Стандартная функция детали

В нестандартном анализе стандартная функция части — это функция от ограниченных (конечных) гипердействительных чисел до действительных чисел. Короче говоря, стандартная часть функции «округляет» конечную гиперреальную величину до ближайшей реальной. Оно ассоциируется с каждым таким гиперреальным $x$, уникальное настоящее $x_{0}$ бесконечно близко к нему, т.е. $x-x_{0}$является бесконечно малым . По сути, это математическая реализация исторической концепции равенства , введенной Пьером де Ферма . а также Лейбница Трансцендентальный закон однородности .

Стандартная функция части была впервые определена Абрахамом Робинсоном , который использовал обозначение ${}^{\circ }x$ для стандартной части гиперреальности $x$(см. Робинсон 1974). Эта концепция играет ключевую роль в определении таких понятий исчисления, как непрерывность, производная и интеграл, в нестандартном анализе . Последняя теория представляет собой строгую формализацию вычислений с бесконечно малыми величинами . Стандартную часть x иногда называют его тенью .

Определение

Стандартная часть функции «округляет» конечное гипердействительное число до ближайшего действительного числа. «Бесконечно малый микроскоп» используется для наблюдения за бесконечно малой окрестностью стандартной вещественной реальности.

Нестандартный анализ имеет дело в первую очередь с парой $\mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R}$, где гиперреалы ${}^{*}\mathbb {R}$ являются упорядоченным расширением полей действительных чисел $\mathbb {R}$и содержат бесконечно малые числа в дополнение к действительным числам. В гипердействительной линии каждое действительное число имеет набор чисел (называемых монадой или гало ) бесконечно близких к нему гипердействительных чисел. Стандартная часть-функция ассоциируется с конечным гипердействительным числом x , уникальным стандартным вещественным числом x0 _, которое бесконечно близко к нему. Отношения выражаются символически записью

$\operatorname {st} (x)=x_{0}.$

Стандартная часть любой бесконечно малой равна 0. Таким образом, если N — бесконечное сверхъестественное , то 1/ N — бесконечно малое, и st(1/ N ) = 0.

Если гиперреальность $u$ представлена ​​последовательностью Коши $\langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle$ в сверхмощной конструкции, то

$\operatorname {st} (u)=\lim _{n\to \infty }u_{n}.$

В более общем смысле, каждое конечное $u\in {}^{*}\mathbb {R}$ определяет разрез Дедекинда на подмножестве $\mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R}$ (через общий заказ на ${}^{\ast }\mathbb {R}$) и соответствующее действительное число является стандартной частью u .

Не внутренний

Стандартная функция детали «st» не определяется внутренним набором . Есть несколько способов объяснить это. Возможно, самое простое состоит в том, что его область L, представляющая собой совокупность ограниченных (то есть конечных) гиперреальностей, не является внутренним множеством. А именно, поскольку L ограничено (например, любым бесконечным сверхъестественным), L должно было бы иметь наименьшую верхнюю границу, если бы L было внутренним, но L не имеет наименьшей верхней границы. Альтернативно, диапазон «st» равен $\mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R}$, который не является внутренним; фактически каждый внутренний набор в ${}^{*}\mathbb {R}$ это подмножество $\mathbb {R}$ обязательно конечно .

Приложения

Все традиционные понятия исчисления можно выразить через стандартную функцию части следующим образом.

Производная

Стандартная функция части используется для определения производной функции f . Если f — действительная функция, а h — бесконечно малая, и если f ′( x ) существует, то

$f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right).$

Альтернативно, если $y=f(x)$, берется бесконечно малое приращение $\Delta x$и вычисляет соответствующий $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$. Один образует соотношение ${\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$. Производная тогда определяется как стандартная часть отношения:

${\frac {dy}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right).$

Интеграл

Дана функция $f$ на $[a,b]$, определяется интеграл ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ как стандартная часть бесконечной суммы Римана $S(f,a,b,\Delta x)$ когда значение $\Delta x$ считается бесконечно малым, используя гиперконечное разбиение интервала [ a , b ].

Ограничить

Учитывая последовательность $(u_{n})$, его предел определяется соотношением ${\textstyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=\operatorname {st} (u_{H})}$ где $H\in {}^{*}\mathbb {N} \setminus \mathbb {N}$это бесконечный индекс. Здесь говорят, что предел существует, если стандартная часть одинакова независимо от выбранного бесконечного индекса.

Преемственность

Настоящая функция $f$ непрерывен в реальной точке $x$ тогда и только тогда, когда композиция $\operatorname {st} \circ f$ постоянно находится в ореоле ​ $x$. см. в разделе «Микронепрерывность» Более подробную информацию .

См. также

• Адекватность
• Нестандартное исчисление

Дальнейшее чтение

• Х. Джером Кейслер . Элементарное исчисление: бесконечно малый подход . Первое издание 1976 г.; 2-е издание, 1986 г. (Эта книга больше не издается. Издатель вернул авторские права автору, который предоставил 2-е издание в формате .pdf, доступное для загрузки по адресу http://www.math.wisc.edu/ ~keisler/calc.html .)
• Авраам Робинсон . Нестандартный анализ. Перепечатка второго (1974 г.) издания. С предисловием Вильгельма А.Ю. Люксембурга . Принстонские ориентиры в математике. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1996. xx+293 стр. ISBN   0-691-04490-2