Двойной кватернион

Мемориальная доска на мосту Брум (Дублин) в память об изобретении Гамильтоном кватернионов

В математике двойственные кватернионы 8-мерную вещественную алгебру, изоморфную тензорному произведению кватернионов представляют собой и двойственных чисел . Таким образом, они могут быть построены так же, как и кватернионы, за исключением использования двойственных чисел вместо действительных чисел в качестве коэффициентов. Двойственный кватернион можно представить в виде A + ε B , где A и B — обычные кватернионы, а ε — двойственная единица, удовлетворяющая условию ε ² = 0 и коммутирует с каждым элементом алгебры. В отличие от кватернионов, двойственные кватернионы не образуют алгебру с делением .

В механике двойные кватернионы применяются как система счисления для представления жестких преобразований в трех измерениях. Поскольку пространство двойственных кватернионов 8-мерно, а жесткое преобразование имеет шесть действительных степеней свободы, три для смещения и три для вращения, в этом приложении используются двойственные кватернионы, подчиняющиеся двум алгебраическим ограничениям. Поскольку единичные кватернионы подчиняются двум алгебраическим ограничениям, единичные кватернионы являются стандартными для представления жестких преобразований.

Подобно тому, как вращения в трехмерном пространстве могут быть представлены кватернионами единичной длины, жесткие движения в трехмерном пространстве могут быть представлены двойными кватернионами единичной длины. Этот факт используется в теоретической кинематике (см. Маккарти ), и в приложениях для 3D компьютерной графики , робототехника и компьютерное зрение . Полиномы с коэффициентами, заданными двойными кватернионами (ненулевая действительная норма), также использовались в контексте проектирования механических связей .

История

У. Р. Гамильтон представил кватернионы в 1843 году, а к 1873 году У.К. Клиффорд получил широкое обобщение этих чисел, которое он назвал бикватернионами , что является примером того, что сейчас называется алгеброй Клиффорда .

В 1898 году Александр Маколей использовал Ω вместе с Ω. ² = 0 для создания двойственной алгебры кватернионов. Однако его терминология «октонионы» не прижилась, поскольку сегодняшние октонионы — это другая алгебра.

In Russia, Aleksandr Kotelnikov разработал двойственные векторы и двойные кватернионы для использования при изучении механики.

В 1891 году Эдуард Стью понял, что эта ассоциативная алгебра идеальна для описания группы движений трёхмерного пространства . Далее он развил эту идею в «Геометрии динамики» в 1901 году. Б.Л. ван дер Варден назвал структуру «Изучение бикватернионов», одну из трёх восьмимерных алгебр, называемых бикватернионами .

Формулы

Чтобы описать операции с двойственными кватернионами, полезно сначала рассмотреть кватернионы .

Кватернион — это линейная комбинация базисных элементов 1, i , j и k . Правило произведения Гамильтона для i , j и k часто записывается как

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1.$

Вычислите i ( ijk ) = - jk = - i , чтобы получить jk = i и ( ijk ) k = - ij = - k или ij = k . Теперь, поскольку j ( jk ) = ji = − k , мы видим, что это произведение дает ij = − ji , что связывает кватернионы со свойствами определителей.

Удобный способ работы с произведением кватернионов — записать кватернион как сумму скаляра и вектора (строго говоря, бивектора ) , то есть A = a ₀ + A , где a ₀ — действительное число и A = A ₁ i + A ₂ j + A ₃ k — трехмерный вектор. Теперь операции векторной точки и перекрестия можно использовать для определения кватернионного произведения A = a ₀ + A и C = c ₀ + C как

$G=AC=(a_{0}+\mathbf {A} )(c_{0}+\mathbf {C} )=(a_{0}c_{0}-\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )+(c_{0}\mathbf {A} +a_{0}\mathbf {C} +\mathbf {A} \times \mathbf {C} ).$

Двойственный кватернион обычно описывается как кватернион с двойными числами в качестве коэффициентов. Двойственное число — это упорядоченная пара â = ( a , b ) . Два двойственных числа складывают покомпонентно и умножают по правилу â ĉ = ( a , b ) ( c , d ) = ( ac , ad + bc ) . Двойные числа часто записываются в форме â = a + ε b , где ε — двойственная единица, которая коммутирует с i , j , k и обладает свойством ε ² = 0 .

