Коэффициенты Грегори

Коэффициенты Грегори G _n , также известные как обратные логарифмические числа , числа Бернулли второго рода или числа Коши первого рода , рациональные числа которые происходят при ряд Маклорена разложении обратного логарифма в

${\begin{aligned}{\frac {z}{\ln(1+z)}}&=1+{\frac {1}{2}}z-{\frac {1}{12}}z^{2}+{\frac {1}{24}}z^{3}-{\frac {19}{720}}z^{4}+{\frac {3}{160}}z^{5}-{\frac {863}{60480}}z^{6}+\cdots \\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }G_{n}z^{n}\,,\qquad |z|<1\,.\end{aligned}}$

Коэффициенты Грегори чередуются G _n = (−1) ^{п -1} | г _н | для n > 0 и уменьшается по абсолютной величине. Эти числа названы в честь Джеймса Грегори, который представил их в 1670 году в контексте численного интегрирования. Впоследствии они были заново открыты многими математиками и часто появляются в работах современных авторов, которые не всегда их признают.

Числовые значения

н	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	...	OEIS Последовательности
Г н	+ 1 / 2	− 1 / 12	+ 1 / 24	− 19 / 720	+ 3 / 160	− 863 / 60480	+ 275 / 24192	− 33953 / 3628800	+ 8183 / 1036800	− 3250433 / 479001600	+ 4671 / 788480	...	OEIS : A002206 (числители), OEIS : A002207 (знаменатели)

Расчеты и представления

Самый простой способ вычислить коэффициенты Грегори — использовать рекуррентную формулу

$|G_{n}|=-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {|G_{k}|}{n+1-k}}+{\frac {1}{n+1}}$

с G ₁ = 1 / 2 . Коэффициенты Грегори также могут быть вычислены явно с помощью следующего дифференциала

$n!G_{n}=\left[{\frac {{\textrm {d}}^{n}}{{\textrm {d}}z^{n}}}{\frac {z}{\ln(1+z)}}\right]_{z=0},$

или интеграл

$G_{n}={\frac {1}{n!}}\int _{0}^{1}x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)\,dx=\int _{0}^{1}{\binom {x}{n}}\,dx,$

что можно доказать интегрированием $(1+z)^{x}$ между 0 и 1 относительно $x$, один раз напрямую, а второй раз сначала с использованием разложения в биномиальный ряд .

Отсюда следует конечная формула суммирования

$n!G_{n}=\sum _{\ell =0}^{n}{\frac {s(n,\ell )}{\ell +1}},$

где s ( n , ℓ ) — знаковые числа Стирлинга первого рода .

и Шредера интегральная формула

$G_{n}=(-1)^{n-1}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x)^{n}(\ln ^{2}x+\pi ^{2})}},$

и

Коэффициенты Грегори удовлетворяют границам

${\frac {1}{6n(n-1)}}<{\big |}G_{n}{\big |}<{\frac {1}{6n}},\qquad n>2,$

предоставлено Йоханом Стеффенсеном . Позднее эти границы были улучшены различными авторами. Наиболее известные оценки для них дал Благушин. В частности,

${\frac {\,1\,}{\,n\ln ^{2}\!n\,}}\,-\,{\frac {\,2\,}{\,n\ln ^{3}\!n\,}}\leqslant \,{\big |}G_{n}{\big |}\,\leqslant \,{\frac {\,1\,}{\,n\ln ^{2}\!n\,}}-{\frac {\,2\gamma \,}{\,n\ln ^{3}\!n\,}}\,,\qquad \quad n\geqslant 5\,.$

Асимптотически при больших индексах n эти числа ведут себя как

${\big |}G_{n}{\big |}\sim {\frac {1}{n\ln ^{2}n}},\qquad n\to \infty .$

Более точное описание G _n при большом n можно найти в работах Ван Вина, Дэвис, Коффи, Благородный and Blagouchine.

с

Ряды с коэффициентами Грегори часто можно рассчитывать в замкнутой форме. Базовые серии с этими номерами включают

${\begin{aligned}&\sum _{n=1}^{\infty }{\big |}G_{n}{\big |}=1\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }G_{n}={\frac {1}{\ln 2}}-1\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n}}=\gamma ,\end{aligned}}$

где γ = 0,5772156649... — постоянная Эйлера . Эти результаты очень старые, и их историю можно проследить до работ Грегорио Фонтаны и Лоренцо Маскерони . Более сложные ряды с коэффициентами Грегори рассчитывались разными авторами. Коваленко, Алабдулмохсин и некоторые другие авторы подсчитали

${\begin{array}{l}\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-1}}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\ln 2\pi }{2}}-{\frac {\gamma }{2}}\\[6mm]\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\!{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+1}}=1-\ln 2.\end{array}}$

