1 + 2 + 4 + 8 + ⋯

Первые четыре частичные суммы 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯.

В математике , 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ — это бесконечный ряд членами которого являются последовательные степени двойки . Как геометрический ряд , он характеризуется своим первым членом 1 и общим отношением 2. Как ряд действительных чисел он расходится к бесконечности , поэтому сумма этого ряда равна бесконечности.

Однако им можно манипулировать, чтобы получить ряд математически интересных результатов. Например, в математике многие методы суммирования используются для присвоения числовых значений даже расходящимся рядам. Например, сумма Рамануджана этого ряда равна −1, что является пределом ряда с использованием 2-адической метрики .

Суммирование

Частичные суммы $1+2+4+8+\cdots$ являются $1,3,7,15,\ldots ;$ поскольку они расходятся до бесконечности, то же самое происходит и с рядом. $$2^{0}+2^{1}+\cdots +2^{k}=2^{k+1}-1$$

Это написано как

$\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}$

Следовательно, любой вполне регулярный метод суммирования дает сумму бесконечности, включая сумму Чезаро и сумму Абеля . С другой стороны, существует по крайней мере один вообще полезный метод, который суммирует $1+2+4+8+\cdots$ до конечного значения −1. Соответствующий степенной ряд $$f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}$$ имеет радиус сходимости около 0 всего ${\frac {1}{2}}$ поэтому он не сходится в $x=1.$ Тем не менее, так определенная функция $f$ имеет единственное аналитическое продолжение на комплексную плоскость с точкой $x={\frac {1}{2}}$ удалено, и оно дается по тому же правилу $f(x)={\frac {1}{1-2x}}.$ С $f(1)=-1,$ оригинальная серия $1+2+4+8+\cdots$ называется суммируемым ( E ) до −1, а −1 — это (E) сумма ряда. (Это обозначение принадлежит Г.Х. Харди в связи с Леонарда Эйлера к расходящимся рядам.) подходом

Почти идентичный подход (тот, который использовал сам Эйлер) заключается в рассмотрении степенного ряда, все коэффициенты которого равны 1, то есть $$1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}$$ и подключение $y=2.$ Эти два ряда связаны заменой $y=2x.$

Тот факт, что суммирование (E) присваивает конечному значению $1+2+4+8+\cdots$ показывает, что общий метод не вполне регулярен. С другой стороны, он обладает некоторыми другими желательными качествами для метода суммирования, включая стабильность и линейность. Эти последние две аксиомы фактически заставляют сумму равняться -1, поскольку они делают следующие манипуляции действительными:

${\begin{array}{rcl}s&=&\displaystyle 1+2+4+8+16+\cdots \\&=&\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots )\\&=&\displaystyle 1+2s\end{array}}$

В полезном смысле, $s=\infty$ является корнем уравнения $s=1+2s.$ (Например, $\infty$ является одной из двух неподвижных точек преобразования Мёбиуса $z\mapsto 1+2z$ на сфере Римана ). Если известно, что какой-то метод суммирования возвращает обычное число для $s$; то есть не $\infty ,$ тогда это легко определяется. В этом случае $s$ можно вычесть из обеих частей уравнения, получив $0=1+s,$ так $s=-1.$

Вышеупомянутая манипуляция может быть использована для получения −1 вне контекста достаточно мощной процедуры суммирования. Для наиболее известных и простых понятий сумм, включая фундаментальную конвергентную концепцию, абсурдно, что ряд положительных членов может иметь отрицательное значение. Аналогичное явление происходит с расходящимися геометрическими рядами $1-1+1-1+\cdots$ ( ряд Гранди ), где ряд целых чисел имеет нецелую сумму ${\frac {1}{2}}.$ Эти примеры иллюстрируют потенциальную опасность применения подобных аргументов к рядам, подразумеваемым такими повторяющимися десятичными дробями, как $0.111\ldots$ и особенно $0.999\ldots$. Аргументы в конечном итоге оправданы для этих сходящихся рядов, подразумевая, что $0.111\ldots ={\frac {1}{9}}$ и $0.999\ldots =1,$ но лежащие в основе доказательства требуют тщательного обдумывания интерпретации бесконечных сумм.

Также можно рассматривать этот ряд как сходящийся в системе счисления, отличной от действительных чисел, а именно в 2-адических числах . Как ряд 2-адических чисел этот ряд сходится к той же сумме −1, которая была получена выше путем аналитического продолжения.

См. также

• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯
• 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ (серия Гранди)
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
• Дополнение до двух — соглашение о данных для представления отрицательных чисел, где −1 представляется так, как если бы оно было 1 + 2 + 4 + ⋯ + 2. ^{п -1} .

Ссылки

• Эйлер, Леонард (1760). «О расходящихся рядах» . Новые комментарии Петрополитанской академии наук . 5 : 205–237.
• Гардинер, А. (2002) [1982]. Понимание бесконечности: математика бесконечных процессов (изд. Дувра). Дувр. ISBN  0-486-42538-Х .
• Харди, GH (1949). Дивергентный сериал . Кларендон Пресс. LCC   QA295 .H29 1967 .

Дальнейшее чтение

• Барбо, Э.Дж.; Лия, Пи Джей (май 1976 г.). «Статья Эйлера 1760 года о расходящихся рядах» . История Математики . 3 (2): 141–160. дои : 10.1016/0315-0860(76)90030-6 .
• Ферраро, Джованни (2002). «Сходимость и формальное манипулирование рядами от истоков исчисления до примерно 1730 года». Анналы науки . 59 (2): 179–199. дои : 10.1080/00033790010028179 . S2CID   143992318 .
• Клайн, Моррис (ноябрь 1983 г.). «Эйлер и бесконечный ряд». Журнал «Математика» . 56 (5): 307–314. дои : 10.2307/2690371 . JSTOR   2690371 .
• Сандифер, Эд (июнь 2006 г.). «Дивергентный сериал» (PDF) . Как Эйлер это сделал . МАА Онлайн. Архивировано из оригинала (PDF) 20 марта 2013 г. Проверено 17 февраля 2007 г.
• Серпинская, Анна (ноябрь 1987 г.). «Студенты-гуманитарии и эпистемологические препятствия, связанные с ограничениями». Образовательные исследования по математике . 18 (4): 371–396. дои : 10.1007/BF00240986 . JSTOR   3482354 . S2CID   144880659 .