа, который отображает рациональное число в его p -адическое расширение. Образ . этого гомоморфизма обычно отождествляют с полем рациональных чисел Это позволяет рассматривать p -адические числа как поле расширения рациональных чисел, а рациональные числа как подполе -адических чисел p .

Оценка x ненулевого p -адического числа , обычно обозначаемого $v_{p}(x),$ является показателем степени p в первом ненулевом члене каждой p -адической серии, представляющей x . По соглашению, $v_{p}(0)=\infty ;$ то есть оценка нуля равна $\infty .$ Эта оценка является дискретной оценкой . Ограничением этой оценки на рациональные числа является p -адическая оценка $\mathbb {Q} ,$ то есть показатель степени v при факторизации рационального числа как ${\tfrac {n}{d}}p^{v},$ причем оба n и d взаимно просты с p .

p -адические целые числа

Целые p -адические числа — это p -адические числа с неотрицательной оценкой.

-адическое целое число p можно представить в виде последовательности

$x=(x_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )$

остатков x _и mod p ^и для каждого целого числа e , удовлетворяющего отношениям совместимости $x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})$ для я <j .

Каждое целое число является p -адическим целым числом (включая ноль, поскольку $0<\infty$). Рациональные числа вида ${\textstyle {\tfrac {n}{d}}p^{k}}$ с d взаимно простыми с p и $k\geq 0$ также являются p -адическими целыми числами (по той причине, что d имеет обратный мод p ^и для каждого е ).

Целые p -адические числа образуют коммутативное кольцо , обозначаемое $\mathbb {Z} _{p}$ или $\mathbf {Z} _{p}$, который имеет следующие свойства.

• Это область целостности , поскольку оно является подкольцом поля или поскольку первый член серийного представления произведения двух ненулевых p -адических рядов является произведением их первых членов.
• Единицы ( обратимые элементы) $\mathbb {Z} _{p}$ — p -адические числа нулевой оценки.
• Это область главных идеалов , такая, что каждый идеал порождается степенью p .
• Это локальное кольцо размерности Крулля один, поскольку его единственные простые идеалы — это нулевой идеал и идеал, порожденный p , единственный максимальный идеал .
• Это кольцо дискретного нормирования , поскольку это следует из предыдущих свойств.
• Это завершение местного кольца $\mathbb {Z} _{(p)}=\{{\tfrac {n}{d}}\mid n,d\in \mathbb {Z} ,\,d\not \in p\mathbb {Z} \},$ такое локализация что $\mathbb {Z}$ в высшем идеале $p\mathbb {Z} .$

Последнее свойство дает определение p -адических чисел, эквивалентное приведенному выше: поле p -адических чисел представляет собой поле дробей завершения локализации целых чисел в простом идеале, порожденном p .

Топологические свойства

p -адическое абсолютное значение -адическая оценка позволяет определить абсолютное значение p -адических чисел : p ненулевого p -адического числа x равно

$|x|_{p}=p^{-v_{p}(x)},$

где $v_{p}(x)$ является p -адической оценкой x . значение p -адическое абсолютное $0$ является $|0|_{p}=0.$ Это абсолютное значение, которое удовлетворяет сильному неравенству треугольника , поскольку для каждых x и y имеется

• $|x|_{p}=0$ тогда и только тогда, когда $x=0;$
• $|x|_{p}\cdot |y|_{p}=|xy|_{p}$
• $|x+y|_{p}\leq \max(|x|_{p},|y|_{p})\leq |x|_{p}+|y|_{p}.$

Более того, если $|x|_{p}\neq |y|_{p},$ у одного есть $|x+y|_{p}=\max(|x|_{p},|y|_{p}).$

Это делает p -адические числа метрическим пространством и даже ультраметрическим пространством с p -адическим расстоянием, определяемым формулой $d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}.$

В качестве метрического пространства p -адические числа образуют пополнение рациональных чисел, наделенных p -адическим абсолютным значением. Это обеспечивает другой способ определения p -адических чисел. Однако в этом случае общую конструкцию пополнения можно упростить, поскольку метрика определяется дискретной оценкой (короче, из каждой последовательности Коши можно выделить подпоследовательность такую, что разности между двумя последовательными членами имеют строго убывающие абсолютные значения такая подпоследовательность является последовательностью частичных сумм -адического ряда p , и, следовательно, каждому классу эквивалентности последовательностей Коши может быть сопоставлен единственный нормализованный p -адический ряд, поэтому для построения пополнения достаточно рассматривать нормализованный; p -адические ряды вместо классов эквивалентности последовательностей Коши).

