Двойной номер
Эта статья включает список литературы , связанную литературу или внешние ссылки , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . ( Апрель 2023 г. ) |
В алгебре двойственные числа — это гиперкомплексная система счисления, впервые введенная в 19 веке. Это выражения вида a + bε , где a и b — действительные числа , а ε — символ, взятый для удовлетворения с .
Двойные числа можно складывать покомпонентно и умножать по формуле
что следует из свойства ε 2 = 0 и тот факт, что умножение является билинейной операцией .
Двойственные числа образуют коммутативную алгебру размерности два над вещественными числами , а также артиново локальное кольцо . Это один из простейших примеров кольца, имеющего ненулевые нильпотентные элементы .
История [ править ]
Двойные числа были введены в 1873 году Уильямом Клиффордом и использовались в начале двадцатого века немецким математиком Эдуардом Стью , который использовал их для обозначения двойного угла, который измеряет относительное положение двух наклонных линий в пространстве. Исследование определило двойной угол как θ + dε , где θ — угол между направлениями двух линий в трехмерном пространстве, а d — расстояние между ними. - мерное n обобщение, число Грассмана , было введено Германом Грассманом в конце 19 века.
Современное определение [ править ]
В современной алгебре алгебра двойственных чисел часто определяется как фактор кольца полиномов по действительным числам. главным идеалом, порожденным квадратом неопределенного , то есть
Ее также можно определить как внешнюю алгебру одномерного векторного пространства с как его базовый элемент.
Дивизия [ править ]
Деление двойственных чисел определяется, когда действительная часть знаменателя не равна нулю. Процесс деления аналогичен комплексному делению в том смысле, что знаменатель умножается на сопряженное ему число, чтобы исключить недействительные части.
Следовательно, чтобы вычислить выражение вида
умножаем числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю:
который определяется, когда c не равно нулю .
Если, с другой стороны, c равно нулю, а d нет, то уравнение
- не имеет решения, если a не равно нулю
- в противном случае решается любым двойным числом вида б / d + yε .
Это означает, что недействительная часть «частного» является произвольной, и поэтому деление не определено для чисто недействительных двойственных чисел. Действительно, они (тривиально) являются делителями нуля и, очевидно, образуют идеал ассоциативной алгебры (и, следовательно, кольца ) двойственных чисел.
Матричное представление [ править ]
Двойное число может быть представлена квадратной матрицей . В этом представлении матрица квадраты к нулевой матрице, соответствующей двойственному числу .
Существуют и другие способы представления двойственных чисел в виде квадратных матриц. Они состоят из представления двойственного числа по единичной матрице и любой матрицей, квадрат которой равен нулю; то есть в случае матриц 2×2 любая ненулевая матрица вида
с [1]
Дифференциация [ править ]
Одним из применений двойных чисел является автоматическое дифференцирование . Любой полином
с действительными коэффициентами можно расширить до функции двузначного аргумента,
где является производной от
В более общем смысле, любая (аналитическая) действительная функция может быть расширена до двойственных чисел через ряд Тейлора :
поскольку все члены, включающие ε 2 или более высокие степени тривиально равны 0 по определению ε .
Вычисляя композиции этих функций над двойственными числами и исследуя коэффициент при ε в результате, мы обнаруживаем, что автоматически вычислили производную композиции.
Подобный метод работает для полиномов от n переменных, используя внешнюю алгебру - мерного n векторного пространства.
Геометрия [ править ]
«Единичный круг» двойственных чисел состоит из чисел с a = ±1 , поскольку они удовлетворяют условию zz * = 1 , где z * = a − bε . Однако обратите внимание, что
поэтому экспоненциальное отображение , примененное к оси ε , покрывает только половину «круга».
Пусть z = a + bε . Если а ≠ 0 и m = b / a , то z = a (1 + mε ) — полярное разложение двойственного числа z , а наклон m — его угловая часть. Понятие вращения в двойственной числовой плоскости эквивалентно отображению вертикального сдвига , поскольку (1 + pε )(1 + qε ) = 1 + ( p + q ) ε .
В абсолютном пространстве и времени Галилея преобразование
то есть
связывает систему координат покоя с движущейся системой отсчета со скоростью v . Если двойственные числа t + xε представляют события в одном измерении пространства и времени, то же преобразование выполняется при умножении на 1 + vε .
