Перенос (арифметика)

В элементарной арифметике перенос — это цифра , которая переносится из одного столбца цифр в другой столбец более значащих цифр. Это часть стандартного алгоритма сложения чисел , начиная с самых правых цифр и двигаясь влево. Например, когда 6 и 7 складываются, чтобы получить 13, «3» записывается в тот же столбец, а «1» переносится влево. При использовании вычитания операция называется заимствованием .

особое внимание уделяется переносу В традиционной математике , в то время как учебные программы, основанные на реформаторской математике, не уделяют особого внимания какому-либо конкретному методу поиска правильного ответа. ^{[ нужна ссылка ]}

Перенос также несколько раз встречается в высшей математике. В вычислениях перенос является важной функцией сумматорных схем.

Ручная арифметика [ править ]

Типичным примером переноса является следующее дополнение, выполненное карандашом и бумагой:

  ¹
  27
+ 59
----
  86

7 + 9 = 16, а цифра 1 — это перенос.

Противоположностью является заимствование , как в

 ⁻¹
  47
− 19
----
  28

Здесь 7 − 9 = −2 , поэтому попробуйте (10 − 9) + 7 = 8 и 10 получится, взяв («заимствовав») 1 из следующей цифры слева. Обычно этому обучают двумя способами:

Десятка перемещается со следующей цифры слева, оставляя в этом примере 3 - 1 в столбце десятков. Согласно этому методу, термин «займ» является неправильным , поскольку десять долларов никогда не возвращаются.
Десятка копируется из следующей левой цифры, а затем «возвращается», добавляя ее к вычитаемому в столбце, из которого она была «заимствована», что дает в этом примере 4 - (1 + 1) в столбце десятков.

Математическое образование [ править ]

Традиционно керри преподают путем сложения многозначных чисел во 2-м или в конце первого года обучения в начальной школе. Однако с конца 20-го века многие широко распространенные учебные программы, разработанные в Соединенных Штатах, такие как TERC, пропускали обучение традиционному методу переноса в пользу изобретенных арифметических методов и методов, использующих раскраску, манипуляции и диаграммы. Такие упущения подверглись критике со стороны таких групп, как Mathematically Correct , и с тех пор некоторые штаты и округа отказались от этого эксперимента, хотя он по-прежнему широко используется. ^{[ нужна ссылка ]}

Высшая математика [ править ]

Теорема Куммера утверждает, что количество переносов, участвующих в сложении двух чисел по основанию $p$ равен показателю высшей степени $p$ деления определенного биномиального коэффициента .

Когда добавляются несколько случайных чисел из многих цифр, статистика переносимых цифр обнаруживает неожиданную связь с числами Эйлера и статистикой перестановок при перетасовке . ^[1]^[2]^[3]^[4]

В абстрактной алгебре операцию переноса для двузначных чисел можно формализовать с помощью языка групповых когомологий . ^[5]^[6]^[7] Эта точка зрения может быть применена к альтернативным характеристикам действительных чисел . ^[8]^[9]

Механические калькуляторы [ править ]

Carry представляет собой одну из основных задач, стоящих перед проектировщиками и изготовителями механических калькуляторов . Они сталкиваются с двумя основными трудностями: первая связана с тем, что для переноса может потребоваться изменение нескольких цифр: чтобы прибавить 1 к 999, машина должна увеличить 4 разные цифры. Еще одна проблема заключается в том, что перенос может «развернуться» до того, как следующая цифра завершит операцию сложения.

Большинство механических калькуляторов реализуют перенос, выполняя отдельный цикл переноса после самого сложения. Во время сложения каждый перенос «сигнализируется», а не выполняется, и во время цикла переноса машина увеличивает цифры выше «запущенных» цифр. Эту операцию необходимо выполнять последовательно, начиная с цифры единиц, затем десятков, сотен и т. д., поскольку добавление переноса может привести к созданию нового переноса в следующей цифре.

