1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯

Информацию о соответствующей альтернативной частичной сумме факториалов см. в разделе Альтернативный факториал .

В математике,

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!$

— расходящийся ряд , впервые рассмотренный Эйлером , который суммирует факториалы натуральных чисел с чередующимися знаками. ему можно присвоить значение примерно 0,596347 Несмотря на расхождение, с помощью суммирования по Борелю .

Суммирование Эйлера и Бореля

Этот ряд был впервые рассмотрен Эйлером , который применил методы суммирования , чтобы присвоить ряду конечное значение. Ряд представляет собой сумму факториалов , которые поочередно складываются и вычитаются. Один из способов присвоить значение этому расходящемуся ряду — использовать суммирование по Борелю , где формально пишут

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k}e^{-x}\,dx.$

Если суммирование и интегрирование поменяны местами (игнорируя тот факт, что ни одна из сторон не сходится), получим:

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }\left[\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}\right]e^{-x}\,dx.$

Сумма в квадратных скобках сходится, когда $|x|<1$, и для этих значений равно ${\tfrac {1}{1+x}}$. Аналитическое продолжение ​ ${\tfrac {1}{1+x}}$ всем позитивным, настоящим $x$ приводит к сходящемуся интегралу для суммирования:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}\,dx\\[4pt]&=eE_{1}(1)\approx 0.596\,347\,362\,323\,194\,074\,341\,078\,499\,369\ldots \end{aligned}}$

где E1 _. ( z ) – интеграл экспоненциальный По определению это борелевская сумма ряда, равная константе Гомпертца .

Связь с дифференциальными уравнениями

Рассмотрим связанную систему дифференциальных уравнений

${\dot {x}}(t)=x(t)-y(t),\qquad {\dot {y}}(t)=-y(t)^{2}$

где точки обозначают производные по t .

Решение с устойчивым равновесием при ( x , y ) = (0,0) при t → ∞ имеет y ( t ) = ⁠ 1 / t ⁠ и подстановка его в первое уравнение дает формальное решение ряда

$x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {(n-1)!}{t^{n}}}$

Заметьте, что x (1) — это в точности ряд Эйлера.

С другой стороны, система дифференциальных уравнений имеет решение

$x(t)=e^{t}\int _{t}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u}}\,du.$

Путем последовательного интегрирования по частям формальный степенной ряд восстанавливается как асимптотическая аппроксимация этого выражения для x ( t ). Эйлер утверждает (более или менее), что, поскольку формальный ряд и интеграл описывают одно и то же решение дифференциальных уравнений, они должны равняться друг другу при $t=1$, давая

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n-1)!=e\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u}}\,du.$

См. также

• Переменный факториал
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
• 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ (Большие)
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯

Дальнейшее чтение

• Клайн, Моррис (ноябрь 1983 г.), «Эйлер и бесконечные ряды», Mathematics Magazine , 56 (5): 307–313, CiteSeerX   10.1.1.639.6923 , doi : 10.2307/2690371 , JSTOR   2690371
• Козлов, В.В. (2007), «Эйлер и математические методы в механике» (PDF) , Российский математический обзор , 62 (4): 639–661, Bibcode : 2007RuMaS..62..639K , doi : 10.1070/rm2007v062n04abeh004427 , S2CID   250892576
• Лия, Пи Джей; Барбо, EJ (май 1976 г.), «Статья Эйлера 1760 года о расходящихся рядах», Historia Mathematica , 3 (2): 141–160, doi : 10.1016/0315-0860(76)90030-6