Проразрешимая группа

В математике , точнее в алгебре , проразрешимая группа (реже: проразрешимая группа ) — это группа изоморфная обратному обратной пределу системы разрешимых групп , . Эквивалентно, группа называется проразрешимой , если, рассматриваемая как топологическая группа , каждая открытая окрестность единицы содержит нормальную подгруппу , соответствующая факторгруппа которой является разрешимой группой.

Примеры

• Пусть p — простое число , а поле обозначим p-адических чисел , как обычно, через $\mathbf {Q} _{p}$. Тогда группа Галуа ${\text{Gal}}({\overline {\mathbf {Q} }}_{p}/\mathbf {Q} _{p})$, где ${\overline {\mathbf {Q} }}_{p}$ обозначает замыкание алгебраическое $\mathbf {Q} _{p}$, разрешимо. Это следует из того, что для любого конечного расширения Галуа $L$ из $\mathbf {Q} _{p}$, группа Галуа ${\text{Gal}}(L/\mathbf {Q} _{p})$ можно записать как полупрямое произведение ${\text{Gal}}(L/\mathbf {Q} _{p})=(R\rtimes Q)\rtimes P$, с $P$ циклический порядок $f$ для некоторых $f\in \mathbf {N}$, $Q$ циклическое порядковое деление $p^{f}-1$, и $R$ из $p$- энергетический порядок. Поэтому, ${\text{Gal}}(L/\mathbf {Q} _{p})$ разрешима.

См. также

• Теория Галуа