Коэффициенты Грегори

Коэффициенты Грегори $G n$ , также известные как обратные логарифмические числа , числа Бернулли второго рода или числа Коши первого рода , ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]рациональные числа которые происходят при в ряд Маклорена разложении обратного логарифма

{\begin{aligned}{\frac {z}{\ln(1+z)}}&=1+{\frac {1}{2}}z-{\frac {1}{12}}z^{2}+{\frac {1}{24}}z^{3}-{\frac {19}{720}}z^{4}+{\frac {3}{160}}z^{5}-{\frac {863}{60480}}z^{6}+\cdots \\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }G_{n}z^{n}\,,\qquad |z|<1\,.\end{aligned}}

Коэффициенты Грегори чередуются $G n = (-1) п -1 | г н |$ для $n > 0$ и уменьшается по абсолютной величине. Эти числа названы в честь Джеймса Грегори , который представил их в 1670 году в контексте численного интегрирования. Впоследствии они были заново открыты многими математиками и часто появляются в работах современных авторов, которые не всегда их признают. ^[1]^[5]^[14]^[15]^[16]^[17]

Числовые значения [ править ]

$н$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$...$	OEIS Последовательности
$Г н$	$+ .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 / 2$	$- 1 / 12$	$+ 1 / 24$	$- 19 / 720$	$+ 3 / 160$	$- 863 / 60480$	$+ 275 / 24192$	$- 33953 / 3628800$	$+ 8183 / 1036800$	$- 3250433 / 479001600$	$+ 4671 / 788480$	$...$	OEIS : A002206 (числители), OEIS : A002207 (знаменатели)

Расчеты и представления [ править ]

Самый простой способ вычислить коэффициенты Грегори — использовать рекуррентную формулу

|G_{n}|=-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {|G_{k}|}{n+1-k}}+{\frac {1}{n+1}}

с $G 1 = 1 / 2$ . ^[14]^[18] Коэффициенты Грегори также могут быть вычислены явно с помощью следующего дифференциала

n!G_{n}=\left[{\frac {{\textrm {d}}^{n}}{{\textrm {d}}z^{n}}}{\frac {z}{\ln(1+z)}}\right]_{z=0},

или интеграл

G_{n}={\frac {1}{n!}}\int _{0}^{1}x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)\,dx=\int _{0}^{1}{\binom {x}{n}}\,dx,

что можно доказать интегрированием $(1+z)^{x}$ между 0 и 1 относительно $x$ , один раз напрямую, а второй раз сначала с использованием разложения в биномиальный ряд .

Отсюда следует конечная формула суммирования

n!G_{n}=\sum _{\ell =0}^{n}{\frac {s(n,\ell )}{\ell +1}},

где $s (n, ℓ)$ — знаковые числа Стирлинга первого рода .

и Шредера интегральная формула ^[19]^[20]

G_{n}=(-1)^{n-1}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x)^{n}(\ln ^{2}x+\pi ^{2})}},

и поведение асимптотическое Границы

Коэффициенты Грегори удовлетворяют границам

{\frac {1}{6n(n-1)}}<{\big |}G_{n}{\big |}<{\frac {1}{6n}},\qquad n>2,

предоставлено Йоханом Стеффенсеном . ^[15]Позднее эти границы были улучшены различными авторами. Наиболее известные оценки для них дал Благушин. ^[17] В частности,

{\frac {\,1\,}{\,n\ln ^{2}\!n\,}}\,-\,{\frac {\,2\,}{\,n\ln ^{3}\!n\,}}\leqslant \,{\big |}G_{n}{\big |}\,\leqslant \,{\frac {\,1\,}{\,n\ln ^{2}\!n\,}}-{\frac {\,2\gamma \,}{\,n\ln ^{3}\!n\,}}\,,\qquad \quad n\geqslant 5\,.

Асимптотически при больших индексах $n$ эти числа ведут себя как ^[2]^[17]^[19]

{\big |}G_{n}{\big |}\sim {\frac {1}{n\ln ^{2}n}},\qquad n\to \infty .

