Дедекинд разрез

В математике , сокращения Дедекинда названные в честь немецкого математика Рихарда Дедекинда (но ранее рассматриваемые Йозефом Бертраном ^[1]^[2]), представляют собой метод построения действительных чисел из рациональных чисел . Дедекиндов разрез — это разбиение рациональных чисел на два множества A и B так, что каждый элемент A меньше любого элемента B , а A не содержит наибольшего элемента . Множество B может иметь или не иметь наименьший элемент среди рациональных чисел. Если B имеет наименьший элемент среди рациональных чисел, разрез соответствует этому рациональному элементу. В противном случае этот разрез определяет уникальное иррациональное число которое, грубо говоря, заполняет «пробел» между A и B. , ^[3]Другими словами, A содержит все рациональные числа, меньшие, чем разрез, а B содержит все рациональные числа, большие или равные разрезу. Иррациональный разрез приравнивается к иррациональному числу, которого нет ни в одном множестве. Каждое действительное число, рациональное или нет, приравнивается к одному и только одному числу рациональных чисел. ^[3]

Дедекиндовы разрезы можно обобщить с рациональных чисел на любое полностью упорядоченное множество, определив дедекиндовый разрез как разбиение полностью упорядоченного множества на две непустые части A и B , такие, что A замкнуто вниз (это означает, что для всех a в A , x ≤ a означает, что x находится в A также ), B замкнут вверх и A не содержит наибольшего элемента. См. также полнота (теория порядка) .

Несложно показать, что дедекиндов разрез действительных чисел однозначно определяется соответствующим разрезом рациональных чисел. Точно так же каждый разрез действительных чисел идентичен разрезу, полученному определенным действительным числом (которое можно определить как наименьший элемент множества B ). Другими словами, числовая линия , где каждое действительное число определяется как дедекиндово сечение рациональных чисел, представляет собой полный континуум без каких-либо дальнейших пробелов.

Определение [ править ]

Дедекиндов разрез – это разделение рациональных чисел. $\mathbb {Q}$ на два подмножества $A$ и $B$ такой, что

$A$ непусто.
$A\neq \mathbb {Q}$ (эквивалентно, $B$ непусто).
Если $x,y\in \mathbb {Q}$ , $x<y$ , и $y\in A$ , затем $x\in A$ . ( $A$ «закрыто вниз».)
Если $x\in A$ , то существует $y\in A$ такой, что $y>x$ . ( $A$ не содержит наибольшего элемента.)

Опуская первые два требования, мы формально получаем расширенную линию действительных чисел .

Представления [ править ]

Более симметрично использовать обозначение ( A , B ) для разрезов Дедекинда, но каждое из A и B определяет другое. С точки зрения обозначений, если не более того, может быть упрощением сконцентрироваться на одной «половинке» — скажем, нижней — и называть любое замкнутое вниз множество A без наибольшего элемента «разрезом Дедекинда».

Если упорядоченное множество S полно, то для каждого дедекиндова разреза ( A , B ) множества S множество B должно иметь минимальный элемент b , следовательно, мы должны иметь, что A — это интервал (−∞, b ), а B — интервал [ b , +∞). В этом случае мы говорим, что b представлен разрезом ( A , B ).

Важная цель сокращения Дедекинда — работать с неполными наборами чисел . Сам разрез может представлять собой число, отсутствующее в исходном наборе чисел (чаще всего рациональные числа ). Отрезок может представлять число b , даже если числа, содержащиеся в двух наборах A и B, на самом деле не включают число b , которое представляет их отрез.

Например, если A и B содержат только рациональные числа , их все равно можно разрезать. ${\sqrt {2}}$ помещая каждое отрицательное рациональное число в A вместе с каждым неотрицательным рациональным числом, квадрат которого меньше 2; аналогично B будет содержать каждое положительное рациональное число, квадрат которого больше или равен 2. Даже если не существует рационального значения для ${\sqrt {2}}$ , если рациональные числа разделить таким образом на A и B , то само разделение представляет собой иррациональное число .

Заказ разрезов [ править ]

Считайте один дедекиндовский разрез ( A , B ) меньшим, чем другой дедекиндовский разрез ( C , D ) (того же надмножества), если A является собственным подмножеством C . Эквивалентно, если D является собственным подмножеством B , разрез ( A , B ) снова меньше, чем ( C , D ). Таким образом, включение множеств можно использовать для представления порядка чисел, а все остальные отношения ( больше , меньше или равно , равно и т. д.) могут быть аналогичным образом созданы из отношений множеств.

