Полигамма-функция

В математике полигамма -функция порядка $m$ является мероморфной функцией комплексных чисел. $\mathbb {C}$ определяется как $(m + 1)$ -я производная логарифма гамма -функции :

\psi ^{(m)}(z):={\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} z^{m}}}\psi (z)={\frac {\mathrm {d} ^{m+1}}{\mathrm {d} z^{m+1}}}\ln \Gamma (z).

Таким образом

\psi ^{(0)}(z)=\psi (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}

выполняется, где $ψ (z)$ — дигамма-функция , а $Γ(z)$ — гамма-функция . Они голоморфны по $\mathbb {C} \backslash \mathbb {Z} _{\leq 0}$ . Во всех неположительных целых числах эти полигамма-функции имеют полюс порядка $m + 1$ . Функция $ψ (1) (z)$ иногда называют тригамма-функцией .

**Логарифм гамма-функции и первые несколько полигамма-функций в комплексной плоскости.**

$ln Γ(z)$	$п (0) (С)$	$п (1) (С)$

$п (2) (С)$	$п (3) (С)$	$п (4) (С)$

Интегральное представление [ править ]

Когда $m > 0$ и $Re z > 0$ , полигамма-функция равна

{\begin{aligned}\psi ^{(m)}(z)&=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\,\mathrm {d} t\\&=-\int _{0}^{1}{\frac {t^{z-1}}{1-t}}(\ln t)^{m}\,\mathrm {d} t\\&=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\end{aligned}}

где $\zeta (s,q)$ – дзета-функция Гурвица .

Это выражает полигамма-функцию как Лапласа преобразование $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}(−1) м +1 т м / 1 - е − т$ . следует Из теоремы Бернштейна о монотонных функциях , что для $m > 0$ и $x$ вещественного и неотрицательного $(-1) м +1 п (м) (x)$ — полностью монотонная функция.

Установка $m = 0$ в приведенной выше формуле не дает интегрального представления дигамма-функции. Дигамма-функция имеет интегральное представление благодаря Гауссу, которое аналогично приведенному $выше случаю m = 0$ , но имеет дополнительный член $Это - т / т$ .

Рекуррентное отношение [ править ]

Он удовлетворяет рекуррентному соотношению

\psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\,m!}{z^{m+1}}}

что, рассматриваемое для положительного целого аргумента, приводит к представлению суммы обратных степеней натуральных чисел:

{\frac {\psi ^{(m)}(n)}{(-1)^{m+1}\,m!}}=\zeta (1+m)-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{m+1}}}=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k^{m+1}}}\qquad m\geq 1

и

\psi ^{(0)}(n)=-\gamma \ +\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}

для всех $n\in \mathbb {N}$ , где $\gamma$ – постоянная Эйлера–Машерони . Как и логарифмическая гамма-функция, полигамма-функции могут быть обобщены из области определения $\mathbb {N}$ только для положительных действительных чисел только благодаря их рекуррентному соотношению и одному заданному значению функции, скажем, $ψ (м) (1)$ , за исключением случая $m = 0$ , когда дополнительное условие строгой монотонности на $\mathbb {R} ^{+}$ все еще нужен. Это тривиальное следствие теоремы Бора–Моллерупа для гамма-функции, где строго логарифмическая выпуклость на $\mathbb {R} ^{+}$ требуется дополнительно. Случай $m = 0$ следует рассматривать иначе, поскольку $ψ (0)$ не нормализуется на бесконечности (сумма обратных величин не сходится).

Отношение отражения [ править ]

(-1)^{m}\psi ^{(m)}(1-z)-\psi ^{(m)}(z)=\pi {\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} z^{m}}}\cot {\pi z}=\pi ^{m+1}{\frac {P_{m}(\cos {\pi z})}{\sin ^{m+1}(\pi z)}}

где $P m$ — попеременно нечетный или четный полином степени $| м - 1 |$ с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом $(-1) м ⌈2 м - 1 ⌉$ . Они подчиняются уравнению рекурсии

{\begin{aligned}P_{0}(x)&=x\\P_{m+1}(x)&=-\left((m+1)xP_{m}(x)+\left(1-x^{2}\right)P'_{m}(x)\right).\end{aligned}}

Теорема умножения [ править ]

Теорема умножения дает

k^{m+1}\psi ^{(m)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)\qquad m\geq 1

и

k\psi ^{(0)}(kz)=k\ln {k}+\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(0)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)

для дигамма-функции .

Представление серии [ править ]

Полигамма-функция имеет представление в виде ряда

\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}

что справедливо для целых значений $m > 0$ и любого комплексного $z,$ не равного отрицательному целому числу. Это представление можно более компактно записать в терминах дзета-функции Гурвица как

\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\,\zeta (m+1,z).

Это соотношение можно, например, использовать для вычисления специальных значений ^[1]

\psi ^{(2n-1)}\left({\frac {1}{4}}\right)={\frac {4^{2n-1}}{2n}}\left(\pi ^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|+2(2n)!\beta (2n)\right);

\psi ^{(2n-1)}\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {4^{2n-1}}{2n}}\left(\pi ^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|-2(2n)!\beta (2n)\right);

\psi ^{(2n)}\left({\frac {1}{4}}\right)=-2^{2n-1}\left(\pi ^{2n+1}|E_{2n}|+2(2n)!(2^{2n+1}-1)\zeta (2n+1)\right);

\psi ^{(2n)}\left({\frac {3}{4}}\right)=2^{2n-1}\left(\pi ^{2n+1}|E_{2n}|-2(2n)!(2^{2n+1}-1)\zeta (2n+1)\right).

