Оператор К -теория
В математике , операторная K-теория является некоммутативным аналогом топологической K-теории для банаховых алгебр большинство приложений которой используется для C*-алгебр .
Обзор [ править ]
Операторная К-теория больше напоминает топологическую К-теорию, чем алгебраическую К-теорию . В частности, справедлива теорема о периодичности Ботта . Итак, существует только две K-группы, а именно K 0 , равная алгебраической K 0 , и K 1 . Как следствие теоремы о периодичности, он удовлетворяет исключению . Это означает, что ему соответствует расширение С *-алгебр до длинной точной последовательности , которая в силу периодичности Ботта сводится к точной циклической 6-членной последовательности.
Операторная К-теория является обобщением топологической К-теории , определяемой с помощью векторных расслоений на локально компактных хаусдорфовых пространствах . Здесь векторному расслоению над топологическим пространством X сопоставляется проектор в алгебре С* матричного значения, т. е. -значные — непрерывные функции X. над Также известно, что изоморфизм векторных расслоений приводит к эквивалентности Мюррея-фон Неймана ассоциированного проектора в K ⊗ C ( X ), где K — компактные операторы в сепарабельном гильбертовом пространстве.
Следовательно, группа K 0 (не обязательно коммутативной) C*-алгебры A определяется как группа Гротендика , порожденная классами эквивалентности Мюррея–фон Неймана проекций в K ⊗ C ( X ). К0 — функтор из категории С*-алгебр и *-гомоморфизмов в категорию абелевых групп и групповых гомоморфизмов. Высшие K-фунторы определяются через C*-версию подвески: K n ( A ) = K 0 ( S н ( А )), где SA знак равно C 0 (0,1) ⊗ А .
Однако в силу периодичности Ботта оказывается, что K n +2 ( A ) и K n ( A ) изоморфны для каждого n , и, таким образом, единственными группами, созданными этой конструкцией, являются K 0 и K 1 .
Ключевой причиной введения K-теоретико-методов в изучение C*-алгебр был индекс Фредгольма : данному ограниченному линейному оператору в гильбертовом пространстве, имеющему конечномерное ядро и коядро, ему можно сопоставить целое число что, как оказывается, отражает «дефект» оператора, т.е. степень его необратимости. Карта индекса Фредгольма появляется в точной последовательности из 6 членов, заданной алгеброй Калкина . В анализе многообразий этот индекс и его обобщения сыграли решающую роль в теории индексов Атьи и Зингера, где топологический индекс многообразия может быть выражен через индекс эллиптических операторов на нем. Позже Браун , Дуглас и Филлмор заметили, что индекс Фредгольма был недостающим ингредиентом в классификации по существу нормальных операторов с точностью до некоторой естественной эквивалентности. Эти идеи вместе с Эллиоттом классификацией AF C*-алгебр с помощью K-теории привели к большому интересу к адаптации таких методов, как K-теория, из алгебраической топологии к изучению операторных алгебр.
Это, в свою очередь, привело к K-гомологии , Каспарова бивариантной KK-теории и, совсем недавно, Конна и Хигсона к E-теории .
Ссылки [ править ]
- Рордам, М.; Ларсен, Финн; Лаустсен, Н. (2000), Введение в K -теорию C. ∗ -алгебры , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 49, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-78334-7