Некоторые машины, особенно калькулятор Паскаля , второй известный калькулятор, который будет построен, и самый старый из сохранившихся, используют другой метод: приращение цифры от 0 до 9, взведение механического устройства для хранения энергии, и следующее приращение, которое перемещает цифру. от 9 до 0, высвобождает эту энергию для увеличения следующей цифры на 1. Паскаль использовал в своей машине гири и гравитацию. Еще одна известная машина, использующая аналогичный метод, — это весьма успешный комптометр XIX века , в котором гири были заменены пружинами.

Некоторые инновационные машины используют непрерывную передачу: добавление 1 к любой цифре переводит следующую цифру вперед на 1/10 (которая, в свою очередь, продвигает следующую цифру на 1/100 и так далее). Некоторые ранние инновационные калькуляторы, в частности калькулятор Чебышева 1870 года, ^[10] и дизайн от Selling, ^[11] с 1886 года использовали этот метод, но ни один из них не увенчался успехом. В начале 1930-х годов калькулятор Marchant с большим успехом реализовал непрерывную передачу данных, начиная с калькулятора с метким названием «Бесшумная скорость». Марчант (позже ставшая корпорацией SCM ) продолжала использовать и совершенствовать его и производила калькуляторы с непрерывной передачей данных с непревзойденной скоростью до конца 1960-х годов, до конца эры механических калькуляторов.

Вычисление [ править ]

Говоря о цифровой схеме , такой как сумматор, слово « перенос» используется в аналогичном смысле.

В большинстве компьютеров перенос старшего бита арифметической операции (или бита, смещенного в результате операции сдвига) помещается в специальный бит переноса , который можно использовать в качестве переноса для арифметических операций с множественной точностью или протестировать и использовать для контролировать выполнение компьютерной программы . Тот же бит переноса обычно используется для обозначения заимствований при вычитании, хотя значение бита инвертируется из-за эффектов арифметики с дополнением до двух . Обычно значение бита переноса «1» означает, что сложение переполнило ALU , и это необходимо учитывать при добавлении слов данных, длина которых превышает длину ЦП. Для вычитающих операций используются два (противоположных) соглашения, поскольку большинство машин устанавливают флаг переноса при заимствовании, в то время как некоторые машины (например, 6502 и PIC) вместо этого сбрасывают флаг переноса при заимствовании (и наоборот).

Ссылки [ править ]

^ Холт, Джон М. (февраль 1997 г.), «Кэрри, комбинаторика и удивительная матрица», The American Mathematical Monthly , 104 (2): 138–149, doi : 10.2307/2974981 , JSTOR 2974981
^ Диаконис, Персия ; Фулман, Джейсон (август 2009 г.), «Переносы, перетасовка и симметричные функции», Advance in Applied Mathematics , 43 (2): 176–196, arXiv : 0902.0179 , doi : 10.1016/j.aam.2009.02.002
^ Бородин Алексей ; Диаконис, Персия ; Фулман, Джейсон (октябрь 2010 г.), «О добавлении списка чисел (и других детерминантных процессов, зависящих от одного)», Бюллетень Американского математического общества , 47 (4): 639–670, arXiv : 0904.3740 , doi : 10.1090/ S0273-0979-2010-01306-9
^ Накано, Фумихико; Садахиро, Тайзо (февраль 2014 г.), «Обобщение процессов переноса и эйлеровых чисел», Успехи в прикладной математике , 53 : 28–43, doi : 10.1016/j.aam.2013.09.005
^ Хегланд, М.; Уилер, WW (январь 1997 г.), «Линейные биекции и быстрое преобразование Фурье», Применимая алгебра в технике, коммуникациях и вычислениях , 8 (2): 143–163, doi : 10.1007/s002000050059 , S2CID 17603981
^ Исаксен, Дэниел К. (ноябрь 2002 г.), «Когомологическая точка зрения на арифметику начальной школы» (PDF) , The American Mathematical Monthly , 109 (9): 796–805, doi : 10.2307/3072368 , JSTOR 3072368 , заархивировано из оригинала (PDF) 16 января 2014 г. , получено 22 января 2014 г.
^ Боровик, Александр В. (2010), Математика под микроскопом: заметки о когнитивных аспектах математической практики , AMS , стр. 87–88, ISBN 978-0-8218-4761-9
^ Метрополис, Северная Каролина ; Джан-Карло, Рота ; Тэнни, С. (май 1973 г.), «Значительная арифметика: алгоритм переноса», Журнал комбинаторной теории , серия A, 14 (3): 386–421, doi : 10.1016/0097-3165(73)90013-7
^ Фалтин, Ф.; Метрополис, Северная Каролина ; Росс, Б.; Рота, Г.-К. (июнь 1975 г.), «Действительные числа как сплетение», Успехи в математике , 16 (3): 278–304, doi : 10.1016/0001-8708(75)90115-2
^ Рогель, Денис (2015). «Счетная машина непрерывного действия Чебышева» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 9 августа 2017 г.
^ Эрнст, Мартин (1925). Счетные машины (PDF) . Институт Чарльза Бэббиджа. п. 96.