Поскольку метрика определяется на основе дискретной оценки, каждый открытый шар также является закрытым . Точнее, открытый шар $B_{r}(x)=\{y\mid d_{p}(x,y)<r\}$ равен закрытому шару $B_{p^{-v}}[x]=\{y\mid d_{p}(x,y)\leq p^{-v}\},$ где v — наименьшее целое число такое, что $p^{-v}<r.$ Сходным образом, $B_{r}[x]=B_{p^{-w}}(x),$ где w — наибольшее целое число такое, что $p^{-w}>r.$

Это означает, что p -адические числа образуют локально компактное пространство , а p -адические целые числа, т. е. шар $B_{1}[0]=B_{p}(0)$— образуют компактное пространство .

p -адическое разложение рациональных чисел

Десятичное разложение положительного рационального числа $r$ это его представление в виде ряда

$r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}10^{-i},$

где $k$ является целым числом, и каждое $a_{i}$ также является целым числом, таким что $0\leq a_{i}<10.$ Это разложение можно вычислить путем деления числителя на знаменатель, что само по себе основано на следующей теореме: Если $r={\tfrac {n}{d}}$ — рациональное число такое, что $10^{k}\leq r<10^{k+1},$ есть целое число $a$ такой, что $0<a<10,$ и $r=a\,10^{k}+r',$ с $r'<10^{k}.$ Десятичное разложение получается путем многократного применения этого результата к остатку. $r'$ которое на итерации принимает на себя роль исходного рационального числа $r$.

Аналогично определяется p рационального - адическое разложение числа, но с другим шагом деления. Точнее, учитывая фиксированное простое число $p$, каждое ненулевое рациональное число $r$ можно однозначно записать как $r=p^{k}{\tfrac {n}{d}},$ где $k$ является (возможно, отрицательным) целым числом, $n$ и $d$ являются взаимно простыми целыми числами, оба взаимно простыми с $p$, и $d$ является положительным. Целое число $k$ это p -адическая оценка $r$, обозначенный $v_{p}(r),$ и $p^{-k}$ — его p -адическое абсолютное значение , обозначаемое $|r|_{p}$ (абсолютное значение мало, когда оценка велика). Шаг деления состоит из записи

$r=a\,p^{k}+r'$

где $a$ целое число такое, что $0\leq a<p,$ и $r'$ либо ноль, либо такое рациональное число, что $|r'|_{p}<p^{-k}$ (то есть, $v_{p}(r')>k$).

The $p$- адическое расширение $r$ формальный степенной ряд

$r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}$

получается путем бесконечного повторения описанного выше шага деления на последовательных остатках. В p -адическом разложении все $a_{i}$ являются целыми числами такими, что $0\leq a_{i}<p.$

Если $r=p^{k}{\tfrac {n}{1}}$ с $n>0$, процесс в конце концов останавливается с нулевым остатком; в этом случае ряд завершается конечными членами с нулевым коэффициентом и представляет собой представление $r$ в базе -п .

Существование и вычисление p -адического разложения рационального числа вытекает из тождества Безу следующим образом. Если, как указано выше, $r=p^{k}{\tfrac {n}{d}},$ и $d$ и $p$ взаимно просты, существуют целые числа $t$ и $u$ такой, что $td+up=1.$ Так

$r=p^{k}{\tfrac {n}{d}}(td+up)=p^{k}nt+p^{k+1}{\frac {un}{d}}.$

Тогда евклидово деление $nt$ к $p$ дает

$nt=qp+a,$

с $0\leq a<p.$Это дает шаг деления как

${\begin{array}{lcl}r&=&p^{k}(qp+a)+p^{k+1}{\frac {un}{d}}\\&=&ap^{k}+p^{k+1}\,{\frac {qd+un}{d}},\\\end{array}}$

так что в итерации

$r'=p^{k+1}\,{\frac {qd+un}{d}}$

это новое рациональное число.