В результате двойственный кватернион может быть записан как упорядоченная пара кватернионов ( A , B ) . Два двойственных кватерниона складывают покомпонентно и умножают по правилу:

${\hat {A}}{\hat {C}}=(A,B)(C,D)=(AC,AD+BC).$

Дуальный кватернион удобно записать как сумму двойственного скаляра и двойственного вектора, Â = â ₀ + A , где â ₀ = ( a , b ) и A = ( A , B ) — двойственный вектор, определяющий винт ​ . Эти обозначения позволяют нам записать произведение двух двойственных кватернионов как

${\hat {G}}={\hat {A}}{\hat {C}}=({\hat {a}}_{0}+{\mathsf {A}})({\hat {c}}_{0}+{\mathsf {C}})=({\hat {a}}_{0}{\hat {c}}_{0}-{\mathsf {A}}\cdot {\mathsf {C}})+({\hat {c}}_{0}{\mathsf {A}}+{\hat {a}}_{0}{\mathsf {C}}+{\mathsf {A}}\times {\mathsf {C}}).$

Дополнение

Добавление двойственных кватернионов определяется покомпонентно, так что дано

${\hat {A}}=(A,B)=a_{0}+a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k+b_{0}\varepsilon +b_{1}\varepsilon i+b_{2}\varepsilon j+b_{3}\varepsilon k,$

и

${\hat {C}}=(C,D)=c_{0}+c_{1}i+c_{2}j+c_{3}k+d_{0}\varepsilon +d_{1}\varepsilon i+d_{2}\varepsilon j+d_{3}\varepsilon k,$

затем

${\hat {A}}+{\hat {C}}=(A+C,B+D)=(a_{0}+c_{0})+(a_{1}+c_{1})i+(a_{2}+c_{2})j+(a_{3}+c_{3})k+(b_{0}+d_{0})\varepsilon +(b_{1}+d_{1})\varepsilon i+(b_{2}+d_{2})\varepsilon j+(b_{3}+d_{3})\varepsilon k,$

Умножение

Умножение двух двойственных кватернионов следует из правил умножения единиц кватернионов i, j, k и коммутативного умножения на двойственную единицу ε. В частности, учитывая

${\hat {A}}=(A,B)=A+\varepsilon B,$

и

${\hat {C}}=(C,D)=C+\varepsilon D,$

затем

${\hat {A}}{\hat {C}}=(A+\varepsilon B)(C+\varepsilon D)=AC+\varepsilon (AD+BC).$

Обратите внимание, что здесь нет термина BD , поскольку определение двойственных чисел требует, чтобы ε ² = 0 .

Это дает нам таблицу умножения (обратите внимание, что порядок умножения — это столбец «умножение строк»):

Таблица умножения для двойных кватернионов

(Строка х Столбец)	1	я	дж	к	е	ε я	ε j	е к
1	1	я	дж	к	е	ε я	ε j	е к
я	я	−1	к	− j	ε я	-е	е к	−ε j
дж	дж	- к	−1	я	ε j	−ε k	-е	ε я
к	к	дж	- я	−1	е к	ε j	−ε я	-е
е	е	ε я	ε j	е к	0	0	0	0
ε я	ε я	-е	е к	−ε j	0	0	0	0
ε j	ε j	−ε k	-е	ε я	0	0	0	0
е к	е к	ε j	−ε я	-е	0	0	0	0

Сопряжение

Сопряженное двойственное кватернион является расширением сопряженного кватерниона, то есть

${\hat {A}}^{*}=(A^{*},B^{*})=A^{*}+\varepsilon B^{*}.\!$

Как и в случае с кватернионами, сопряженное произведение двойственных кватернионов Ĝ = ÂĈ является произведением их сопряженных чисел в обратном порядке:

${\hat {G}}^{*}=({\hat {A}}{\hat {C}})^{*}={\hat {C}}^{*}{\hat {A}}^{*}.$

Полезно ввести функции Sc(∗) и Vec(∗), которые выбирают скалярную и векторную части кватерниона или двойственные скалярные и двойственные векторные части двойственного кватерниона. В частности, если Â = â ₀ + A , то

${\mbox{Sc}}({\hat {A}})={\hat {a}}_{0},{\mbox{Vec}}({\hat {A}})={\mathsf {A}}.$

Это позволяет определить сопряжение Â как

${\hat {A}}^{*}={\mbox{Sc}}({\hat {A}})-{\mbox{Vec}}({\hat {A}}).$

или,

$({\hat {a}}_{0}+{\mathsf {A}})^{*}={\hat {a}}_{0}-{\mathsf {A}}.$

Произведение двойственного кватерниона с его сопряженным дает

${\hat {A}}{\hat {A}}^{*}=({\hat {a}}_{0}+{\mathsf {A}})({\hat {a}}_{0}-{\mathsf {A}})={\hat {a}}_{0}^{2}+{\mathsf {A}}\cdot {\mathsf {A}}.$

Это двойной скаляр, который представляет собой квадрат величины двойного кватерниона.

