Расширенные натуральные числа

В математике расширенные натуральные числа представляют собой набор, содержащий значения $0,1,2,\dots$ и $\infty$(бесконечность). То есть это результат добавления максимального элемента $\infty$к натуральным числам . Сложение и умножение работают как обычно для конечных значений и расширяются правилами $n+\infty =\infty +n=\infty$ ( $n\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$), $0\times \infty =\infty \times 0=0$ и $m\times \infty =\infty \times m=\infty$ для $m\neq 0$.

При сложении и умножении $\mathbb {N} \cup \{\infty \}$ является полукольцом , а не кольцом , так как $\infty$ отсутствует аддитивный обратный . Множество можно обозначить через ${\overline {\mathbb {N} }}$, $\mathbb {N} _{\infty }$ или $\mathbb {N} ^{\infty }$. Это подмножество расширенной линии действительных чисел , которая расширяет действительные числа путем добавления $-\infty$ и $+\infty$.

Приложения

В теории графов расширенные натуральные числа используются для определения расстояний в графах . $\infty$ расстояние между двумя несвязанными вершинами. Их можно использовать, чтобы продемонстрировать распространение некоторых результатов, таких как теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе , на бесконечные графы.

В топологии топос действий правых категорией расширенных натуральных числах является PRO проекционных алгебр на .

В конструктивной математике расширенные натуральные числа $\mathbb {N} _{\infty }$ являются одноточечной компактификацией натуральных чисел, дающей набор невозрастающих двоичных последовательностей , т.е. $(x_{0},x_{1},\dots )\in 2^{\mathbb {N} }$ такой, что $\forall i\in \mathbb {N} :x_{i}\geq x_{i+1}$. Последовательность $1^{n}0^{\omega }$ представляет $n$, а последовательность $1^{\omega }$ представляет $\infty$. Это отступление от $2^{\mathbb {N} }$ и утверждение, что $\mathbb {N} \cup \{\infty \}\subseteq \mathbb {N} _{\infty }$ подразумевает ограниченный принцип всеведения .

Ссылки

• Фолкман, Джон ; Фулкерсон, Д.Р. (1970). «Потоки в бесконечных графах» . Журнал комбинаторной теории . 8 (1). дои : 10.1016/S0021-9800(70)80006-0 .
• Эскардо, Мартин Х (2013). «Бесконечные множества, удовлетворяющие принципу всезнания в любой разновидности конструктивной математики» . Журнал символической логики . 78 (3).
• Кох, Себастьян (2020). «Расширенные натуральные числа и счетчики» (PDF) . Формализованная математика . 28 (3).
• Ханжанзаде, Зейнаб; Маданшекаф, Али (2018). «Слабая идеальная топология в топосе правильных действий над моноидом». Связь в алгебре . 46 (5).
• Сакарович, Жак (2009). Элементы теории автоматов . Перевод с французского Рубена Томаса. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-84425-3 . Збл   1188.68177 .

Дальнейшее чтение

• Роберт, Леонель (3 сентября 2013 г.). «Полугруппа Кунца некоторых пространств размерности не выше двух». arXiv : 0711.4396 .
• Лайтстоун, АХ (1972). «Бесконечно малые». Американский математический ежемесячник . 79 (3).
• Ханжанзаде, Зейнаб; Маданшекаф, Али (2019). «О проекционных алгебрах». Математический бюллетень Юго-Восточной Азии . 43 (2).

Внешние ссылки

• Расширенное натуральное число в n Lab