Единственность шага деления и всего p -адического разложения очевидна: если $p^{k}a_{1}+p^{k+1}s_{1}=p^{k}a_{2}+p^{k+1}s_{2},$ у одного есть $a_{1}-a_{2}=p(s_{2}-s_{1}).$ Это означает $p$ делит $a_{1}-a_{2}.$ С $0\leq a_{1}<p$ и $0\leq a_{2}<p,$ следующее должно быть правдой: $0\leq a_{1}$ и $a_{2}<p.$ Таким образом, человек получает $-p<a_{1}-a_{2}<p,$ и поскольку $p$ делит $a_{1}-a_{2}$ должно быть это $a_{1}=a_{2}.$

p - адическое разложение рационального числа — это ряд, который сходится к рациональному числу, если применить определение сходящегося ряда с p -адическим абсолютным значением.В стандартной p -адической записи цифры записываются в том же порядке, что и в стандартной счисления по основанию -p системе , а именно с возрастанием степеней основания влево. Это означает, что построение цифр происходит в обратном порядке, и предел возникает в левой части.

-адическое разложение p рационального числа в конечном итоге является периодическим . И наоборот , ряд ${\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i},}$ с $0\leq a_{i}<p$ сходится (для p -адического абсолютного значения) к рациональному числу тогда и только тогда, когда оно в конечном итоге периодично; в данном случае ряд представляет собой p -адическое разложение этого рационального числа. Доказательство повторяющихся аналогично доказательству аналогичного результата для десятичных дробей .

Пример

Вычислим 5-адическое разложение ${\tfrac {1}{3}}.$ Тождество Безу для числа 5 и знаменателя 3 равно $2\cdot 3+(-1)\cdot 5=1$ (для более крупных примеров это можно вычислить с помощью расширенного алгоритма Евклида ). Таким образом

${\frac {1}{3}}=2+5({\frac {-1}{3}}).$

Для следующего шага необходимо расширить $-1/3$ (множитель 5 следует рассматривать как « сдвиг » p -адической оценки, аналогичный основе любого числового расширения, и, следовательно, его самого не следует расширять). Чтобы расширить $-1/3$, мы исходим из того же тождества Безу и умножаем его на $-1$, давая

$-{\frac {1}{3}}=-2+{\frac {5}{3}}.$

«Целая часть» $-2$ находится не в правильном интервале. Значит, нужно воспользоваться евклидовым делением на $5$ для получения $-2=3-1\cdot 5,$ предоставление

$-{\frac {1}{3}}=3-5+{\frac {5}{3}}=3-{\frac {10}{3}}=3+5({\frac {-2}{3}}),$

и расширение на первом этапе становится

${\frac {1}{3}}=2+5\cdot (3+5\cdot ({\frac {-2}{3}}))=2+3\cdot 5+{\frac {-2}{3}}\cdot 5^{2}.$

Аналогично, у человека есть

$-{\frac {2}{3}}=1-{\frac {5}{3}},$

и

${\frac {1}{3}}=2+3\cdot 5+1\cdot 5^{2}+{\frac {-1}{3}}\cdot 5^{3}.$

В качестве «остатка» $-{\tfrac {1}{3}}$ уже найден, то процесс можно легко продолжить, дав коэффициенты $3$ для нечетных степеней пяти, и $1$ для четных степеней.Или в стандартной 5-адической записи

${\frac {1}{3}}=\ldots 1313132_{5}$

с многоточием $\ldots$ на левой стороне.

Позиционное обозначение

Можно использовать позиционную запись, аналогичную той, которая используется для представления чисел по основанию p .

Позволять ${\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}}$ быть нормализованным p -адическим рядом, т. е. каждый $a_{i}$ является целым числом в интервале $[0,p-1].$ Можно предположить, что $k\leq 0$ установив $a_{i}=0$ для $0\leq i<k$ (если $k>0$) и добавляем полученные нулевые члены в ряд.

Если $k\geq 0,$ позиционное обозначение состоит из записи $a_{i}$ последовательно, в порядке убывания значений i , часто с p, появляющимся справа в качестве индекса:

$\ldots a_{n}\ldots a_{1}{a_{0}}_{p}$

Итак, расчет приведенного выше примера показывает, что

${\frac {1}{3}}=\ldots 1313132_{5},$

и

${\frac {25}{3}}=\ldots 131313200_{5}.$

Когда $k<0,$ разделительная точка добавляется перед цифрами с отрицательным индексом, и, если индекс p присутствует, он появляется сразу после разделительной точки. Например,

${\frac {1}{15}}=\ldots 3131313._{5}2,$

и

${\frac {1}{75}}=\ldots 1313131._{5}32.$

Если p -адическое представление конечно слева (т. е. $a_{i}=0$ для больших значений i ), то оно имеет значение неотрицательного рационального числа вида $np^{v},$ с $n,v$ целые числа. Эти рациональные числа являются в точности неотрицательными рациональными числами, имеющими конечное представление в базе p . Для этих рациональных чисел оба представления одинаковы.

