Рациональное движение

В кинематике движение твердого тела определяется как непрерывная совокупность перемещений. Однопараметрические движения могут быть определеныкак непрерывное смещение движущегося объекта относительно неподвижной системы отсчета в евклидовом трехмерном пространстве ( E ³ ), где смещение зависит от одного параметра, чаще всего определяемого как время.

Рациональные движения определяются рациональными функциями (отношениями двух полиномиальных функций ) времени. Они создают рациональные траектории и поэтому хорошо интегрируются с существующими на основе NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) стандартными отраслевыми системами CAD/CAM . Они легко поддаются применению существующих алгоритмов автоматизированного геометрического проектирования (CAGD). Путем объединения кинематики движений твердого тела с NURBS-геометрией кривых и поверхностей были разработаны методы компьютерного проектирования рациональных движений.

Эти методы САПР для проектирования движения находят применение в анимации в компьютерной графике ( интерполяция ключевых кадров ), планировании траектории в робототехнике (интерполяция заданного положения), пространственной навигации в виртуальной реальности , компьютерном геометрическом проектировании движения посредством интерактивной интерполяции, с ЧПУ. траектории инструмента планирование и постановка задач при синтезе механизмов .

Фон

Было проведено большое количество исследований по применению принципов автоматизированного геометрического проектирования (CAGD) к проблеме автоматизированного проектирования движения. В последние годы было хорошо установлено, что схемы представления кривых на основе рационального Безье и рационального B-сплайна можно комбинировать с двойным представлением кватернионов. пространственных смещений для получения рационального Безье и B-сплайнадвижения. Ге и Равани, разработал новую основу для геометрических построенийпространственных движений путем объединения понятий кинематики и CAGD. Их работа была основана на основополагающей статье Шумейка: в котором ониспользовал концепцию кватерниона для вращения интерполяции . Подробный список литературы по этой теме можно найти в и.

Рациональные движения Безье и B-сплайны

Позволять ${\hat {\textbf {q}}}={\textbf {q}}+\varepsilon {\textbf {q}}^{0}$обозначают единичный двойственный кватернион. Однородный дуальный кватернион может бытьзаписанный как пара кватернионов, ${\hat {\textbf {Q}}}={\textbf {Q}}+\varepsilon {\textbf {Q}}^{0}$; где ${\textbf {Q}}=w{\textbf {q}},{\textbf {Q}}^{0}=w{\textbf {q}}^{0}+w^{0}{\textbf {q}}$. Это получается путемрасширение ${\hat {\textbf {Q}}}={\hat {w}}{\hat {\textbf {q}}}$ с использованием двойственная алгебра чисел (здесь ${\hat {w}}=w+\varepsilon w^{0}$).

В терминах двойственных кватернионов и однородных координат точки ${\textbf {P}}:(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4})$ объекта уравнение преобразования в терминах кватернионов имеет вид

${\tilde {\textbf {P}}}={\textbf {Q}}{\textbf {P}}{\textbf {Q}}^{\ast }+P_{4}[({\textbf {Q}}^{0}){\textbf {Q}}^{\ast }-{\textbf {Q}}({\textbf {Q}}^{0})^{\ast }],$где ${\textbf {Q}}^{\ast }$ и $({\textbf {Q}}^{0})^{\ast }$ являютсяконъюгаты ${\textbf {Q}}$ и ${\textbf {Q}}^{0}$соответственно и ${\tilde {\textbf {P}}}$ обозначает однородные координаты точки после перемещения.

Учитывая набор единичных двойных кватернионов и двойных весов ${\hat {\textbf {q}}}_{i},{\hat {w}}_{i};i=0...n$ соответственно,следующее представляет собой рациональную кривую Безье в пространстведвойные кватернионы.

${\hat {\textbf {Q}}}(t)=\sum \limits _{i=0}^{n}{B_{i}^{n}(t){\hat {\textbf {Q}}}_{i}}=\sum \limits _{i=0}^{n}{B_{i}^{n}(t){\hat {w}}_{i}{\hat {\textbf {q}}}_{i}}$

где $B_{i}^{n}(t)$ являются полиномами Бернштейна. Кривая двойственного кватерниона Безье, заданная приведенным выше уравнением, определяет рациональное движение Безьестепень $2n$.

Аналогично, двойная кватернионная кривая B-сплайна, которая определяет NURBSдвижение степени 2 p определяется формулой:

${\hat {\textbf {Q}}}(t)=\sum \limits _{i=0}^{n}{N_{i,p}(t){\hat {\textbf {Q}}}_{i}}=\sum \limits _{i=0}^{n}{N_{i,p}(t){\hat {w}}_{i}{\hat {\textbf {q}}}_{i}}$

где $N_{i,p}(t)$ — базисные функции B-сплайна p -й степени.

