Микронепрерывность

В нестандартном анализе , дисциплине классической математики , микронепрерывность (или S -непрерывность) внутренней функции f в точке a определяется следующим образом:

для всех x, бесконечно близких к a , значение f ( x ) бесконечно близко к f ( a ).

Здесь x проходит через область определения f . В формулах это можно выразить следующим образом:

если $x\approx a$ затем $f(x)\approx f(a)$.

Для функции f, определенной на $\mathbb {R}$, определение можно выразить через гало следующим образом: f микронепрерывна при $c\in \mathbb {R}$ тогда и только тогда, когда $f(hal(c))\subseteq hal(f(c))$, где естественное расширение f на гиперреалы по-прежнему обозначается f . Альтернативно, свойство микронепрерывности в точке c можно выразить, заявив, что состав ${\text{st}}\circ f$ постоянна в ореоле c , где «st» — стандартная функция части .

История

Современное свойство непрерывности функции было впервые определено Больцано в 1817 году. Однако работа Больцано не была замечена широким математическим сообществом до ее повторного открытия Гейне в 1860-х годах. Между тем, Коши в учебнике «Кур д'Анализ» в 1821 году непрерывность определялась с использованием бесконечно малых величин , как указано выше.

Непрерывность и единая преемственность

Свойство микронепрерывности обычно применяется к естественному расширению f* вещественной функции f . Таким образом, f, определенный на вещественном интервале I, непрерывным тогда и только тогда, когда f* микронепрерывен в каждой точке I. является Между тем, f на равномерно непрерывна I тогда и только тогда, когда f* микронепрерывна в каждой точке (стандартной и нестандартной) естественного расширения I* своей области I (см. Дэвис, 1977, стр. 96).

Пример 1

Реальная функция $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ на открытом интервале (0,1) не является равномерно непрерывным, поскольку естественное расширение f* функции f не может быть микронепрерывным при бесконечно малых $a>0$. Действительно, для такого a значения a и 2a бесконечно близки, а значения f* , а именно ${\tfrac {1}{a}}$ и ${\tfrac {1}{2a}}$ не бесконечно близки.

Пример 2

Функция $f(x)=x^{2}$ на $\mathbb {R}$ не является равномерно непрерывным, поскольку f* не может быть микронепрерывным в бесконечной точке $H\in \mathbb {R} ^{*}$. А именно, установка $e={\tfrac {1}{H}}$ и K = H + e , легко видеть, что H и K бесконечно близки, но f *( H ) и f *( K ) не бесконечно близки.

конвергенция

Равномерная сходимость также допускает упрощенное определение в гиперреальной среде. Таким образом, последовательность $f_{n}$ сходится к f если для всех x в области определения f* и всех бесконечных n равномерно , $f_{n}^{*}(x)$ бесконечно близок к $f^{*}(x)$.

См. также

• Стандартная функция детали

Библиография

• Мартин Дэвис (1977) Прикладной нестандартный анализ. Чистая и прикладная математика. Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], Нью-Йорк-Лондон-Сидней. xii+181 стр. ISBN   0-471-19897-8
• Гордон, Э.И.; Кусраев, А.Г.; Кутателадзе С.С.: Инфинитезимальный анализ. Обновленный и исправленный перевод русского оригинала 2001 года. Перевод Кутателадзе. Математика и ее приложения, 544. Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, 2002.