Модульные свойства

Фактор -кольцо $\mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}$ можно узнать по кольцу $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ целых чисел по модулю $p^{n}.$ Это можно показать, заметив, что каждое p -адическое целое число, представленное его нормализованным p -адическим рядом, конгруэнтно по модулю. $p^{n}$ с его частичной суммой ${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}p^{i},}$ значение которого является целым числом в интервале $[0,p^{n}-1].$ Непосредственная проверка показывает, что это определяет изоморфизм колец из $\mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}$ к $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .$

Обратный предел колец $\mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}$ определяется как кольцо, образованное последовательностями $a_{0},a_{1},\ldots$ такой, что $a_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z}$ и ${\textstyle a_{i}\equiv a_{i+1}{\pmod {p^{i}}}}$ для каждого я .

Отображение, которое отображает нормализованный p -адический ряд в последовательность его частичных сумм, является кольцевым изоморфизмом из $\mathbb {Z} _{p}$ обратному пределу $\mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}.$ Это обеспечивает другой способ определения p -адических целых чисел ( с точностью до изоморфизма).

Это определение p -адических целых чисел особенно полезно для практических вычислений, поскольку позволяет строить p -адические целые числа путем последовательных приближений.

Например, для вычисления p -адического (мультипликативного) обратного целого числа можно использовать метод Ньютона , начиная с обратного по модулю p ; затем каждый шаг Ньютона вычисляет обратный по модулю ${\textstyle p^{n^{2}}}$ по обратному модулю ${\textstyle p^{n}.}$

Тот же метод можно использовать для вычисления p -адического квадратного корня из целого числа, которое является квадратичным вычетом по модулю p . Кажется, это самый быстрый из известных методов проверки того, является ли большое целое число квадратом: достаточно проверить, является ли данное целое число квадратом значения, найденного в $\mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}$. Применение метода Ньютона для нахождения квадратного корня требует ${\textstyle p^{n}}$ быть больше заданного целого числа более чем в два раза, что быстро удовлетворяется.

Лифтинг Хенселя - это аналогичный метод, который позволяет «поднять» факторизацию по модулю p многочлена с целыми коэффициентами до факторизации по модулю. ${\textstyle p^{n}}$ для больших значений n . Это обычно используется алгоритмами полиномиальной факторизации .

Обозначения

Существует несколько различных соглашений по написанию p -адических расширений. До сих пор в этой статье использовались обозначения для p -адических разложений, в которых возрастают справа степени p налево. При таком обозначении справа налево 3-адическое разложение ${\tfrac {1}{5}},$ например, записывается как

${\frac {1}{5}}=\dots 121012102_{3}.$

При выполнении арифметических действий в этой записи цифры переносятся влево. Также возможно написать p -адические разложения так, чтобы степени p увеличивались слева направо, а цифры переносились вправо. При таком обозначении слева направо 3-адическое разложение ${\tfrac {1}{5}}$ является

${\frac {1}{5}}=2.01210121\dots _{3}{\mbox{ or }}{\frac {1}{15}}=20.1210121\dots _{3}.$

p -адические расширения могут быть записаны с другими наборами цифр вместо {0, 1, ...,   p - 1 }. Например, 3 -адическое разложение ${\tfrac {1}{5}}$ может быть записано с использованием сбалансированных троичных цифр { 1 , 0, 1 }, где 1 представляет отрицательную единицу, как

${\frac {1}{5}}=\dots {\underline {1}}11{\underline {11}}11{\underline {11}}11{\underline {1}}_{\text{3}}.$

Фактически любой набор из p целых чисел, которые принадлежат к разным классам вычетов по модулю p, может использоваться как p -адические цифры. В теории чисел представители Тейхмюллера иногда используются как цифры.

Обозначение кавычек — это вариант p -адического представления рациональных чисел , который был предложен в 1979 году Эриком Хенером и Найджелом Хорспулом для реализации на компьютерах (точной) арифметики с этими числами.

Кардинальность

Оба $\mathbb {Z} _{p}$ и $\mathbb {Q} _{p}$ несчетны мощность и имеют континуума . Для $\mathbb {Z} _{p},$ это следует из p -адического представления, которое биекцию определяет $\mathbb {Z} _{p}$ на силовом наборе $\{0,\ldots ,p-1\}^{\mathbb {N} }.$ Для $\mathbb {Q} _{p}$ это является результатом его выражения как счетного бесконечного объединения копий $\mathbb {Z} _{p}$:

$\mathbb {Q} _{p}=\bigcup _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{i}}}\mathbb {Z} _{p}.$

Алгебраическое замыкание

$\mathbb {Q} _{p}$ содержит $\mathbb {Q}$ и является полем характеристики 0 .