Более точное описание $G n$ при большом $n$ можно найти в работах Ван Вина, ^[18] Дэвис, ^[3] Коффи, ^[21] Благородный ^[6] and Blagouchine. ^[17]

с Грегори Ряд коэффициентами

Ряды с коэффициентами Грегори часто можно рассчитывать в замкнутой форме. Базовые серии с этими номерами включают

{\begin{aligned}&\sum _{n=1}^{\infty }{\big |}G_{n}{\big |}=1\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }G_{n}={\frac {1}{\ln 2}}-1\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n}}=\gamma ,\end{aligned}}

где $γ = 0,5772156649...$ — постоянная Эйлера . Эти результаты очень старые, и их историю можно проследить до работ Грегорио Фонтаны и Лоренцо Маскерони . ^[17]^[22]Более сложные ряды с коэффициентами Грегори рассчитывались разными авторами. Коваленко, ^[8] Алабдулмохсин ^[10]^[11] и некоторые другие авторы подсчитали

{\begin{array}{l}\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-1}}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\ln 2\pi }{2}}-{\frac {\gamma }{2}}\\[6mm]\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\!{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+1}}=1-\ln 2.\end{array}}

Алабдулмохсин ^[10]^[11] также дает эти тождества с

{\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}({\big |}G_{3n+1}{\big |}+{\big |}G_{3n+2}{\big |})={\frac {\sqrt {3}}{\pi }}\\[2mm]&\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}({\big |}G_{3n+2}{\big |}+{\big |}G_{3n+3}{\big |})={\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }}-1\\[2mm]&\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}({\big |}G_{3n+3}{\big |}+{\big |}G_{3n+4}{\big |})={\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{\pi }}.\end{aligned}}

Кандельпергер, Коппо ^[23]^[24] и молодой ^[7] показало, что

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}\cdot H_{n}}{n}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1,

где $H n$ — номера гармоник . Благоушин ^[17]^[25]^[26]^[27] предоставляет следующие идентификаторы

{\begin{aligned}&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {G_{n}}{n}}=\operatorname {li} (2)-\gamma \\[2mm]&\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-2}}=-{\frac {1}{8}}+{\frac {\ln 2\pi }{12}}-{\frac {\zeta '(2)}{\,2\pi ^{2}}}\\[2mm]&\sum _{n=4}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-3}}=-{\frac {1}{16}}+{\frac {\ln 2\pi }{24}}-{\frac {\zeta '(2)}{4\pi ^{2}}}+{\frac {\zeta (3)}{8\pi ^{2}}}\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+2}}={\frac {1}{2}}-2\ln 2+\ln 3\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+3}}={\frac {1}{3}}-5\ln 2+3\ln 3\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+k}}={\frac {1}{k}}+\sum _{m=1}^{k}(-1)^{m}{\binom {k}{m}}\ln(m+1)\,,\qquad k=1,2,3,\ldots \\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n^{2}}}=\int _{0}^{1}{\frac {-\operatorname {li} (1-x)+\gamma +\ln x}{x}}\,dx\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {G_{n}}{n^{2}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {li} (1+x)-\gamma -\ln x}{x}}\,dx,\end{aligned}}

где $li(z)$ — интегральный логарифм и ${\tbinom {k}{m}}$ – биномиальный коэффициент . Также известно, что дзета-функция , гамма-функция , полигамма-функции , константы Стилтьеса и многие другие специальные функции и константы могут быть выражены через бесконечные ряды, содержащие эти числа. ^[1]^[17]^[18]^[28]^[29]

Обобщения [ править ]

Для коэффициентов Грегори возможны различные обобщения. Многие из них могут быть получены путем модификации родительского порождающего уравнения. Например, Ван Вин ^[18] учитывать

\left({\frac {\ln(1+z)}{z}}\right)^{s}=s\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}K_{n}^{(s)}\,,\qquad |z|<1\,,

и поэтому

n!G_{n}=-K_{n}^{(-1)}

Эквивалентные обобщения были позже предложены Коваленко. ^[9] и Рубинштейн. ^[30] Аналогичным образом коэффициенты Грегори связаны с обобщенными числами Бернулли.