Циклы [ править ]
Учитывая два двойственных числа p и q , они определяют набор z так, что разница в наклонах («угол Галилея») между линиями от z до p и q является постоянной. Это множество представляет собой цикл в двойственной числовой плоскости; поскольку уравнение, приравнивающее разность наклонов линий к константе, является квадратным уравнением в действительной части z , цикл представляет собой параболу . «Циклическое вращение» дуальной числовой плоскости происходит как движение ее проективной линии . По словам Исаака Яглома , [2] : 92–93 цикл Z = { z : y = αx 2 } инвариантен относительно состава сдвига
Приложения в механике [ править ]
Двойные числа находят применение в механике , особенно для кинематического синтеза. Например, двойственные числа позволяют преобразовать входные/выходные уравнения четырехзвенной сферической связи, включающей только ротоидные соединения, в четырехзвенный пространственный механизм (ротоидный, ротоидный, ротоидный, цилиндрический). Дуализованные углы состоят из примитивной части, углов, и двойственной части, имеющей единицы длины. [3] см. в теории винтов Дополнительную информацию .
Алгебраическая геометрия [ править ]
В современной алгебраической геометрии двойственные числа над полем (под этим мы подразумеваем кольцо ) можно использовать для определения касательных векторов к точкам - схема . [4] Поскольку поле могут быть выбраны внутренне, можно говорить просто о касательных векторах к схеме. Это позволяет понятия дифференциальной геометрии импортировать в алгебраическую геометрию.
Подробно: Кольцо двойственных чисел можно рассматривать как кольцо функций в «окрестности точки первого порядка», а именно - схема . [4] Затем, учитывая -схема , -точки схемы находятся в 1-1 соответствии с картами , а касательные векторы находятся в 1-1 соответствии с отображениями .
Поле выше, может быть выбрано как поле вычетов . То есть: Учитывая точку по схеме , рассмотрим стебель . Обратите внимание, что — локальное кольцо с единственным максимальным идеалом , который обозначается . Тогда просто позвольте .
Обобщения [ править ]
Эту конструкцию можно осуществить в более общем смысле: для коммутативного кольца R можно определить двойственные числа над R как фактор кольца полиномов R [ X ] по идеалу ( X 2 ) : тогда образ X имеет квадрат, равный нулю, и соответствует элементу ε сверху.
Произвольный модуль элементов нулевого квадрата [ править ]
Существует более общая конструкция двойственных чисел. Учитывая коммутативное кольцо и модуль , есть кольцо называется кольцом двойственных чисел, которое имеет следующие структуры:
Это -модуль с умножением, определяемым для и
Алгебра двойственных чисел — это частный случай, когда и
Суперпространство [ править ]
Двойные числа находят применение в физике , где они представляют собой один из простейших нетривиальных примеров суперпространства . Эквивалентно, это сверхчисла только с одним генератором; сверхчисла обобщают эту концепцию на n различных генераторов ε , каждый из которых антикоммутирует и, возможно, доводит n до бесконечности. Суперпространство слегка обобщает сверхчисла, допуская несколько коммутирующих измерений.
Мотивация введения двойственных чисел в физику вытекает из принципа Паули для фермионов. Направление вдоль ε называется «фермионным» направлением, а действительная компонента — «бозонным» направлением. Фермионное направление получило это название из-за того, что фермионы подчиняются принципу запрета Паули: при обмене координат квантово-механическая волновая функция меняет знак и, таким образом, исчезает, если две координаты сближаются; эта физическая идея фиксируется алгебраическим соотношением ε 2 = 0 .
Проективная линия [ править ]
Идею проективной прямой над двойственными числами выдвинул Грюнвальд. [5] и Коррадо Сегре . [6]
Точно так же, как сфера Римана нуждается в точке северного полюса на бесконечности , чтобы замкнуть комплексную проективную линию , так и линия на бесконечности успешно замыкает плоскость двойственных чисел в цилиндр . [2] : 149–153
Предположим, что D — кольцо двойственных чисел x + yε , а U — подмножество с x ≠ 0 . Тогда U — единиц D. группа Пусть B = {( a , b ) ∈ D × D : a ∈ U или b ∈ U} . Отношение c определяется на B следующим образом: ( a , b ) ~ ( , d ) , когда существует u в U такое, что ua = c и ub = d . Это отношение фактически является отношением эквивалентности . Точки проективной прямой над D являются классами эквивалентности в B по этому отношению: P ( D ) = B /~ . Они представлены проективными координатами [ a , b ] .
