Константа Глейшера – Кинкелина

В математике константа Глейшера -Кинкелина или константа Глейшера , обычно обозначаемая A , является математической константой , связанной с K -функцией и Барнса G -функцией . Константа появляется в ряде сумм и интегралов , особенно в тех, которые включают гамма-функции и дзета-функции . Он назван в честь математиков Джеймса Уитбреда, Ли Глейшера и Германа Кинкелина .

Его приблизительная стоимость составляет:

A = 1,282 427 129 100 622 636 87 ... (последовательность A074962 в OEIS ).

Константа Глейшера-Кинкелина A может быть задана пределом :

$A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{12}}}\,e^{-{\frac {n^{2}}{4}}}}}$

где К ( п ) = Π ^n-1
_{k =1} k ^к является гиперфакториалом . Эта формула демонстрирует сходство между A и π, которое, возможно, лучше всего иллюстрируется формулой Стирлинга :

${\sqrt {2\pi }}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{n^{n+{\frac {1}{2}}}\,e^{-n}}}$

который показывает, что так же, как π получается из аппроксимации факториалов , A также может быть получено из аналогичного приближения к гиперфакториалам.

Эквивалентное определение для A , включающее Барнса G -функцию , заданную формулой G ( n ) = Π ^{п -2}
_{k =1} k ! = ⁠ [С ( п )] ^{п -1} / K ( n ) ⁠ где Γ( n ) — гамма-функция :

$A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left(2\pi \right)^{\frac {n}{2}}n^{{\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {1}{12}}}e^{-{\frac {3n^{2}}{4}}+{\frac {1}{12}}}}{G(n+1)}}$.

Константа Глейшера-Кинкелина также появляется в оценках производных дзета-функции Римана , таких как:

$\zeta '(-1)={\tfrac {1}{12}}-\ln A$

$\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2}}}=-\zeta '(2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}\left(12\ln A-\gamma -\ln 2\pi \right)$

где γ — постоянная Эйлера–Машерони . Последняя формула приводит непосредственно к следующему продукту, найденному Глейшером :

$\prod _{k=1}^{\infty }k^{\frac {1}{k^{2}}}=\left({\frac {A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}}\right)^{\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Альтернативная формула произведения, определенная для простых чисел , гласит:

$\prod _{k=1}^{\infty }p_{k}^{\frac {1}{p_{k}^{2}-1}}={\frac {A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}},$

где p _k обозначает k- е простое число .

Ниже приведены некоторые интегралы, включающие эту константу:

$\int _{0}^{\frac {1}{2}}\ln \Gamma (x)\,dx={\tfrac {3}{2}}\ln A+{\frac {5}{24}}\ln 2+{\tfrac {1}{4}}\ln \pi$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}\,dx={\tfrac {1}{2}}\zeta '(-1)={\tfrac {1}{24}}-{\tfrac {1}{2}}\ln A$

Представление в виде серии для этой константы следует из ряда для дзета-функции Римана, данного Гельмутом Хассе .

$\ln A={\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{2}\ln(k+1)$

Ссылки

• Гильера, Хесус; Сондоу, Джонатан (2008). «Двойные интегралы и бесконечные произведения для некоторых классических констант через аналитическое продолжение трансцендента Лерха». Журнал Рамануджана . 16 (3): 247–270. arXiv : math.NT/0506319 . дои : 10.1007/s11139-007-9102-0 . S2CID   14910435 .
• Гильера, Хесус; Сондоу, Джонатан (2008). «Двойные интегралы и бесконечные произведения для некоторых классических констант через аналитическое продолжение трансцендента Лерха». Журнал Рамануджана . 16 (3): 247–270. arXiv : math/0506319 . дои : 10.1007/s11139-007-9102-0 . S2CID   14910435 . (Обеспечивает различные отношения.)
• Вайсштейн, Эрик В. «Константа Глейшера-Кинкелина» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Дзета-функция Римана» . Математический мир .

Внешние ссылки

• Константа Глейшера-Кинкелина до 20 000 десятичных знаков.