Поскольку 0 можно записать как сумму квадратов, $\mathbb {Q} _{p}$ нельзя превратить в упорядоченное поле .

Поле действительных чисел $\mathbb {R}$ имеет только одно собственное алгебраическое расширение : комплексные числа $\mathbb {C}$. Другими словами, это квадратичное расширение уже алгебраически замкнуто . Напротив, замыкание алгебраическое $\mathbb {Q} _{p}$, обозначенный ${\overline {\mathbb {Q} _{p}}},$ имеет бесконечную степень, то есть, $\mathbb {Q} _{p}$ имеет бесконечно много неэквивалентных алгебраических расширений. Также в отличие от случая действительных чисел, хотя существует уникальное расширение p -адической оценки на ${\overline {\mathbb {Q} _{p}}},$ последний не является (метрически) полным. Его (метрическое) пополнение называется $\mathbb {C} _{p}$ или $\Omega _{p}$. Здесь достигается конец, так как $\mathbb {C} _{p}$ алгебраически замкнуто. Однако в отличие от $\mathbb {C}$ это поле не является локально компактным .

$\mathbb {C} _{p}$ и $\mathbb {C}$ изоморфны как кольца, поэтому мы можем рассматривать $\mathbb {C} _{p}$ как $\mathbb {C}$ наделен экзотической метрикой. Доказательство существования такого изоморфизма полей опирается на аксиому выбора и не дает явного примера такого изоморфизма (т. е. оно не является конструктивным ).

Если $K$ — любое конечное расширение Галуа $\mathbb {Q} _{p},$, группа Галуа $\operatorname {Gal} \left(K/\mathbb {Q} _{p}\right)$ разрешима ​ . Таким образом, группа Галуа $\operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbb {Q} _{p}}}/\mathbb {Q} _{p}\right)$ является разрешимым .

Мультипликативная группа

$\mathbb {Q} _{p}$ содержит n -е круговое поле ( n > 2 ) тогда и только тогда, когда n | п - 1 . Например, n -е круговое поле является подполем $\mathbb {Q} _{13}$ тогда и только тогда, когда n = 1, 2, 3, 4, 6 или 12 . В частности, нет мультипликативного p - кручения в $\mathbb {Q} _{p}$ если р > 2 . Кроме того, −1 — единственный нетривиальный элемент кручения в $\mathbb {Q} _{2}$.

Учитывая натуральное число k , индекс мультипликативной группы k -х степеней ненулевых элементов $\mathbb {Q} _{p}$ в $\mathbb {Q} _{p}^{\times }$ конечно.

Число e , определяемое как сумма обратных факториалов p , не является членом какого-либо - адического поля; но $e^{p}\in \mathbb {Q} _{p}$ для $p\neq 2$. Для p = 2 нужно брать не ниже четвертой степени. (Таким образом, число со свойствами, аналогичными свойству e , а именно корень p -й степени из e ^п — является членом $\mathbb {Q} _{p}$ для всех п .)

-

Гельмута Хассе справедлив Говорят, что локально-глобальный принцип для уравнения, если его можно решить относительно рациональных чисел тогда и только тогда, когда его можно решить над действительными числами и над p -адическими числами для каждого простого числа p . Этот принцип справедлив, например, для уравнений, заданных квадратичными формами , но не работает для высших многочленов от нескольких неопределенных.

арифметика с

Основная статья: Hensel лифтинг

Обобщения и родственные понятия

Действительные и p -адические числа являются дополнениями рациональных чисел; можно заполнить и другие поля, например поля общих алгебраических чисел аналогичным образом . Это будет описано сейчас.

Предположим, что D — дедекиндова область , а E — ее поле частных . Выберите ненулевой простой идеал P из D . Если x ненулевой элемент E , то xD является дробным идеалом и может быть однозначно факторизован как произведение положительных и отрицательных степеней ненулевых простых идеалов D . Мы пишем ord _P ( x ) для показателя степени P в этой факторизации, и для любого выбора числа c больше 1 мы можем установить

$|x|_{P}=c^{-\!\operatorname {ord} _{P}(x)}.$

Завершая по этому абсолютному значению |⋅| _P дает поле E _P , правильное обобщение поля p -адических чисел на этот случай. Выбор c не меняет завершение (различные варианты дают одну и ту же концепцию последовательности Коши, то есть одно и то же завершение). Удобно, когда поле вычетов D / P конечно, взять в качестве c размер D / P .