Алабдулмохсин также дает эти тождества с

${\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}({\big |}G_{3n+1}{\big |}+{\big |}G_{3n+2}{\big |})={\frac {\sqrt {3}}{\pi }}\\[2mm]&\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}({\big |}G_{3n+2}{\big |}+{\big |}G_{3n+3}{\big |})={\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }}-1\\[2mm]&\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}({\big |}G_{3n+3}{\big |}+{\big |}G_{3n+4}{\big |})={\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{\pi }}.\end{aligned}}$

Кандельпергер, Коппо и молодой показал, что

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}\cdot H_{n}}{n}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1,$

где H _n — номера гармоник .Благоушин предоставляет следующие идентификаторы

${\begin{aligned}&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {G_{n}}{n}}=\operatorname {li} (2)-\gamma \\[2mm]&\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-2}}=-{\frac {1}{8}}+{\frac {\ln 2\pi }{12}}-{\frac {\zeta '(2)}{\,2\pi ^{2}}}\\[2mm]&\sum _{n=4}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n-3}}=-{\frac {1}{16}}+{\frac {\ln 2\pi }{24}}-{\frac {\zeta '(2)}{4\pi ^{2}}}+{\frac {\zeta (3)}{8\pi ^{2}}}\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+2}}={\frac {1}{2}}-2\ln 2+\ln 3\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+3}}={\frac {1}{3}}-5\ln 2+3\ln 3\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n+k}}={\frac {1}{k}}+\sum _{m=1}^{k}(-1)^{m}{\binom {k}{m}}\ln(m+1)\,,\qquad k=1,2,3,\ldots \\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}}{n^{2}}}=\int _{0}^{1}{\frac {-\operatorname {li} (1-x)+\gamma +\ln x}{x}}\,dx\\[2mm]&\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {G_{n}}{n^{2}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {li} (1+x)-\gamma -\ln x}{x}}\,dx,\end{aligned}}$

где li( z ) — интегральный логарифм и ${\tbinom {k}{m}}$ – биномиальный коэффициент .Также известно, что дзета-функция , гамма-функция , полигамма-функции , константы Стилтьеса и многие другие специальные функции и константы могут быть выражены через бесконечные ряды, содержащие эти числа.

Обобщения

Для коэффициентов Грегори возможны различные обобщения. Многие из них могут быть получены путем модификации родительского порождающего уравнения. Например, Ван Вин учитывать

$\left({\frac {\ln(1+z)}{z}}\right)^{s}=s\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}K_{n}^{(s)}\,,\qquad |z|<1\,,$

и, следовательно,

$n!G_{n}=-K_{n}^{(-1)}$

Эквивалентные обобщения были позже предложены Коваленко. и Рубинштейн. Аналогичным образом коэффициенты Грегори связаны с обобщенными числами Бернулли.

$\left({\frac {t}{e^{t}-1}}\right)^{s}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{k!}}B_{k}^{(s)},\qquad |t|<2\pi \,,$

видеть, так что

$n!G_{n}=-{\frac {B_{n}^{(n-1)}}{n-1}}$

Иордания определяет полиномы ψ _n ( s ) такие, что

${\frac {z(1+z)^{s}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(s)\,,\qquad |z|<1\,,$

и назовем их полиномами Бернулли второго рода . Из сказанного выше ясно, что G _n = ψ _n (0) .Карлитц обобщил полиномы Жордана ψ _n ( s ), введя многочлены β

$\left({\frac {z}{\ln(1+z)}}\right)^{s}\!\!\cdot (1+z)^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\,\beta _{n}^{(s)}(x)\,,\qquad |z|<1\,,$

и поэтому

$n!G_{n}=\beta _{n}^{(1)}(0)$

Blagouchine введены числа Gn _что ( k ) такие,

$n!G_{n}(k)=\sum _{\ell =1}^{n}{\frac {s(n,\ell )}{\ell +k}},$

получили их производящую функцию и изучили их асимптотику при больших n . Очевидно, G _n = G _n (1) . Эти числа строго чередуются G _n ( k ) = (-1) ^{п -1} | г _п ( k ) | и участвует в различных разложениях дзета-функций , константы Эйлера и полигамма-функций .Другое обобщение того же рода было предложено Комацу.

$c_{n}^{(k)}=\sum _{\ell =0}^{n}{\frac {s(n,\ell )}{(\ell +1)^{k}}},$

что Gn _​ = cn _так ⁽¹⁾ / н ! Числа с _н ^{( к )} названы автором поли-числами Коши . Коффи определяет полиномы

$P_{n+1}(y)={\frac {1}{n!}}\int _{0}^{y}x(1-x)(2-x)\cdots (n-1-x)\,dx$

и поэтому | г _н | знак равно п _{п +1} (1) .

См. также

• Полиномы Стирлинга
• Полиномы Бернулли второго рода