Внутренний комплект

В математической логике , в частности в теории моделей и нестандартном анализе , внутренний набор — это набор, который является членом модели.

Концепция внутренних множеств является инструментом в формулировке принципа переноса , который касается логической связи между свойствами действительных чисел R и свойствами большего поля, обозначаемого * R, называемого гипердействительными числами . Поле * R включает, в частности, бесконечно малые («бесконечно малые») числа, что дает строгое математическое обоснование их использования. Грубо говоря, идея состоит в том, чтобы выразить анализ R на подходящем языке математической логики, а затем указать, что этот язык одинаково хорошо применим и к * R . Это оказывается возможным, поскольку на теоретико-множественном уровне предложения в таком языке интерпретируются как применимые только к внутренним множествам , а не ко всем множествам (обратите внимание, что термин «язык» используется в приведенном выше смысле в широком смысле). ).

Эдварда Нельсона представляет Теория внутренних множеств собой аксиоматический подход к нестандартному анализу (см. также Палмгрен в статье «Конструктивный нестандартный анализ »). Традиционные бесконечные описания нестандартного анализа также используют концепцию внутренних множеств.

Внутренние комплекты в сверхмощной конструкции

Относительно сверхстепенной конструкции гипердействительных чисел как классов эквивалентности последовательностей $\langle u_{n}\rangle$ вещественных чисел, внутреннее подмножество [ An _{] из} * R определяется последовательностью вещественных множеств $\langle A_{n}\rangle$, где гиперреальность $[u_{n}]$ говорят, что он принадлежит множеству $[A_{n}]\subseteq \;^{*}\!{\mathbb {R} }$ тогда и только тогда, когда набор индексов n такой, что $u_{n}\in A_{n}$, является членом ультрафильтра , используемого при построении * R .

В более общем смысле внутренняя сущность является элементом естественного расширения реальной сущности. Таким образом, каждый элемент * R является внутренним; подмножество * R является внутренним тогда и только тогда, когда оно является членом естественного расширения ${}^{*}{\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$ из силового набора ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$ Р ​ ; и т. д.

Внутренние подмножества реалов

Каждое внутреннее подмножество * R , которое является подмножеством (вложенной копией) R , обязательно конечно (см. теорему 3.9.1 Goldblatt, 1998). Другими словами, каждое внутреннее бесконечное подмножество гиперреальности обязательно содержит нестандартные элементы.

См. также

• Стандартная функция детали
• Надстройка (математика)

Ссылки

• Голдблатт, Роберт . Лекции о гиперреальности . Введение в нестандартный анализ. Тексты для выпускников по математике , 188. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1998.
• Авраам Робинсон (1996), Нестандартный анализ , Принстонские вехи в математике и физике, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-04490-3