К -функция

Информацию о k -функции см. в разделе « Функция Бейтмана» .

В математике , K -функция обычно обозначаемая K ( z ), является обобщением гиперфакториала на комплексные числа , аналогично обобщению факториала на гамма -функцию .

Определение

Формально K -функция определяется как

$K(z)=(2\pi )^{-{\frac {z-1}{2}}}\exp \left[{\binom {z}{2}}+\int _{0}^{z-1}\ln \Gamma (t+1)\,dt\right].$

Его также можно представить в закрытой форме как

$K(z)=\exp {\bigl [}\zeta '(-1,z)-\zeta '(-1){\bigr ]}$

где ζ ′( z ) обозначает производную , дзета-функции Римана ζ ( a , z ) обозначает дзета -функцию Гурвица и

$\zeta '(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left.{\frac {\partial \zeta (s,z)}{\partial s}}\right|_{s=a}.$

Другое выражение, использующее функцию полигаммы :

$K(z)=\exp \left[\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln 2\pi \right]$

Или используя сбалансированное обобщение полигамма-функции :

$K(z)=A\exp \left[\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}\right]$

где А — постоянная Глейшера .

Подобно теореме Бора-Моллерапа для гамма-функции , лог K-функция является единственным (с точностью до аддитивной константы) окончательно 2-выпуклым решением уравнения $\Delta f(x)=x\ln(x)$ где $\Delta$ — оператор прямой разности.

Характеристики

Можно показать, что для α > 0 :

$\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx-\int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx={\tfrac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln \alpha -{\tfrac {1}{2}}\right)$

Это можно показать, определив функцию f такую, что:

$f(\alpha )=\int _{\alpha }^{\alpha +1}\ln K(x)\,dx$

Дифференцирование этого тождества теперь по α дает:

$f'(\alpha )=\ln K(\alpha +1)-\ln K(\alpha )$

Применяя правило логарифма, получаем

$f'(\alpha )=\ln {\frac {K(\alpha +1)}{K(\alpha )}}$

По определению K -функции запишем

$f'(\alpha )=\alpha \ln \alpha$

И так

$f(\alpha )={\tfrac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(\ln \alpha -{\tfrac {1}{2}}\right)+C$

Полагая α = 0, имеем

$\int _{0}^{1}\ln K(x)\,dx=\lim _{t\rightarrow 0}\left[{\tfrac {1}{2}}t^{2}\left(\ln t-{\tfrac {1}{2}}\right)\right]+C\ =C$

Теперь можно вывести тождество, указанное выше.

- функция K тесно связана с гамма-функцией и Барнса G -функцией ; для натуральных чисел n имеем

$K(n)={\frac {{\bigl (}\Gamma (n){\bigr )}^{n-1}}{G(n)}}.$

Более прозаично можно написать

$K(n+1)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots n^{n}.$

Первые значения – это

1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... (последовательность A002109 в OEIS ).

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «К-функция» . Математический мир .