Алгебра Калкина
В функциональном анализе используется алгебра Калкина , названная в честь Джона Уильямса Калкина . [1] является фактором B H ( H ), кольца ограниченных линейных операторов в сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве , по идеалу K ( H ) компактных операторов . [2] Здесь сложение в B ( H ) — это сложение операторов, а умножение в B ( H ) — композиция операторов; легко проверить, что эти операции превращают B ( H ) в кольцо. Когда также включено скалярное умножение, B ( H ) фактически становится алгеброй над тем же полем, над которым H является гильбертовым пространством.
Свойства [ править ]
- Поскольку K ( H ) — максимальный замкнутый по норме идеал в B ( H ), алгебра Калкина проста . Фактически K ( H ) — единственный замкнутый идеал в B ( H ).
- Как фактор C*-алгебры по двустороннему идеалу, алгебра Калкина сама является C*-алгеброй и существует короткая точная последовательность
- что индуцирует шестичленную циклическую точную последовательность в K-теории . Те операторы из B ( H ), которые отображаются в обратимый элемент алгебры Калкина, называются операторами Фредгольма , и их индекс можно описать как с помощью К-теории, так и напрямую. Можно заключить, например, что набор унитарных операторов в алгебре Калкина состоит из гомотопических классов, индексированных целыми числами Z . В этом отличие от B ( H ), где унитарные операторы связаны путями.
- Как C*-алгебра, алгебра Калкина не изоморфна алгебре операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве. Из конструкции Гельфанда -Наймарка-Сегала следует, что алгебра Калкина изоморфна алгебре операторов в несепарабельном гильбертовом пространстве, но в то время как для многих других С*-алгебр существуют явные описания таких гильбертовых пространств, алгебра Калкина не имеет явное представление. [ нужна ссылка ]
- Существование внешнего автоморфизма алгебры Калкина не зависит от ZFC в работах Филлипса, Уивера и Фары. [3] [4]
Обобщения [ править ]
- Алгебру Калкина можно определить для любого бесконечномерного комплексного гильбертова пространства, а не только для сепарабельных.
- Аналогичную конструкцию можно сделать, заменив H банаховым пространством , которое также называют алгеброй Калкина. [5]
- Алгебра Калкина — это алгебра Короны алгебры компактных операторов в гильбертовом пространстве.
Ссылки [ править ]
- ^ «Сообщество ученых, Институт перспективных исследований, преподаватели и члены, 1930–1980» (PDF) . ias.edu . Архивировано из оригинала (PDF) 24 ноября 2011 г. Проверено 17 января 2020 г.
- ^ Калкин, JW (1 октября 1941 г.). «Двусторонние идеалы и сравнения в кольце ограниченных операторов в гильбертовом пространстве». Анналы математики . 42 (4): 839. дои : 10.2307/1968771 .
- ^ Филлипс, Н. Кристофер; Уивер, Ник (1 июля 2007 г.). «Алгебра Калкина имеет внешние автоморфизмы». Математический журнал Дьюка . 139 (1): 185–202. arXiv : math/0606594 . дои : 10.1215/S0012-7094-07-13915-2 .
- ^ Фарах, Илияс (1 марта 2011 г.). «Все автоморфизмы алгебры Калкина внутренние». Анналы математики . 173 (2): 619–661. arXiv : 0705.3085 . дои : 10.4007/анналы.2011.173.2.1 .
- ^ Аппель, Юрген (2005). «Меры некомпактности, уплотняющие операторы и неподвижные точки: прикладной обзор». Теория фиксированной точки . 6 (2): 157–229.