Алгебра множителей

В математике алгебра -мультипликатор , обозначаемая M ( A ), C*-алгебры A — это единичная C*-алгебра, которая является наибольшей единичной C*-алгеброй, содержащей A как идеал в «невырожденной» способ. Это некоммутативное обобщение компактификации Стоуна – Чеха . Алгебры мультипликатора были введены Басби (1968) .

Например, если A — C*-алгебра компактных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве , M ( A ) — это B ( H ), C*-алгебра всех операторов в H. ограниченных

Определение

Идеал I в C*-алгебре B называется существенным , если I ∩ J нетривиален для любого идеала J . Идеальное Я существенно тогда и только тогда, когда я ^⊥ , «ортогональное дополнение» к I в гильбертовом C*-модуле B равно {0}.

Пусть А — С*-алгебра. Ее мультипликаторной алгеброй M ( A ) является любая C*-алгебра, удовлетворяющая следующему универсальному свойству : для всей C*-алгебры D, содержащей A в качестве идеала, существует единственный *-гомоморфизм φ: D → M ( A ) такой, что φ расширяет тождественный гомоморфизм на A и φ ( A ^⊥ ) = {0}.

Единственность с точностью до изоморфизма задается свойством универсальности. Когда A унитальна, M ( A ) = A . Из определения следует также, что для любого D, содержащего A в качестве существенного идеала, алгебра мультипликатора M ( A ) содержит D как C*-подалгебру.

Существование M ( A ) можно показать несколькими способами.

Двойной централизатор C*-алгебры A — это пара ( L , R ) ограниченных линейных отображений на A такая, что aL ( b ) = R ( a ) b для a и b в A. всех Это означает, что || Л || = || Р ||. Множеству двойных централизаторов A можно придать структуру C*-алгебры. Эта C*-алгебра содержит A как существенный идеал и может быть идентифицирована как алгебра мультипликатора M ( A ). Например, если A — компактные операторы K ( H ) в сепарабельном гильбертовом пространстве, то каждый x ∈ B ( H ) определяет двойной централизатор A путем простого умножения слева и справа.

Альтернативно, M ( A ) можно получить с помощью представлений. Потребуется следующий факт:

Лемма. Если I — идеал в C*-алгебре B , то любое точное невырожденное I можно π продолжить однозначно на B. представление

Теперь возьмем любое точное невырожденное представление π группы A в гильбертовом пространстве H . Приведенная выше лемма вместе с универсальным свойством алгебры мультипликаторов приводит к тому, что ( A ) изоморфно идеализатору π ( M A ) в B ( H ). Непосредственно M ( K ( H )) = B ( H ).

Наконец, пусть E — гильбертовый C*-модуль, а B ( E ) (соответственно K ( E )) — присоединенные (соответственно компактные) операторы на EM. M ( A ) можно идентифицировать посредством *-гомоморфизма A в БЫТЬ ​ ) . Верно нечто похожее на приведенную выше лемму:

Лемма. Если I — идеал в C*-алгебре B , то любой точный невырожденный * π I B в -гомоморфизм ( E продолжается однозначно на B. )

Следовательно, если π — точный невырожденный *-гомоморфизм A в B ( E ), то M ( A ) изоморфен идеализатору π ( A ). Например, M ( K ( E )) = B ( E ) для любого гильбертова E. модуля

С*-алгебра А изоморфна компактным операторам на гильбертовом А. модуле Следовательно, M ( A ) — присоединенные операторы A. на

Строгая топология

Рассмотрим топологию на M ( A ), заданную полунормами { l a _, r a _} a _{∈ A ,} где

$l_{a}(x)=\|ax\|,\;r_{a}(x)=\|xa\|.$

Полученная топология называется строгой топологией на M ( A ). A строго плотно в M ( A ).

Когда A унитальна, M ( A ) = A и строгая топология совпадает с топологией нормы. Для B ( H ) = M ( K ( H )) строгой топологией является σ-сильная* топология . Из сказанного выше следует, что B ( H ) полно в σ-сильной* топологии.

Коммутативный случай

Пусть X — локально компактное хаусдорфово пространство A = C0 ( _, X ) , коммутативная C*-алгебра непрерывных функций, обращающихся в нуль на бесконечности . Тогда M ( A ) — это C _b ( X непрерывные ограниченные функции на X. ) , По теореме Гельфанда–Наймарка имеет место изоморфизм C*-алгебр

$C_{b}(X)\simeq C(Y)$

где Y — спектр C ( _b ) X . Y на самом деле гомеоморфен компактификации Стоуна–Чеха βX пространства X .

Корона алгебра

Корона / или коронная алгебра — A это фактор M ( A ) A .Например, коронная алгебра алгебры компактных операторов в гильбертовом пространстве — это алгебра Калкина .

Алгебра короны является некоммутативным аналогом множества корон топологического пространства.

Ссылки

• Б. Блэкадар, K-теория для операторных алгебр , публикации MSRI, 1986.
• Басби, Роберт К. (1968), «Двойные централизаторы и расширения C *-алгебр» (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 132 (1): 79–99, doi : 10.2307/1994883 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1994883 , MR   0225175 , S2CID   54047557 , заархивировано из оригинала (PDF) 20 февраля 2020 г.
• Педерсен, Герт К. (2001) [1994], «Мультипликаторы C*-алгебр» , Энциклопедия математики , EMS Press