Сверхъестественное число

Диаграмма Хассе решетки ; сверхъестественных чисел простые числа, кроме 2 и 3, для простоты опущены.

В математике сверхъестественные числа , иногда называемые обобщенными натуральными числами или числами Стейница , являются обобщением натуральных чисел . Их использовал Эрнст Стейниц. в 1910 году в рамках своей работы по теории поля .

Сверхъестественное число $\omega$ является формальным продуктом :

$\omega =\prod _{p}p^{n_{p}},$

где $p$ пробегает все простые числа , и каждое $n_{p}$равен нулю, натуральному числу или бесконечности . Иногда $v_{p}(\omega )$ используется вместо $n_{p}$. Если нет $n_{p}=\infty$ и существует только конечное число ненулевых $n_{p}$затем мы восстанавливаем целые положительные числа. Чуть менее интуитивно, если все $n_{p}$ являются $\infty$, мы получаем ноль. Сверхъестественные числа выходят за рамки натуральных чисел, допуская возможность бесконечно большого числа простых делителей и позволяя любому данному простому числу делиться. $\omega$ «бесконечно часто», принимая соответствующий показатель этого простого числа в качестве символа $\infty$.

Не существует естественного способа сложения сверхъестественных чисел, но их можно умножать, используя $\prod _{p}p^{n_{p}}\cdot \prod _{p}p^{m_{p}}=\prod _{p}p^{n_{p}+m_{p}}$. Точно так же понятие делимости распространяется на сверхъестественное с $\omega _{1}\mid \omega _{2}$ если $v_{p}(\omega _{1})\leq v_{p}(\omega _{2})$ для всех $p$. Понятие наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя также можно обобщить для сверхъестественных чисел, определив

$\displaystyle \operatorname {lcm} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{p}p^{\sup(v_{p}(\omega _{i}))}$

и

$\displaystyle \operatorname {gcd} (\{\omega _{i}\})\displaystyle =\prod _{p}p^{\inf(v_{p}(\omega _{i}))}$.

Согласно этим определениям, НОД или НОК бесконечного числа натуральных чисел (или сверхъестественных чисел) является сверхъестественным числом. Мы также можем расширить обычное $p$-адические функции порядка к сверхъестественным числам путем определения $v_{p}(\omega )=n_{p}$ для каждого $p$.

Сверхъестественные числа используются для определения порядков и индексов проконечных групп и подгрупп, и в этом случае многие теоремы теории конечных групп точно переносятся. Они используются для кодирования алгебраических расширений конечного поля .

Сверхъестественные числа возникают также при классификации равномерно гиперконечных алгебр .

См. также

• Проконечное целое число

Ссылки

• Броули, Джоэл В.; Шниббен, Джордж Э. (1989). Бесконечные алгебраические расширения конечных полей . Современная математика. Том. 95. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 23–26. ISBN  0-8218-5101-2 . Збл   0674.12009 .
• Эфрат, Идо (2006). Оценки, упорядочения и К- теория Милнора . Математические обзоры и монографии. Том. 124. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 125. ИСБН  0-8218-4041-Х . Збл   1103.12002 .
• Фрид, Майкл Д.; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика . Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Том 11 (3-е изд.). Издательство Спрингер . п. 520. ИСБН  978-3-540-77269-9 . Збл   1145.12001 .

Внешние ссылки

• Планета математики: сверхъестественное число