Внешние ссылки [ править ]

[1] Холт, Джон М. (февраль 1997 г.), «Кэрри, комбинаторика и удивительная матрица», The American Mathematical Monthly , 104 (2): 138–149, doi : 10.2307/2974981 , JSTOR 2974981

[2] Диаконис, Персия ; Фулман, Джейсон (август 2009 г.), «Переносы, перетасовка и симметричные функции», Advance in Applied Mathematics , 43 (2): 176–196, arXiv : 0902.0179 , doi : 10.1016/j.aam.2009.02.002

[3] Бородин Алексей ; Диаконис, Персия ; Фулман, Джейсон (октябрь 2010 г.), «О добавлении списка чисел (и других детерминантных процессов, зависящих от одного)», Бюллетень Американского математического общества , 47 (4): 639–670, arXiv : 0904.3740 , doi : 10.1090/ S0273-0979-2010-01306-9

[4] Накано, Фумихико; Садахиро, Тайзо (февраль 2014 г.), «Обобщение процессов переноса и эйлеровых чисел», Успехи в прикладной математике , 53 : 28–43, doi : 10.1016/j.aam.2013.09.005

[5] Хегланд, М.; Уилер, WW (январь 1997 г.), «Линейные биекции и быстрое преобразование Фурье», Применимая алгебра в технике, коммуникациях и вычислениях , 8 (2): 143–163, doi : 10.1007/s002000050059 , S2CID 17603981

[6] Исаксен, Дэниел К. (ноябрь 2002 г.), «Когомологическая точка зрения на арифметику начальной школы» (PDF) , The American Mathematical Monthly , 109 (9): 796–805, doi : 10.2307/3072368 , JSTOR 3072368 , заархивировано из оригинала (PDF) 16 января 2014 г. , получено 22 января 2014 г.

[7] Боровик, Александр В. (2010), Математика под микроскопом: заметки о когнитивных аспектах математической практики , AMS , стр. 87–88, ISBN 978-0-8218-4761-9

[8] Метрополис, Северная Каролина ; Джан-Карло, Рота ; Тэнни, С. (май 1973 г.), «Значительная арифметика: алгоритм переноса», Журнал комбинаторной теории , серия A, 14 (3): 386–421, doi : 10.1016/0097-3165(73)90013-7

[9] Фалтин, Ф.; Метрополис, Северная Каролина ; Росс, Б.; Рота, Г.-К. (июнь 1975 г.), «Действительные числа как сплетение», Успехи в математике , 16 (3): 278–304, doi : 10.1016/0001-8708(75)90115-2

[10] Рогель, Денис (2015). «Счетная машина непрерывного действия Чебышева» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 9 августа 2017 г.

[11] Эрнст, Мартин (1925). Счетные машины (PDF) . Институт Чарльза Бэббиджа. п. 96.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]