Например, когда E — числовое поле , теорема Островского гласит, что каждое нетривиальное неархимедово абсолютное значение на E возникает как некоторое |⋅| _П. ​Остальные нетривиальные абсолютные значения E возникают из-за различных вложений E в действительные или комплексные числа. (Фактически, неархимедовы абсолютные значения можно рассматривать как просто различные вложения E в поля C _p , тем самым помещая описание всехнетривиальные абсолютные значения числового поля на общей основе.)

Часто необходимо одновременно отслеживать все вышеупомянутые завершения, когда E является числовым полем (или, в более общем случае, глобальным полем ), которые рассматриваются как кодирование «локальной» информации. Это достигается с помощью колец аделей и групп иделей .

p -адические целые числа могут быть расширены до p -адических соленоидов. $\mathbb {T} _{p}$. Есть карта из $\mathbb {T} _{p}$ группе кругов , слоями которой являются целые p -адические числа $\mathbb {Z} _{p}$, по аналогии с тем, как существует карта из $\mathbb {R}$ к кругу, волокна которого $\mathbb {Z}$.

См. также

• неархимедов
• p-адическая квантовая механика
• p-адическая теория Ходжа
• p-адическая теория Тейхмюллера
• p-адический анализ
• p-адическая оценка
• 1 + 2 + 4 + 8 + ...
• k -адическое обозначение
• C-минимальная теория
• Лемма Гензеля
• Локально компактное поле
• Теорема Малера
• Проконечное целое число
• Интеграл Фолькенборна
• Дополнение до двух

Ссылки

• Кассельс, JWS (1986), Местные поля , Тексты для студентов Лондонского математического общества, том. 3, Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-31525-5 , Збл   0595.12006
• Дедекинд, Ричард ; Вебер, Генрих (2012), Теория алгебраических функций одной переменной , История математики, том. 39, Американское математическое общество, ISBN.  978-0-8218-8330-3 . - Перевод на английский язык Джона Стиллвелла «Теории алгебраических функций переменной» (1882 г.).
• Гувеа, FQ (март 1994 г.), «Чудесное доказательство», American Mathematical Monthly , 101 (3): 203–222, doi : 10.2307/2975598 , JSTOR   2975598
• Гувеа, Фернандо К. (1997), p -адические числа: введение (2-е изд.), Springer, ISBN  3-540-62911-4 , Збл   0874.11002
• Хазевинкель, М., изд. (2009), Справочник по алгебре , вып. 6, Северная Голландия, с. 342, ISBN  978-0-444-53257-2
• Хенер, Эрик CR ; Хорспул, Р. Найджел (1979), «Новое представление рациональных чисел для быстрой простой арифметики» , SIAM Journal on Computing , 8 (2): 124–134, CiteSeerX   10.1.1.64.7714 , doi : 10.1137/0208011
• Хензель, Курт (1897), «О новом обосновании теории алгебраических чисел» , Годовой отчет Ассоциации немецких математиков , 6 (3): 83–88
• Келли, Джон Л. (2008) [1955], Общая топология , Нью-Йорк: Ishi Press, ISBN  978-0-923891-55-8
• Коблиц, Нил (1980), p -адический анализ: краткий курс недавних работ , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 46, Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-28060-5 , Збл   0439.12011
• Роберт, Ален М. (2000), Курс p -адического анализа , Springer, ISBN  0-387-98669-3

Дальнейшее чтение

• Бахман, Джордж (1964), Введение в p -адические числа и теорию оценки , Academic Press, ISBN  0-12-070268-1
• Боревич З.И. ; Шафаревич И.Р. (1986), Теория чисел , Чистая и прикладная математика, вып. 20, Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN  978-0-12-117851-2 , МР   0195803
• Коблиц, Нил (1984), p -адические числа, p -адический анализ и дзета-функции , Тексты для аспирантов по математике , vol. 58 (2-е изд.), Springer, ISBN  0-387-96017-1
• Малер, Курт (1981), p -адические числа и их функции , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 76 (2-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-23102-7 , Збл   0444.12013
• Стин, Линн Артур (1978), Контрпримеры в топологии , Дувр, ISBN  0-486-68735-Х

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «p-адическое число» . Математический мир .
• p -адическое число в Интернет-энциклопедии математики Springer