постоянная Гомпертца

В математике или константа Гомпертца константа Эйлера–Гомпертца , обозначаемая $\delta$, появляется в интегральных вычислениях и как значение специальных функций . Он назван в честь Бенджамина Гомпертца .

Его можно определить с помощью цепной дроби

$\delta ={\frac {1}{2-{\frac {1}{4-{\frac {4}{6-{\frac {9}{{8-\qquad \qquad } \atop {\qquad }{}^{\ddots }{-{\frac {n^{2}}{2n+2-\dots }}}}}}}}}}},$

или, альтернативно, с помощью

$\delta =1-{\frac {1}{3-{\frac {2}{5-{\frac {6}{7-{\frac {12}{{9-\qquad \qquad } \atop {\qquad }{}^{\ddots }{-{\frac {n(n+1)}{2n+3-\dots }}}}}}}}}}}$

или

$\delta ={\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {2}{1+{\frac {2}{1+{\frac {3}{1+{\frac {3}{1+{\frac {4}{1+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}.$

Наиболее частое появление $\delta$ находится в следующих интегралах:

$\delta =\int _{0}^{\infty }\ln(1+x)e^{-x}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}dx=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-\ln(x)}}dx.$

Первый интеграл определяет $\delta$, а второе и третье следуют из интегрирования частей и замены переменной соответственно. Числовое значение $\delta$ около

$\delta =0.596347362323194074341078499369279376074\dots$

Когда Эйлер изучал расходящиеся бесконечные ряды, он столкнулся с $\delta$посредством, например, приведенных выше интегральных представлений. Ле Лионне позвонил $\delta$ константа Гомпертца из-за ее роли в анализе выживания . Суммирование отрицательных целых значений гамма-функции с альтернативными отрицательными знаками до бесконечности дает константу Эйлера-Гомпертца. С(0) - С(-1) + С(-2) - С(-3) +...... = $\delta =0.596347362323194074341078499369279376074\dots$

В 2009 году Александр Аптекарев доказал, что по крайней мере одна из констант Эйлера-Машерони и константы Эйлера-Гомпертца иррациональна . Этот результат был улучшен в 2012 году Танги Ривоалем, где он доказал, что по крайней мере один из них трансцендентален .

Гомпертца

Константа $\delta$ может быть выражено экспоненциальным интегралом как

$\delta =-e\operatorname {Ei} (-1).$

Применяя разложение Тейлора $\operatorname {Ei}$ у нас есть представление серии

$\delta =-e\left(\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n\cdot n!}}\right).$

Константа Гомпертца связана с коэффициентами Грегори через формулу И. Мезё 2013 года:

$\delta =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\ln(n+1)}{n!}}-\sum _{n=0}^{\infty }C_{n+1}\{e\cdot n!\}-{\frac {1}{2}}.$

Сумма чередующихся факториалов

Константа Гомпертца также является регуляризованным значением. из следующего расходящегося ряда :

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=1-1+2-6+24-120+\ldots$

Внешние ссылки

• Вольфрам MathWorld
• запись OEIS