С другой стороны, можно понимать, что дзета Гурвица обобщает полигамму до произвольного, нецелого порядка.

Для полигамма-функций может быть разрешен еще один ряд. По данным Шлёмильха ,

{\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}.

Это результат факторизационной теоремы Вейерштрасса . Таким образом, гамма-функция теперь может быть определена как:

\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{n}}.

Теперь натуральный логарифм гамма-функции легко представить:

\ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln(z)+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {z}{k}}-\ln \left(1+{\frac {z}{k}}\right)\right).

Наконец, мы приходим к представлению суммирования полигамма-функции:

\psi ^{(n)}(z)={\frac {\mathrm {d} ^{n+1}}{\mathrm {d} z^{n+1}}}\ln \Gamma (z)=-\gamma \delta _{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{z^{n+1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}\delta _{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{(k+z)^{n+1}}}\right)

Где $δ n 0$ — дельта Кронекера .

Также трансцендентный Лерх

\Phi (-1,m+1,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(z+k)^{m+1}}}

можно обозначить через полигамма-функцию

\Phi (-1,m+1,z)={\frac {1}{(-2)^{m+1}m!}}\left(\psi ^{(m)}\left({\frac {z}{2}}\right)-\psi ^{(m)}\left({\frac {z+1}{2}}\right)\right)

Серия Тейлора [ править ]

при Ряд Тейлора z $= -1$ равен

\psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}{\frac {(m+k)!}{k!}}\zeta (m+k+1)z^{k}\qquad m\geq 1

и

\psi ^{(0)}(z+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)z^{k}

который сходится для $| г | < 1$ . Здесь $ζ$ – дзета-функция Римана . Этот ряд легко выводится из соответствующего ряда Тейлора для дзета-функции Гурвица. Этот ряд можно использовать для вывода ряда рациональных дзета-рядов .

Асимптотическое расширение

Эти несходящиеся ряды можно использовать для быстрого получения значения аппроксимации с определенной числовой точностью (по крайней мере) для больших аргументов: ^[2]

\psi ^{(m)}(z)\sim (-1)^{m+1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+m-1)!}{k!}}{\frac {B_{k}}{z^{k+m}}}\qquad m\geq 1

и

\psi ^{(0)}(z)\sim \ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}}{kz^{k}}}

где мы выбрали $B 1 = 1/2 т.е.,$ числа Бернулли второго рода.

Неравенства [ править ]

Гиперболический котангенс удовлетворяет неравенству

{\frac {t}{2}}\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}\geq 1,

а это означает, что функция

{\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}-\left(t^{m-1}+{\frac {t^{m}}{2}}\right)

неотрицательен для всех $m \geq 1$ и $t \geq 0$ . Отсюда следует, что преобразование Лапласа этой функции вполне монотонно. Используя приведенное выше интегральное представление, заключаем, что

(-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)-\left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\right)

является совершенно монотонным. Неравенство выпуклости $e т \geq 1 + t$ означает, что

\left(t^{m-1}+t^{m}\right)-{\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}

неотрицательен для всех $m \geq 1$ и $t \geq 0$ , поэтому аналогичный аргумент преобразования Лапласа дает полную монотонность

\left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}\right)-(-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x).

Следовательно, для всех $m \geq 1$ и $x >$ 0

{\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\leq (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)\leq {\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}.

Поскольку обе оценки строго положительны для $x>0$ , у нас есть:

$\ln \Gamma (x)$ является строго выпуклой .
Для $m=0$ , дигамма-функция, $\psi (x)=\psi ^{(0)}(x)$ , строго монотонно возрастает и строго вогнута .
Для $m$ нечетно, полигамма-функции, $\psi ^{(1)},\psi ^{(3)},\psi ^{(5)},\ldots$ , строго положительны, строго монотонно убывают и строго выпуклы.
Для $m$ даже полигамма-функции, $\psi ^{(2)},\psi ^{(4)},\psi ^{(6)},\ldots$ , строго отрицательны, строго монотонно возрастают и строго вогнуты.

Это можно увидеть на первом графике выше.

Границы тригаммы и асимптота [ править ]

Для случая тригамма-функции ( $m=1$ ) окончательная формула неравенства, приведенная выше для $x>0$ , можно переписать как:

{\frac {x+{\frac {1}{2}}}{x^{2}}}\leq \psi ^{(1)}(x)\leq {\frac {x+1}{x^{2}}}

так что для $x\gg 1$ : $\psi ^{(1)}(x)\approx {\frac {1}{x}}$ .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Кёлбиг, К.С. (1996). «Полигамма-функция psi^k(x) для x=1/4 и x=3/4» . Дж. Компьютер. Прил. Математика . 75 (1): 43–46. дои : 10.1016/S0377-0427(96)00055-6 .
^ Блюмляйн, Дж. (2009). «Структурные связи гармонических сумм и преобразований Меллина до веса w = 5». Комп. Физ. Комм . 180 : 2218–2249. дои : 10.1016/j.cpc.2009.07.004 .

Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А. (1964). «Раздел 6.4» . Справочник по математическим функциям . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0 .

[1] Кёлбиг, К.С. (1996). «Полигамма-функция psi^k(x) для x=1/4 и x=3/4» . Дж. Компьютер. Прил. Математика . 75 (1): 43–46. дои : 10.1016/S0377-0427(96)00055-6 .

[2] Блюмляйн, Дж. (2009). «Структурные связи гармонических сумм и преобразований Меллина до веса w = 5». Комп. Физ. Комм . 180 : 2218–2249. дои : 10.1016/j.cpc.2009.07.004 .

[1]

[2]