Сопряжение двойного числа

Второй тип сопряжения двойственного кватерниона задается путем сопряжения двойственного числа, заданного формулой

${\overline {\hat {A}}}=(A,-B)=A-\varepsilon B.\!$

Сопряженные кватернионы и двойные числа можно объединить в третью форму сопряжения, заданную формулой

${\overline {{\hat {A}}^{*}}}=(A^{*},-B^{*})=A^{*}-\varepsilon B^{*}.\!$

В контексте двойных кватернионов термин «сопряженный» может использоваться для обозначения сопряженного кватерниона, сопряженного двойного числа или того и другого.

Норма

Норма | двойственного кватерниона Â | вычисляется с использованием сопряжения для вычисления | Â | = √ Â Â ^* . Это двойственное число, называемое величиной двойного кватерниона. Двойные кватернионы с | Â | = 1 — единичные двойственные кватернионы .

Двойные кватернионы величины 1 используются для представления пространственных евклидовых смещений. Обратите внимание, что требование о том, что Â Â ^* = 1 , вводит два алгебраических ограничения на компоненты Â , то есть

${\hat {A}}{\hat {A}}^{*}=(A,B)(A^{*},B^{*})=(AA^{*},AB^{*}+BA^{*})=(1,0).$

Инверсия

Если p + ε q — двойственный кватернион, и p не равен нулю, то обратный двойственный кватернион определяется выражением

п ⁻¹ (1 − ε q p ⁻¹ ).

Таким образом, элементы подпространства { ε q : q ∈ H } не имеют обратных. Это подпространство называется идеалом в теории колец. Это единственный максимальный идеал кольца двойственных чисел.

Тогда группа единиц кольца двойственных чисел состоит из чисел, не входящих в идеал. Двойственные числа образуют локальное кольцо , поскольку существует единственный максимальный идеал. Группа единиц является группой Ли и может быть изучена с помощью экспоненциального отображения . Двойные кватернионы использовались для демонстрации преобразований в евклидовой группе . Типичный элемент можно записать как винтовое преобразование .

и

Преимущество двойной кватернионной формулировки композиции двух пространственных смещений D _B = ([ R _B ], b ) и DA _{) состоит в том ,} = ([ R _A ], a что результирующий двойной кватернион дает непосредственно винтовую ось и двойную ось. угол составного смещения D _C знак равно D _B D _A .

В общем, двойственный кватернион, связанный с пространственным смещением D = ([ A ], d ), строится из его винтовой оси S = ​​( S , V ) и двойного угла ( φ , d ), где φ - вращение вокруг, а d скольжение по этой оси, определяющее смещение D . Соответствующий двойной кватернион имеет вид:

${\hat {S}}=\cos {\frac {\hat {\phi }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\phi }}{2}}{\mathsf {S}}.$

Пусть композиция смещения _DB с _DA смещением D _C = DB _будет D _A . Ось винта и двойной угол DC _{получаются} из произведения двойственных кватернионов DA _и DB _, определяемых выражением

${\hat {A}}=\cos({\hat {\alpha }}/2)+\sin({\hat {\alpha }}/2){\mathsf {A}}\quad {\text{and}}\quad {\hat {B}}=\cos({\hat {\beta }}/2)+\sin({\hat {\beta }}/2){\mathsf {B}}.$

То есть составное смещение D _C =D _B D _A имеет связанный с ним двойной кватернион, определяемый формулой

${\hat {C}}=\cos {\frac {\hat {\gamma }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\gamma }}{2}}{\mathsf {C}}=\left(\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}{\mathsf {B}}\right)\left(\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {A}}\right).$

Разверните этот продукт, чтобы получить

$\cos {\frac {\hat {\gamma }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\gamma }}{2}}{\mathsf {C}}=\left(\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}-\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\cdot {\mathsf {A}}\right)+\left(\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}+\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}{\mathsf {A}}+\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\times {\mathsf {A}}\right).$