\left({\frac {t}{e^{t}-1}}\right)^{s}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{k!}}B_{k}^{(s)},\qquad |t|<2\pi \,,

видеть, ^[18]^[28] так что

n!G_{n}=-{\frac {B_{n}^{(n-1)}}{n-1}}

Иордания ^[1]^[16]^[31] определяет полиномы $ψ n (s)$ такие, что

{\frac {z(1+z)^{s}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(s)\,,\qquad |z|<1\,,

и назовем их полиномами Бернулли второго рода . Из сказанного выше ясно, что $G n = ψ n (0)$ . Карлитц ^[16] обобщил полиномы Жордана $ψ n (s)$ , введя многочлены $β$

\left({\frac {z}{\ln(1+z)}}\right)^{s}\!\!\cdot (1+z)^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\,\beta _{n}^{(s)}(x)\,,\qquad |z|<1\,,

и поэтому

n!G_{n}=\beta _{n}^{(1)}(0)

Blagouchine ^[17]^[32] введены числа $Gn что (k)$ такие,

n!G_{n}(k)=\sum _{\ell =1}^{n}{\frac {s(n,\ell )}{\ell +k}},

получили их производящую функцию и изучили их асимптотику при больших $n$ . Очевидно, $G n = G n (1)$ . Эти числа строго чередуются $G n (k) = (-1) п -1 | г п (k)|$ и участвует в различных разложениях дзета -функций , константы Эйлера и полигамма-функций . Другое обобщение того же рода было предложено Комацу. ^[31]

c_{n}^{(k)}=\sum _{\ell =0}^{n}{\frac {s(n,\ell )}{(\ell +1)^{k}}},

так $Gn = cn что (1) / н!$ Числа $с н (к)$ названы автором поли-числами Коши . ^[31] Коффи ^[21] определяет полиномы

P_{n+1}(y)={\frac {1}{n!}}\int _{0}^{y}x(1-x)(2-x)\cdots (n-1-x)\,dx

и поэтому $| г н | знак равно п п +1 (1)$ .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Ч. Иордания. Исчисление конечных разностей. Издательство «Челси», США, 1947 год.
^ Перейти обратно: ^а ^б Л. Конте. Продвинутая комбинаторика (2-е изд.) Издательство Д. Рейделя, Бостон, США, 1974.
^ Перейти обратно: ^а ^б ХТ Дэвис. Приближение логарифмических чисел . амер. Математика. Ежемесячно, вып. 64, нет. 8, стр. 11–18, 1957.
^ ПК Стампер. Таблица коэффициентов Грегори . Математика. Комп. том. 20, с. 465, 1966.
^ Перейти обратно: ^а ^б Д. Мерлини, Р. Спруньоли, М. К. Верри. Числа Коши . Дискретная математика., вып. 306, стр. 1906–1920, 2006.
^ Перейти обратно: ^а ^б Г. Немес. Асимптотическое разложение чисел Бернулли второго рода . J. Integer Seq, vol. 14, 11.4.8, 2011
^ Перейти обратно: ^а ^б П. Т. Янг. 2-адическая формула для чисел Бернулли второго рода и чисел Нёрлунда . Дж. Теория чисел, том. 128, стр. 2951–2962, 2008.
^ Перейти обратно: ^а ^б В. Коваленко. Свойства и применение чисел обратного логарифма . Действующее приложение. Матем., вып. 109, стр. 413–437, 2010.
^ Перейти обратно: ^а ^б В. Коваленко. Обобщение обратных логарифмов чисел путем адаптации метода разделения для разложения в степенной ряд . Действующее приложение. Матем., вып. 106, стр. 369–420, 2009.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ИМ Алабдулмохсин. Исчисление суммируемости , arXiv:1209.5739, 2012.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ИМ Алабдулмохсин. Исчисление суммируемости: комплексная теория дробных конечных сумм , Springer International Publishing, 2018.
^ Ф. Ци и X.-J. Чжан Интегральное представление, некоторые неравенства и полная монотонность чисел Бернулли второго рода . Бык. Корейская математика. Соц., вып. 52, нет. 3, стр. 987–98, 2015.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Логарифмическое число». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.
^ Перейти обратно: ^а ^б Джей Си Клюйвер. Постоянные и натуральные числа Эйлера . Учеб. К. Нед. Акад. Мокрый., вып. 27 (1-2), 1924.
^ Перейти обратно: ^а ^б Дж. Ф. Стеффенсен. Интерполяция (2-е изд.). Издательство «Челси», Нью-Йорк, США, 1950 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Л. Карлитц. Замечание о полиномах Бернулли и Эйлера второго рода . Scripta Math., vol. 25, стр. 323–330, 1961.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час Я.В. Благоушин. Два разложения в ряд для логарифма гамма-функции, включающие числа Стирлинга и содержащие только рациональные коэффициенты для определенных аргументов, связанных с $π$ ⁻¹. Дж. Математика. Анальный. Приложение, 2015.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это СК Ван Вин. Асимптотическое разложение обобщенных чисел Бернулли B _n^{( п - 1)} для больших значений n ( n целое число) . Индаг. Математика. (Метр.), т. 1, с. 13, стр. 335–341, 1951.
^ Перейти обратно: ^а ^б И. В. Благоушин, Замечание о некоторых недавних результатах для чисел Бернулли второго рода, Журнал целочисленных последовательностей, Vol. 20, № 3 (2017), статья 17.3.8 arXiv:1612.03292
^ Эрнст Шредер, Журнал математики и физики, том. 25, стр. 106–117 (1880).
^ Перейти обратно: ^а ^б М.В. Коффи. Рядовые представления констант Стилтьеса . Rocky Mountain J. Math., vol. 44, стр. 443–477, 2014.
^ Я.В. Благоушин. Теорема для вычисления в замкнутой форме первой обобщенной константы Стилтьеса при рациональных аргументах и некоторые связанные с ней суммирования. J. Number Theory, vol. 148, стр. 537–592 и том. 151, стр. 276–277, 2015.
^ Б. Кандельпергер и М.-А. Коппо. Новый класс тождеств, включающий числа Коши, гармонические числа и значения дзета . Рамануджан Дж., вып. 27, стр. 305–328, 2012.
^ Б. Кандельпергер и М.-А. Коппо. Новый класс тождеств, включающий числа Коши, гармонические числа и значения дзета . Рамануджан Дж., вып. 27, стр. 305–328, 2012 г.
^ ОЭИС : A269330
^ ОЭИС : A270857
^ ОЭИС : A270859
^ Перейти обратно: ^а ^б Н. Нёрлунд. Лекции по разностному исчислению . Шпрингер, Берлин, 1924 г.
^ Я.В. Благоушин. Разложения обобщенных констант Эйлера в ряд по полиномам от $π$ ⁻²и в формальный обертывающий ряд только с рациональными коэффициентами. J. Number Theory, vol. 158, стр. 365–396, 2016.
^ М.О. Рубинштейн. Тождества для дзета-функции Римана Рамануджан Дж., вып. 27, стр. 29–42, 2012.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Такао Комацу. О числах поли-Коши и полиномах , 2012.
^ Я.В. Благоушин. Три заметки о представлениях Сера и Хассе для целых чисел дзета-функций (Электронный журнал комбинаторной теории чисел), том. 18A, статья № A3, стр. 1–45, 2018 г. arXiv:1606.02044.

