Гиперфакториал

В математике , а точнее в теории чисел , гиперфакториал положительного целого числа. $n$ является произведением чисел вида $x^{x}$ от $1^{1}$ к $n^{n}$.

Определение

Гиперфакториал положительного целого числа $n$ это произведение чисел $1^{1},2^{2},\dots ,n^{n}$. То есть, $$H(n)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot \cdots n^{n}=\prod _{i=1}^{n}i^{i}=n^{n}H(n-1).$$Следуя обычному соглашению для пустого произведения , гиперфакториал 0 равен 1. Последовательность гиперфакториалов, начинающаяся с $H(0)=1$, является:

1, 1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... (последовательность A002109 в OEIS )

Интерполяция и аппроксимация

Гиперфакториалы изучались начиная с 19 века Германом Кинкелином. и Джеймс Уитбред Ли Глейшер . Как показал Кинкелин, точно так же, как факториалы могут непрерывно интерполироваться гамма-функцией , гиперфакториалы могут непрерывно интерполироваться K-функцией .

Глейшер предоставил асимптотическую формулу для гиперфакториалов, аналогичную формуле Стирлинга для факториалов: $$H(n)=An^{(6n^{2}+6n+1)/12}e^{-n^{2}/4}\left(1+{\frac {1}{720n^{2}}}-{\frac {1433}{7257600n^{4}}}+\cdots \right)\!,$$где $A\approx 1.28243$ – константа Глейшера–Кинкелина .

Другие объекты недвижимости

Согласно аналогу теоремы Вильсона о поведении факториалов по модулю простых чисел, когда $p$ это нечетное простое число $$H(p-1)\equiv (-1)^{(p-1)/2}(p-1)!!{\pmod {p}},$$где $!!$ это обозначение двойного факториала .

Гиперфакториалы дают последовательность дискриминантов в полиномов Эрмита их вероятностной формулировке.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Гиперфакториал» , MathWorld