Разделим обе части этого уравнения на тождество

$\cos {\frac {\hat {\gamma }}{2}}=\cos {\frac {\hat {\beta }}{2}}\cos {\frac {\hat {\alpha }}{2}}-\sin {\frac {\hat {\beta }}{2}}\sin {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\cdot {\mathsf {A}}$

чтобы получить

$\tan {\frac {\hat {\gamma }}{2}}{\mathsf {C}}={\frac {\tan {\frac {\hat {\beta }}{2}}{\mathsf {B}}+\tan {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {A}}+\tan {\frac {\hat {\beta }}{2}}\tan {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\times {\mathsf {A}}}{1-\tan {\frac {\hat {\beta }}{2}}\tan {\frac {\hat {\alpha }}{2}}{\mathsf {B}}\cdot {\mathsf {A}}}}.$

Это формула Родригеса для винтовой оси составного смещения, определяемая через винтовые оси двух смещений. Эту формулу он вывел в 1840 году.

Три винтовые оси A, B и C образуют пространственный треугольник , и двойные углы в этих вершинах между общими нормалями, образующими стороны этого треугольника, напрямую связаны с двойными углами трех пространственных смещений.

форма умножения

Матричное представление произведения кватернионов удобно для программирования вычислений кватернионов с использованием матричной алгебры, что справедливо и для двойственных операций с кватернионами.

Произведение кватернионов AC представляет собой линейное преобразование оператором A компонентов кватерниона C, поэтому существует матричное представление A, действующее на вектор, образованный из компонент C.

Соберите компоненты кватерниона C = c ₀ + C в массив C = (C ₁ , C ₂ , C ₃ , c ₀ ) . Обратите внимание, что компоненты векторной части кватерниона указаны первыми, а скаляр — последним. Это произвольный выбор, но как только это соглашение будет выбрано, мы должны его соблюдать.

Кватернионное произведение AC теперь можно представить как матричное произведение

$AC=[A^{+}]C={\begin{bmatrix}a_{0}&A_{3}&-A_{2}&A_{1}\\-A_{3}&a_{0}&A_{1}&A_{2}\\A_{2}&-A_{1}&a_{0}&A_{3}\\-A_{1}&-A_{2}&-A_{3}&a_{0}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}C_{1}\\C_{2}\\C_{3}\\c_{0}\end{Bmatrix}}.$

Произведение AC также можно рассматривать как операцию C над компонентами A, и в этом случае мы имеем

$AC=[C^{-}]A={\begin{bmatrix}c_{0}&-C_{3}&C_{2}&C_{1}\\C_{3}&c_{0}&-C_{1}&C_{2}\\-C_{2}&C_{1}&c_{0}&C_{3}\\-C_{1}&-C_{2}&-C_{3}&c_{0}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\\a_{0}\end{Bmatrix}}.$

Двойственное произведение кватернионов ÂĈ = (A, B)(C, D) = (AC, AD+BC) можно сформулировать как матричную операцию следующим образом. Соберите компоненты Ĉ в восьмимерный массив Ĉ = (C ₁ , C ₂ , C ₃ , c ₀ , D ₁ , D ₂ , D ₃ , d ₀ ), тогда ÂĈ определяется матричным произведением 8x8.

${\hat {A}}{\hat {C}}=[{\hat {A}}^{+}]{\hat {C}}={\begin{bmatrix}A^{+}&0\\B^{+}&A^{+}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}C\\D\end{Bmatrix}}.$

Как мы видели для кватернионов, произведение ÂĈ можно рассматривать как операцию Ĉ над координатным вектором Â, что означает, что ÂĈ также можно сформулировать как:

${\hat {A}}{\hat {C}}=[{\hat {C}}^{-}]{\hat {A}}={\begin{bmatrix}C^{-}&0\\D^{-}&C^{-}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}A\\B\end{Bmatrix}}.$

Подробнее о пространственных смещениях

Двойственный кватернион смещения D=([A], d ) может быть построен из кватерниона S=cos(φ/2) + sin(φ/2) S , который определяет вращение [A] и векторного кватерниона, построенного из вектор перевода d , заданный формулой D = d ₁ i + d ₂ j + d ₃ k. Используя эти обозначения, двойственный кватернион для смещения D=([A], d ) определяется выражением