Рассмотрим вложение D → P ( D ) посредством z → [ z , 1] . Тогда точки [1, n ] для n 2 = 0 , находятся в P ( D ), но не являются образом какой-либо точки при вложении. P ( D ) отображается на цилиндр посредством проекции : возьмем цилиндр, касательный к плоскости двойных чисел на прямой { yε : y ∈ R } , ε 2 = 0 . Теперь примите противоположную линию на цилиндре за ось карандаша плоскостей . Плоскости, пересекающие двойственную числовую плоскость и цилиндр, обеспечивают соответствие точек между этими поверхностями. Плоскость, параллельная двойственной числовой плоскости, соответствует точкам [1, n ] , n 2 = 0 в проективной прямой над двойственными числами.
См. также [ править ]
- Сплит-комплексное число
- Гладкий бесконечно малый анализ
- Теория возмущений
- бесконечно малый
- Теория винта
- Двойное комплексное число
- Преобразования Лагерра
- Число Грассмана
- Автоматическая дифференциация
Ссылки [ править ]
- ^ Абстрактная алгебра/действительные матрицы 2x2 в Wikibooks
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Яглом, И.М. (1979). Простая неевклидова геометрия и ее физические основы . Спрингер. ISBN 0-387-90332-1 . МР 0520230 .
- ^ Анхелес, Хорхе (1998), Анхелес, Хорхе; Захарьев, Евтим (ред.), «Применение дуальной алгебры к кинематическому анализу», Вычислительные методы в механических системах: анализ механизмов, синтез и оптимизация , Серия NATO ASI, том. 161, Springer Berlin Heidelberg, стр. 3–32, doi : 10.1007/978-3-662-03729-4_1 , ISBN 9783662037294
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Шафаревич, Игорь Р. (2013), «Схемы» , Basic Algebraic Geometry 2 , Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 35–38, doi : 10.1007/978-3-642-38010-5_1 , ISBN 978-3-642-38009-9 , получено 27 декабря 2023 г.
- ^ Грюнвальд, Йозеф (1906). «О двойственных числах и их применении в геометрии». Ежемесячные журналы по математике . 17 :81–136. дои : 10.1007/BF01697639 . S2CID 119840611 .
- ^ Сегре, Коррадо (1912). «XL. Проективные геометрии в дуальных числовых полях». Работает . Также в Трудах Королевской академии наук Турина 47 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Бенчивенга, Ульдерико (1946). «О геометрическом представлении двойных алгебр с модулем». Труды Королевской академии наук и изящных писем Неаполя . 3 (на итальянском языке). 2 (7). МР 0021123 .
- Клиффорд, Уильям Кингдон (1873). «Предварительный набросок бикватернионов». Труды Лондонского математического общества . 4 : 381–395.
- Харкин, Энтони А.; Харкин, Джозеф Б. (апрель 2004 г.). «Геометрия обобщенных комплексных чисел» (PDF) . Журнал «Математика» . 77 (2): 118–129. дои : 10.1080/0025570X.2004.11953236 . S2CID 7837108 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
- Миллер, Уильям; Бенинг, Рошель (1968). «Гауссовы, параболические и гиперболические числа». Учитель математики . 61 (4): 377–382. дои : 10.5951/MT.61.4.0377 .
- Этюд, Эдуард (1903). Геометрия Динамена . Б. Г. Тойбнер. п. 196. Из Корнеллских исторических математических монографий Корнелльского университета .
- Яглом, И.М. (1968). Комплексные числа в геометрии . Перевод с русского Эрика Дж. Ф. Примроуза. Нью-Йорк и Лондон: Академическая пресса . п. 12 –18.
- Бранд, Луи (1947). Векторный и тензорный анализ . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья.
- Фишер, Ян С. (1999). Методы двойственных чисел в кинематике, статике и динамике . Бока-Ратон: CRC Press.
- Бертрам, В. (2008). Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства над общими базовыми полями и кольцами . Воспоминания АМС. Том. 192. Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц.
- « Высшее касательное пространство» . math.stackexchange.com .