[jrdn-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Ч. Иордания. Исчисление конечных разностей. Издательство «Челси», США, 1947 год.

[cmt1-2] Перейти обратно: ^а ^б Л. Конте. Продвинутая комбинаторика (2-е изд.) Издательство Д. Рейделя, Бостон, США, 1974.

[davis-3] Перейти обратно: ^а ^б ХТ Дэвис. Приближение логарифмических чисел . амер. Математика. Ежемесячно, вып. 64, нет. 8, стр. 11–18, 1957.

[4] ПК Стампер. Таблица коэффициентов Грегори . Математика. Комп. том. 20, с. 465, 1966.

[merl-5] Перейти обратно: ^а ^б Д. Мерлини, Р. Спруньоли, М. К. Верри. Числа Коши . Дискретная математика., вып. 306, стр. 1906–1920, 2006.

[nemes-6] Перейти обратно: ^а ^б Г. Немес. Асимптотическое разложение чисел Бернулли второго рода . J. Integer Seq, vol. 14, 11.4.8, 2011

[young-7] Перейти обратно: ^а ^б П. Т. Янг. 2-адическая формула для чисел Бернулли второго рода и чисел Нёрлунда . Дж. Теория чисел, том. 128, стр. 2951–2962, 2008.

[kowa1-8] Перейти обратно: ^а ^б В. Коваленко. Свойства и применение чисел обратного логарифма . Действующее приложение. Матем., вып. 109, стр. 413–437, 2010.

[kowa2-9] Перейти обратно: ^а ^б В. Коваленко. Обобщение обратных логарифмов чисел путем адаптации метода разделения для разложения в степенной ряд . Действующее приложение. Матем., вып. 106, стр. 369–420, 2009.