${\hat {S}}=S+\varepsilon {\frac {1}{2}}DS.$

Пусть координаты Плюккера линии в направлении x, проходящей через точку p в движущемся теле, и ее координаты в неподвижной системе отсчета, которая проходит в направлении X через точку P, задаются формулами:

${\hat {x}}=\mathbf {x} +\varepsilon \mathbf {p} \times \mathbf {x} \quad {\text{and}}\quad {\hat {X}}=\mathbf {X} +\varepsilon \mathbf {P} \times \mathbf {X} .$

Тогда двойственный кватернион смещения этого тела преобразует координаты Плюккера в движущейся системе отсчета к координатам Плюккера в неподвижной системе отсчета по формуле

${\hat {X}}={\hat {S}}{\hat {x}}{\overline {{\hat {S}}^{*}}}.$

Используя матричную форму двойного произведения кватернионов, это становится следующим:

${\hat {X}}=[{\hat {S}}^{+}][{\hat {S}}^{-}]^{*}{\hat {x}}.$

Этим расчетом легко управлять с помощью матричных операций.

Двойные кватернионы и однородные преобразования

Может быть полезно, особенно при движении твердого тела, представлять единичные двойственные кватернионы в виде однородных матриц . Как указано выше, двойной кватернион можно записать как: ${\hat {q}}=r+d\varepsilon r$ где r и d оба являются кватернионами. Кватернион r известен как действительная или вращательная часть, а $d$ кватернион известен как двойная часть или часть смещения.

Часть вращения может быть задана выражением

$r=r_{w}+r_{x}i+r_{y}j+r_{z}k=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left({\vec {a}}\cdot (i,j,k)\right)$

где $\theta$ - угол поворота относительно направления, заданного единичным вектором ${\vec {a}}$. Часть смещения можно записать как

$d=0+{\frac {\Delta x}{2}}i+{\frac {\Delta y}{2}}j+{\frac {\Delta z}{2}}k$.

Двойной кватернионный эквивалент 3D-вектора:

${\hat {v}}:=1+\varepsilon (v_{x}i+v_{y}j+v_{z}k)$

и его трансформация путем ${\hat {q}}$ дается

${\hat {v}}'={\hat {q}}\cdot {\hat {v}}\cdot {\overline {{\hat {q}}^{*}}}$.

Эти двойственные кватернионы (или фактически их преобразования на 3D-векторах) могут быть представлены однородной матрицей преобразования

$T={\begin{pmatrix}1&0&0&0&\\\Delta x&&&\\\Delta y&&R&\\\Delta z&&&\\\end{pmatrix}}$

3×3 где ортогональная матрица определяется выражением

$R={\begin{pmatrix}r_{w}^{2}+r_{x}^{2}-r_{y}^{2}-r_{z}^{2}&2r_{x}r_{y}-2r_{w}r_{z}&2r_{x}r_{z}+2r_{w}r_{y}\\2r_{x}r_{y}+2r_{w}r_{z}&r_{w}^{2}-r_{x}^{2}+r_{y}^{2}-r_{z}^{2}&2r_{y}r_{z}-2r_{w}r_{x}\\2r_{x}r_{z}-2r_{w}r_{y}&2r_{y}r_{z}+2r_{w}r_{x}&r_{w}^{2}-r_{x}^{2}-r_{y}^{2}+r_{z}^{2}\\\end{pmatrix}}.$

Для 3D-вектора

$v={\begin{pmatrix}1\\v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\\\end{pmatrix}}$

преобразование с помощью T определяется выражением

${\vec {v}}'=T\cdot {\vec {v}}$

с

Помимо того, что двойственные кватернионы являются тензорным произведением двух алгебр Клиффорда, кватернионов и двойственных чисел , у двойственных кватернионов есть еще две формулировки в терминах алгебр Клиффорда.

Во-первых, двойственные кватернионы изоморфны алгебре Клиффорда, порожденной тремя антикоммутирующими элементами. $i$, $j$, $e$ с $i^{2}=j^{2}=-1$ и $e^{2}=0$. Если мы определим $k=ij$ и $\varepsilon =ek$, то из них подразумеваются отношения, определяющие двойственные кватернионы, и наоборот. Во-вторых, двойственные кватернионы изоморфны четной части алгебры Клиффорда, порожденной четырьмя антикоммутирующими элементами. $e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}$ с

$e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1,\,\,e_{4}^{2}=0.$

Подробности см. в разделе «Алгебры Клиффорда: двойственные кватернионы» .

