Равномерно гиперконечная алгебра

В математике , особенно в теории C*-алгебр , равномерно гиперконечная , или UHF , алгебра — это C*-алгебра, которую можно записать как замыкание в топологии нормы возрастающего объединения конечномерной полной матрицы. алгебры .

Определение

СВЧ C*-алгебра — это прямой предел индуктивной системы { An _An , φn _. }, где каждая — _φn конечномерная полная матричная алгебра, а каждая → _: An + _с 1 — _{An вложение} единицей Подавив связующие отображения, можно написать

$A={\overline {\cup _{n}A_{n}}}.$

Классификация

Если

$A_{n}\simeq M_{k_{n}}(\mathbb {C} ),$

тогда rk _n = k _{n + 1} для некоторого целого числа r и

$\phi _{n}(a)=a\otimes I_{r},$

где I _r — единица в матрицах размера r × r . Последовательность ... k _n | к _{н + 1} | k _{n + 2} ... определяет формальное произведение

$\delta (A)=\prod _{p}p^{t_{p}}$

где каждый p является простым и t _p = sup { m | п ^м делит k _n на некоторое n }, возможно, нулевое или бесконечное. Формальное произведение δ ( A ) называется сверхнатуральным числом соответствующим A. , Глимм показал, что сверхъестественное число является полным инвариантом СВЧ C*-алгебр. В частности, существует несчетное множество классов изоморфизма СВФ С*-алгебр.

Если δ ( A ) конечно, то — полная матричная алгебра Mδ _{A ( A )} . Говорят, что алгебра UHF имеет бесконечный тип , если каждый t _p в δ ( A ) равен 0 или ∞.

На языке К-теории каждое сверхъестественное число

$\delta (A)=\prod _{p}p^{t_{p}}$

определяет аддитивную подгруппу Q , которая представляет собой рациональные числа типа n / m , где m формально делит δ ( A ). группа является K ₀ группой A Эта .

АВТОМОБИЛЬНАЯ алгебра

Одним из примеров UHF C*-алгебры является алгебра CAR . Оно определяется следующим образом: пусть H — сепарабельное комплексное гильбертово пространство H с ортонормированным базисом f _n и L ( H ) — ограниченные операторы в H , рассмотрим линейное отображение

$\alpha :H\rightarrow L(H)$

с имуществом, которое

$\{\alpha (f_{n}),\alpha (f_{m})\}=0\quad {\mbox{and}}\quad \alpha (f_{n})^{*}\alpha (f_{m})+\alpha (f_{m})\alpha (f_{n})^{*}=\langle f_{m},f_{n}\rangle I.$

Алгебра CAR — это C*-алгебра, порожденная

$\{\alpha (f_{n})\}\;.$

Вложение

$C^{*}(\alpha (f_{1}),\cdots ,\alpha (f_{n}))\hookrightarrow C^{*}(\alpha (f_{1}),\cdots ,\alpha (f_{n+1}))$

можно отождествить с вложением кратности 2

$M_{2^{n}}\hookrightarrow M_{2^{n+1}}.$

Следовательно, алгебра CAR имеет сверхъестественное число 2. ^∞ . Это отождествление также приводит к тому, что его K ₀ группа представляет собой двоично-рациональные числа .