[Alab1-10] Перейти обратно: ^а ^б ^с ИМ Алабдулмохсин. Исчисление суммируемости , arXiv:1209.5739, 2012.

[Alab2-11] Перейти обратно: ^а ^б ^с ИМ Алабдулмохсин. Исчисление суммируемости: комплексная теория дробных конечных сумм , Springer International Publishing, 2018.

[12] Ф. Ци и X.-J. Чжан Интегральное представление, некоторые неравенства и полная монотонность чисел Бернулли второго рода . Бык. Корейская математика. Соц., вып. 52, нет. 3, стр. 987–98, 2015.

[13] Вайсштейн, Эрик В. «Логарифмическое число». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.

[klvr-14] Перейти обратно: ^а ^б Джей Си Клюйвер. Постоянные и натуральные числа Эйлера . Учеб. К. Нед. Акад. Мокрый., вып. 27 (1-2), 1924.

[stef1-15] Перейти обратно: ^а ^б Дж. Ф. Стеффенсен. Интерполяция (2-е изд.). Издательство «Челси», Нью-Йорк, США, 1950 г.

[car-16] Перейти обратно: ^а ^б ^с Л. Карлитц. Замечание о полиномах Бернулли и Эйлера второго рода . Scripta Math., vol. 25, стр. 323–330, 1961.

[blag1-17] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час Я.В. Благоушин. Два разложения в ряд для логарифма гамма-функции, включающие числа Стирлинга и содержащие только рациональные коэффициенты для определенных аргументов, связанных с $π$ ⁻¹. Дж. Математика. Анальный. Приложение, 2015.

[vveen-18] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это СК Ван Вин. Асимптотическое разложение обобщенных чисел Бернулли B _n^{( п - 1)} для больших значений n ( n целое число) . Индаг. Математика. (Метр.), т. 1, с. 13, стр. 335–341, 1951.

[blag5-19] Перейти обратно: ^а ^б И. В. Благоушин, Замечание о некоторых недавних результатах для чисел Бернулли второго рода, Журнал целочисленных последовательностей, Vol. 20, № 3 (2017), статья 17.3.8 arXiv:1612.03292

[20] Эрнст Шредер, Журнал математики и физики, том. 25, стр. 106–117 (1880).

[cfy-21] Перейти обратно: ^а ^б М.В. Коффи. Рядовые представления констант Стилтьеса . Rocky Mountain J. Math., vol. 44, стр. 443–477, 2014.

[blag2-22] Я.В. Благоушин. Теорема для вычисления в замкнутой форме первой обобщенной константы Стилтьеса при рациональных аргументах и некоторые связанные с ней суммирования. J. Number Theory, vol. 148, стр. 537–592 и том. 151, стр. 276–277, 2015.

[23] Б. Кандельпергер и М.-А. Коппо. Новый класс тождеств, включающий числа Коши, гармонические числа и значения дзета . Рамануджан Дж., вып. 27, стр. 305–328, 2012.

[24] Б. Кандельпергер и М.-А. Коппо. Новый класс тождеств, включающий числа Коши, гармонические числа и значения дзета . Рамануджан Дж., вып. 27, стр. 305–328, 2012 г.

[25] ОЭИС : A269330

[26] ОЭИС : A270857

[27] ОЭИС : A270859

[nrd-28] Перейти обратно: ^а ^б Н. Нёрлунд. Лекции по разностному исчислению . Шпрингер, Берлин, 1924 г.

[blag3-29] Я.В. Благоушин. Разложения обобщенных констант Эйлера в ряд по полиномам от $π$ ⁻²и в формальный обертывающий ряд только с рациональными коэффициентами. J. Number Theory, vol. 158, стр. 365–396, 2016.

[30] М.О. Рубинштейн. Тождества для дзета-функции Римана Рамануджан Дж., вып. 27, стр. 29–42, 2012.

[kmts-31] Перейти обратно: ^а ^б ^с Такао Комацу. О числах поли-Коши и полиномах , 2012.

[32] Я.В. Благоушин. Три заметки о представлениях Сера и Хассе для целых чисел дзета-функций (Электронный журнал комбинаторной теории чисел), том. 18A, статья № A3, стр. 1–45, 2018 г. arXiv:1606.02044.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]