Сбалансированная полигамма-функция

В математике обобщенная полигамма-функция или сбалансированная негаполигамма-функция — это функция, введенная Оливье Эспиносой Альдунате и Виктором Гюго Моллем . ^[1]

Она обобщает полигамма-функцию до отрицательного и дробного порядка, но остается равной ей для целочисленных положительных порядков.

Определение

Обобщенная полигамма-функция определяется следующим образом:

\psi (z,q)={\frac {\zeta '(z+1,q)+{\bigl (}\psi (-z)+\gamma {\bigr )}\zeta (z+1,q)}{\Gamma (-z)}}

или альтернативно,

\psi (z,q)=e^{-\gamma z}{\frac {\partial }{\partial z}}\left(e^{\gamma z}{\frac {\zeta (z+1,q)}{\Gamma (-z)}}\right),

где $ψ (z)$ — полигамма-функция , а $ζ (z, q)$ — дзета-функция Гурвица .

Функция сбалансирована, поскольку удовлетворяет условиям

f(0)=f(1)\quad {\text{and}}\quad \int _{0}^{1}f(x)\,dx=0

.

Отношения

Некоторые специальные функции могут быть выражены через обобщенную полигамма-функцию.

{\begin{aligned}\psi (x)&=\psi (0,x)\\\psi ^{(n)}(x)&=\psi (n,x)\qquad n\in \mathbb {N} \\\Gamma (x)&=\exp \left(\psi (-1,x)+{\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi \right)\\\zeta (z,q)&={\frac {\Gamma (1-z)}{\ln 2}}\left(2^{-z}\psi \left(z-1,{\frac {q+1}{2}}\right)+2^{-z}\psi \left(z-1,{\frac {q}{2}}\right)-\psi (z-1,q)\right)\\\zeta '(-1,x)&=\psi (-2,x)+{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{12}}\\B_{n}(q)&=-{\frac {\Gamma (n+1)}{\ln 2}}\left(2^{n-1}\psi \left(-n,{\frac {q+1}{2}}\right)+2^{n-1}\psi \left(-n,{\frac {q}{2}}\right)-\psi (-n,q)\right)\end{aligned}}

где $B n (q)$ — полиномы Бернулли

K(z)=A\exp \left(\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}\right)

где $K (z)$ — $K$ -функция , а $A$ — константа Глейшера .

Особые значения

Сбалансированная полигамма-функция может быть выражена в замкнутой форме в определенных точках (где $A$ — константа Глейшера , а $G$ — константа Каталана ):

{\begin{aligned}\psi \left(-2,{\tfrac {1}{4}}\right)&={\tfrac {1}{8}}\ln 2\pi +{\tfrac {9}{8}}\ln A+{\frac {G}{4\pi }}&&\\\psi \left(-2,{\tfrac {1}{2}}\right)&={\tfrac {1}{4}}\ln \pi +{\tfrac {3}{2}}\ln A+{\tfrac {5}{24}}\ln 2&\\\psi \left(-3,{\tfrac {1}{2}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\ln 2\pi +{\tfrac {1}{2}}\ln A+{\frac {7\zeta (3)}{32\pi ^{2}}}\\\psi (-2,1)&={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi &\\\psi (-3,1)&={\tfrac {1}{4}}\ln 2\pi +\ln A\\\psi (-2,2)&=\ln 2\pi -1&\\\psi (-3,2)&=\ln 2\pi +2\ln A-{\tfrac {3}{4}}\\\end{aligned}}

Ссылки

^ Эспиноза, Оливье; Молл, Виктор Гюго (апрель 2004 г.). «Обобщенная полигамма-функция» (PDF) . Интегральные преобразования и специальные функции . 15 (2): 101–115.

[1] Эспиноза, Оливье; Молл, Виктор Гюго (апрель 2004 г.). «Обобщенная полигамма-функция» (PDF) . Интегральные преобразования и специальные функции . 15 (2): 101–115.

[1]