Функция Бейтмана

В математике функция Бейтмана (или k -функция) представляет собой частный случай вырожденной гипергеометрической функции, изученной Гарри Бейтманом (1931). Бейтман определил это как

$\displaystyle k_{\nu }(x)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}\cos(x\tan \theta -\nu \theta )\,d\theta .$

Бейтман открыл эту функцию, когда Теодор фон Карман попросил решить следующее дифференциальное уравнение, появившееся в теории турбулентности:

$x{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=(x-\nu )u$

и Бейтман нашел эту функцию как одно из решений. Бейтман обозначил эту функцию как функцию «k» в честь Теодора фон Кармана .

Функция Бейтмана для $x>0$ является связанной со сливающейся гипергеометрической функцией второго рода следующим образом

$k_{\nu }(x)={\frac {e^{-x}}{\Gamma \left(1+{\frac {1}{2}}\nu \right)}}U\left(-{\frac {1}{2}}\nu ,0,2x\right),\quad x>0.$

Это не следует путать с другой одноименной функцией, которая используется в фармакокинетике.

Функция Хэвлока

В дополнение к функции Бейтмана можно также определить функцию Хэвлока, названную в честь Томаса Генри Хэвлока . Фактически, функции Бейтмана и Хэвлока были впервые представлены Хэвлоком в 1927 году. при исследовании высоты поверхности однородного потока, проходящего мимо погруженного круглого цилиндра. Функция Havelock определяется формулой

$\displaystyle h_{\nu }(x)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}\sin(x\tan \theta -\nu \theta )\,d\theta .$

Характеристики

• $k_{0}(x)=e^{-|x|}$
• $k_{-n}(x)=k_{n}(-x)$
• $k_{n}(0)={\frac {2}{n\pi }}\sin {\frac {n\pi }{2}}$
• $k_{2}(x)=(x+|x|)e^{-|x|}$
• $|k_{n}(x)|\leq 1$ для реальных значений $n$ и $x$
• $k_{2n}(x)=0$ для $x<0$ если $n$ является положительным целым числом
• $k_{1}(x)={\frac {2x}{\pi }}[K_{1}(x)+K_{0}(x)],\ x<0$, где $K_{n}(-x)$ — модифицированная функция Бесселя второго рода