Эпонимы

Поскольку и Эдуард Стью , и Уильям Кингдон Клиффорд использовали и писали о двойных кватернионах, иногда авторы называют двойственные кватернионы «бикватернионами исследования» или «бикватернионами Клиффорда». Последний эпоним также использовался для обозначения расщепленных бикватернионов . Прочтите статью Джо Руни, ссылка на которую приведена ниже, чтобы узнать мнение сторонника утверждения У. К. Клиффорда. удобно использовать нынешнее обозначение двойного кватерниона Поскольку утверждения Клиффорда и Этюда вызывают споры, во избежание конфликта .

См. также

• Теория винта
• Рациональное движение
• Кватернионы и пространственное вращение
• Преобразование между кватернионами и углами Эйлера
• Олинде Родригес
• Двойное комплексное число

Ссылки

Примечания

Источники

• А. Т. Ян (1963) Применение алгебры кватернионов и двойственных чисел к анализу пространственных механизмов , докторская диссертация, Колумбийский университет .
• AT Yang (1974) «Исчисление винтов» в «Основных вопросах теории дизайна» , Уильям Р. Спиллерс, редактор, Elsevier , страницы с 266 по 281.
• Дж. М. Маккарти (1990) Введение в теоретическую кинематику , стр. 62–5, MIT Press. ISBN   0-262-13252-4 .
• Л. Каван, С. Коллинз, К. О'Салливан, Дж. Зара (2006) Двойные кватернионы для смешивания жестких преобразований , Технический отчет, Тринити-колледж, Дублин.
• Джо Руни Уильям Кингдон Клиффорд , факультет дизайна и инноваций, Открытый университет, Лондон.
• Джо Руни (2007) «Уильям Кингдон Клиффорд», в книге Марко Чеккарелли, « Выдающиеся деятели механики и машиноведения» , Springer.
• Эдуард Этюд (1891) «О движениях и перестановках», Mathematical Annals 39:520.

Дальнейшее чтение

• Леклерк, Гийом; Лефевр, Филипп; Блом, Гуннар (2013). «3D-кинематика с использованием двойных кватернионов: теория и приложения в нейробиологии» . Границы поведенческой нейронауки . 7 :7. дои : 10.3389/fnbeh.2013.00007 . ПМЦ   3576712 . ПМИД   23443667 .
• Фишер, Ян (1998). Методы двойных чисел в кинематике, статике и динамике . ЦРК Пресс. ISBN  978-0-8493-9115-6 .
• Э. Пеннестри и Р. Стефанелли (2007) Линейная алгебра и численные алгоритмы с использованием двойных чисел, опубликовано в журнале Multibody System Dynamics 18(3):323–349.
• Э. Пеннестри и П. П. Валентини, Двойные кватернионы как инструмент анализа движения твердого тела: учебное пособие с применением к биомеханике , ARCHIWUM BUDOWY MASZYN , vol. 57, стр. 187–205, 2010 г.
• Э. Пеннестри и П. П. Валентини, Алгоритмы линейной двойственной алгебры и их применение к кинематике , Динамика многих тел , октябрь 2008 г., стр. 207–229, дои : 10.1007/978-1-4020-8829-2_11
• Кенрайт, Бен (2012). Руководство для начинающих по двойным кватернионам: что это такое, как они работают и как их использовать для иерархий трехмерных символов (PDF) . Международная конференция по компьютерной графике, визуализации и компьютерному зрению. стр. 1–13.
• Д. П. Шевалье (1996) «О принципе переноса в кинематике: его различные формы и ограничения», Теория механизмов и машин 31 (1): 57–76.
• М. А. Гунгор (2009) «Двойные лоренцевы сферические движения и двойственные формулы Эйлера-Савари», Европейский журнал механики A Solids 28 (4): 820–6.
• Блашке, Вильгельм (1958). «Применение двойных кватернионов к кинематике». Annales Academiae Scientiarum Fennicae . Собрание сочинений. 2 :1-13. Перевод на английский язык Д. Х. Дельфениха .
• Бляшке, Вильгельм . Кинематика и кватернионы . Берлин: Немецкое издательство наук. Перевод на английский язык Д. Х. Дельфениха .

Внешние ссылки

• Набор инструментов двойного кватерниона , набор инструментов Matlab.
• DQrobotics : автономная библиотека с открытым исходным кодом для использования двойных кватернионов при моделировании и управлении роботами.