Полуцелое число

В математике полуцелое число — это число вида

$$n+{\tfrac {1}{2}},$$

где $n$ является целым числом. Например,

$$4{\tfrac {1}{2}},\quad 7/2,\quad -{\tfrac {13}{2}},\quad 8.5$$

все являются полуцелыми числами . Название «полуцелое число», возможно, вводит в заблуждение, поскольку набор может быть неправильно истолкован как включающий такие числа, как 1 (половина целого числа 2). Такое название, как «целое число плюс половина», может быть более точным, но, хотя это и не совсем верно, «полуцелое число» является общепринятым термином. Полуцелые числа встречаются в математике и квантовой механике достаточно часто, поэтому удобно использовать отдельный термин.

Обратите внимание, что разделение целого числа пополам не всегда дает полуцелое число; это верно только для нечетных целых чисел . По этой причине полуцелые числа также иногда называют полунечетными . Полуцелые числа — это подмножество двоично-рациональных чисел (числ, полученных путем деления целого числа на степень двойки ).

и

Множество обозначается всех полуцелых чисел часто

$$\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\quad =\quad \left({\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} \right)\smallsetminus \mathbb {Z} ~.$$

Целые и полуцелые числа вместе образуют группу при операции сложения, которую можно обозначить

$${\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} ~.$$

Однако эти числа не образуют кольцо , поскольку произведение двух полуцелых чисел не является полуцелым числом; например $~{\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}~=~{\tfrac {1}{4}}~\notin ~{\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} ~.$ Наименьшее кольцо, содержащее их, $\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}\right]$, кольцо двоичных рациональных чисел .

Свойства

• Сумма $n$ Полуцелые числа являются полуцелыми тогда и только тогда, когда $n$ странно. Это включает в себя $n=0$ поскольку пустая сумма 0 не является полуцелым числом.
• Отрицательное значение полуцелого числа — это полуцелое число.
• Мощность . множества полуцелых чисел равна мощности целых чисел Это связано с существованием биекции целых чисел в полуцелые: $f:x\to x+0.5$, где $x$ целое число

Использует

Упаковка сфер

Самая плотная решетчатая упаковка единичных сфер в четырех измерениях (называемая D ₄ решеткой ) помещает сферу в каждую точку, координаты которой либо все целые, либо все полуцелые числа. Эта упаковка тесно связана с целыми числами Гурвица : кватернионами , действительные коэффициенты которых либо все целые, либо все полуцелые числа.

Физика

В физике принцип исключения Паули возникает из определения фермионов как частиц, спины которых являются полуцелыми числами.

Энергетические уровни квантового гармонического осциллятора имеют полуцелые числа, поэтому его самая низкая энергия не равна нулю.

Объем сферы

Хотя функция факториала определена только для целочисленных аргументов, ее можно расширить до дробных аргументов с помощью гамма-функции . Гамма-функция для полуцелых чисел является важной частью формулы объема n -мерного шара радиуса $R$,

$$V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n}~.$$

Значения гамма-функции для полуцелых чисел являются целыми числами, кратными квадратному корню из числа пи :

$$\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)~=~{\frac {\,(2n-1)!!\,}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi \,}}~=~{\frac {(2n)!}{\,4^{n}\,n!\,}}{\sqrt {\pi \,}}~$$

где $n!!$ обозначает двойной факториал .