Представление рационального движения Безье и рационального движения B-сплайна в декартовом пространстве можно получить, заменив любое из двух предыдущих выражений на ${\hat {\textbf {Q}}}(t)$ в уравнении точечного преобразования. Далее мы будем рассматривать случай рационального движения Безье. Траектория точки, испытывающей рациональное движение Безье, определяется формулой:

${\tilde {\textbf {P}}}^{2n}(t)=[H^{2n}(t)]{\textbf {P}},$

$H^{2n}(t)]=\sum \limits _{k=0}^{2n}{B_{k}^{2n}(t)[H_{k}]},$

где $[H^{2n}(t)]$ это матрицапредставление рационального движения Безье степени $2n$ в декартовом пространстве. Следующие матрицы $[H_{k}]$ (также называемый Управлением БезьеМатрицы) определяют аффинную структуру управления движением:

$[H_{k}]={\frac {1}{C_{k}^{2n}}}\sum \limits _{i+j=k}{C_{i}^{n}C_{j}^{n}w_{i}w_{j}[H_{ij}^{\ast }]},$

где $[H_{ij}^{\ast }]=[H_{i}^{+}][H_{j}^{-}]+[H_{j}^{-}][H_{i}^{0+}]-[H_{i}^{+}][H_{j}^{0-}]+(\alpha _{i}-\alpha _{j})[H_{j}^{-}][Q_{i}^{+}]$.

В приведенных выше уравнениях $C_{i}^{n}$ и $C_{j}^{n}$являются биномиальными коэффициентами и $\alpha _{i}=w_{i}^{0}/w_{i},\alpha _{j}=w_{j}^{0}/w_{j}$ это весовые соотношения и

$[H_{j}^{-}]=\left[{\begin{array}{rrrr}q_{j,4}&-q_{j,3}&q_{j,2}&-q_{j,1}\\q_{j,3}&q_{j,4}&-q_{j,1}&-q_{j,2}\\-q_{j,2}&q_{j,1}&q_{j,4}&-q_{j,3}\\q_{j,1}&q_{j,2}&q_{j,3}&q_{j,4}\\\end{array}}\right],$

$[Q_{i}^{+}]=\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&q_{i,1}\\0&0&0&q_{i,2}\\0&0&0&q_{i,3}\\0&0&0&q_{i,4}\\\end{array}}\right],$

$[H_{i}^{0+}]=\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&q_{i,1}^{0}\\0&0&0&q_{i,2}^{0}\\0&0&0&q_{i,3}^{0}\\0&0&0&q_{i,4}^{0}\\\end{array}}\right],$

$[H_{j}^{0-}]=\left[{\begin{array}{rrrr}0&0&0&-q_{j,1}^{0}\\0&0&0&-q_{j,2}^{0}\\0&0&0&-q_{j,3}^{0}\\0&0&0&q_{j,4}^{0}\\\end{array}}\right],$

$[H_{i}^{+}]=\left[{\begin{array}{rrrr}q_{i,4}&-q_{i,3}&q_{i,2}&q_{i,1}\\q_{i,3}&q_{i,4}&-q_{i,1}&q_{i,2}\\-q_{i,2}&q_{i,1}&q_{i,4}&q_{i,3}\\-q_{i,1}&-q_{i,2}&-q_{i,3}&q_{i,4}\\\end{array}}\right].$

В приведенных выше матрицах $(q_{i,1},q_{i,2},q_{i,3},q_{i,4})$четыре компонента действительной части $({\textbf {q}}_{i})$ и $(q_{i,1}^{0},q_{i,2}^{0},q_{i,3}^{0},q_{i,4}^{0})$ четырекомпоненты двойной части $({\textbf {q}}_{i}^{0})$ подразделениядвойной кватернион $({\hat {\textbf {q}}}_{i})$.

Пример

Чайник при рациональном движении Безье степени 6 с (слева) единичными вещественными массами ( ${\hat {w}}_{i}=1+\epsilon 0;i=0..3$) (справа) неединичные действительные веса ( ${\hat {w}}_{i}=1+\epsilon 0;i=0,3$ и ${\hat {w}}_{i}=4+\epsilon 0;i=1,2$); также показаны аффинные позиции (искаженные), а также заданные контрольные позиции (синим цветом).

См. также

• Кватернион и двойной кватернион
• НУРБС
• Компьютерная анимация
• Робототехника
• Кинематика робота
• Вычислительная геометрия
• с ЧПУ обработка
• Конструкция механизма

Внешние ссылки

• Лаборатория вычислительного проектирования кинематики
• Лаборатория робототехники и пространственных систем (РАССЛ)
• Лаборатория робототехники и автоматизации