Множество всех дедекиндовых разрезов само по себе является линейно упорядоченным множеством (множеств). Более того, множество дедекиндовых разрезов обладает свойством наименьшей верхней границы , т. е. каждое его непустое подмножество, имеющее любую верхнюю границу, имеет наименьшую верхнюю границу. Таким образом, построение набора дедекиндовых разрезов служит цели встраивания исходного упорядоченного набора S , который, возможно, не имел свойства наименьшей верхней границы, в линейно упорядоченный набор (обычно больший), обладающий этим полезным свойством.

Построение действительных чисел [ править ]

Типичный дедекиндовский разрез рациональных чисел. $\mathbb {Q}$ задается разделом $(A,B)$ с

A=\{a\in \mathbb {Q} :a^{2}<2{\text{ or }}a<0\},

B=\{b\in \mathbb {Q} :b^{2}\geq 2{\text{ and }}b\geq 0\}.

^[4]

Этот разрез представляет собой иррациональное число ${\sqrt {2}}$ в конструкции Дедекинда. Основная идея состоит в том, что мы используем набор $A$ , который представляет собой набор всех рациональных чисел, квадраты которых меньше 2, для «представления» числа ${\sqrt {2}}$ , и далее, при правильном определении арифметических операторов над этими множествами (сложение, вычитание, умножение и деление), эти множества (вместе с этими арифметическими операциями) образуют знакомые действительные числа.

Чтобы установить это, нужно показать, что $A$ действительно является разрезом (согласно определению) и квадратом $A$ , то есть $A\times A$ (пожалуйста, обратитесь к ссылке выше для точного определения того, как определяется умножение разрезов), $2$ (обратите внимание, что, строго говоря, это число 2 представляется разрезом $\{x\ |\ x\in \mathbb {Q} ,x<2\}$ ). Чтобы показать первую часть, покажем, что для любого положительного рационального $x$ с $x^{2}<2$ , есть рациональное $y$ с $x<y$ и $y^{2}<2$ . Выбор $y={\frac {2x+2}{x+2}}$ работает, таким образом $A$ действительно разрез. Теперь, вооружившись умножением между разрезами, легко проверить, что $A\times A\leq 2$ (по сути, это потому, что $x\times y\leq 2,\forall x,y\in A,x,y\geq 0$ ). Поэтому, чтобы показать, что $A\times A=2$ , мы показываем это $A\times A\geq 2$ , и достаточно показать, что для любого $r<2$ , Существует $x\in A$ , $x^{2}>r$ . Для этого заметим, что если $x>0,2-x^{2}=\epsilon >0$ , затем $2-y^{2}\leq {\frac {\epsilon }{2}}$ для $y$ построенное выше, это означает, что мы имеем последовательность в $A$ квадрат которого может стать сколь угодно близким к $2$ , что завершает доказательство.

Заметим, что равенство $b 2 = 2$ не может выполняться, поскольку ${\sqrt {2}}$ не является рациональным .

Связь с интервальной арифметикой [ править ]

Дан разрез Дедекинда, представляющий действительное число. $r$ путем разделения рациональных чисел на $(A,B)$ где рациональные в $A$ меньше, чем $r$ и рациональное мышление в $B$ больше, чем $r$ , его можно эквивалентно представить как набор пар $(a,b)$ с $a\in A$ и $b\in B$ , причем нижний и верхний срез задаются выступами. Это в точности соответствует набору интервалов, аппроксимирующих $r$ .

Это позволяет определить основные арифметические операции над действительными числами в терминах интервальной арифметики . Это свойство и его связь с действительными числами, заданными только в терминах $A$ и $B$ особенно важен в случае более слабых основ, таких как конструктивный анализ .

Обобщения [ править ]

Произвольные линейно упорядоченные множества [ править ]

В общем случае произвольного линейно упорядоченного множества X разрезом является пара $(A,B)$ такой, что $A\cup B=X$ и $a\in A$ , $b\in B$ подразумевать $a<b$ . Некоторые авторы добавляют требование, чтобы и A , и B были непустыми. ^[5]

Если ни A не имеет максимума, ни B не имеет минимума, разрез называется разрывом . Линейно упорядоченное множество, наделенное порядковой топологией, компактно тогда и только тогда, когда оно не имеет разрыва. ^[6]

Сюрреалистические цифры [ править ]

Конструкция, напоминающая дедекиндовы разрезы, используется для (одной из многих возможных) конструкций сюрреалистических чисел . Соответствующим понятием в данном случае является огранка Куэста-Дутари. ^[7] назван в честь испанского математика Норберто Куэста Дутари [ es ] .

Частично упорядоченные наборы [ править ]

В более общем смысле, если S является частично упорядоченным множеством пополнение S означает с полную решетку L порядковым вложением S в L. , Понятие полной решетки обобщает свойство наименьшей верхней границы вещественных чисел.

Одно завершение S — это набор его закрытых вниз подмножеств, упорядоченных по включению . Соответствующее пополнение, сохраняющее все существующие sups и infs S, получается с помощью следующей конструкции: для каждого подмножества A из S пусть A ^в обозначим множество верхних границ A и пусть A ^лобозначим множество нижних границ A . (Эти операторы образуют связность Галуа .) Тогда Дедекинда–МакНила пополнение S состоит из всех подмножеств A , для которых ( A ^в) ^л= А ; он упорядочен по включению. Пополнение Дедекинда-МакНила — это наименьшая полная решетка с S. вложенной в нее

Примечания [ править ]

^ Бертран, Жозеф (1849). Арифметический трактат . стр. 203. Несоизмеримое число можно определить, только указав, как выражаемая им величина может быть образована посредством единицы. В дальнейшем мы полагаем, что это определение состоит в указании, какие соизмеримые числа меньше или больше его....
^ Спалт, Детлеф (2019). Краткая история анализа . Спрингер. дои : 10.1007/978-3-662-57816-2 . ISBN 978-3-662-57815-5 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Дедекинд, Ричард (1872). Непрерывность и иррациональные числа (PDF) . Раздел IV. Таким образом, всякий раз, когда нам приходится иметь дело с разрезом, произведенным нерациональным числом, мы создаем новое иррациональное число, которое мы считаем полностью определяемым этим разрезом... Следовательно, отныне каждому определенному разрезу соответствует определенное рациональное или иррациональное число...
^ Во второй строке $\geq$ может быть заменен на $>$ без какой-либо разницы, поскольку нет решения для $x^{2}=2$ в $\mathbb {Q}$ и $b=0$ уже запрещено первым условием. Это приводит к эквивалентному выражению
$B=\{b\in \mathbb {Q} :b^{2}>2{\text{ and }}b>0\}.$
^ Р. Энгелькинг, Общая топология, I.3
^ Джун-Ити Нагата, Современная общая топология, Второе исправленное издание, Теорема VIII.2, стр. 461. На самом деле теорема справедлива в случае обобщенных упорядоченных пространств, но в этой более общей ситуации следует учитывать псевдопробелы.
^ Аллинг, Норман Л. (1987). Основы анализа сюрреалистических числовых полей . Математические исследования 141. Северная Голландия. ISBN 0-444-70226-1 .

Ссылки [ править ]

Дедекинд, Ричард, Очерки по теории чисел , «Непрерывность и иррациональные числа», Dover Publications: Нью-Йорк, ISBN 0-486-21010-3 . Также доступно в Project Gutenberg.

Внешние ссылки [ править ]

«Дедекиндовый разрез» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Бертран, Жозеф (1849). Арифметический трактат . стр. 203. Несоизмеримое число можно определить, только указав, как выражаемая им величина может быть образована посредством единицы. В дальнейшем мы полагаем, что это определение состоит в указании, какие соизмеримые числа меньше или больше его....

[2] Спалт, Детлеф (2019). Краткая история анализа . Спрингер. дои : 10.1007/978-3-662-57816-2 . ISBN 978-3-662-57815-5 .

[:0-3] Перейти обратно: ^а ^б Дедекинд, Ричард (1872). Непрерывность и иррациональные числа (PDF) . Раздел IV. Таким образом, всякий раз, когда нам приходится иметь дело с разрезом, произведенным нерациональным числом, мы создаем новое иррациональное число, которое мы считаем полностью определяемым этим разрезом... Следовательно, отныне каждому определенному разрезу соответствует определенное рациональное или иррациональное число...

[4] Во второй строке $\geq$ может быть заменен на $>$ без какой-либо разницы, поскольку нет решения для $x^{2}=2$ в $\mathbb {Q}$ и $b=0$ уже запрещено первым условием. Это приводит к эквивалентному выражению
$B=\{b\in \mathbb {Q} :b^{2}>2{\text{ and }}b>0\}.$

[5] Р. Энгелькинг, Общая топология, I.3

[6] Джун-Ити Нагата, Современная общая топология, Второе исправленное издание, Теорема VIII.2, стр. 461. На самом деле теорема справедлива в случае обобщенных упорядоченных пространств, но в этой более общей ситуации следует учитывать псевдопробелы.

[Alling-7] Аллинг, Норман Л. (1987). Основы анализа сюрреалистических числовых полей . Математические исследования 141. Северная Голландия. ISBN 0-444-70226-1 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]