Логарифмическая производная

В математике , особенно в и комплексном анализе , логарифмическая производная функции исчислении f определяется формулой ${\frac {f'}{f}}$ где $f'$ является производной от f . ^[1] Интуитивно это и есть бесконечно малое изменение f ; относительное то есть бесконечно малое абсолютное изменение f, а именно $f',$ масштабируется по текущему значению f.

Когда f является функцией f ( x ) действительной переменной x и принимает вещественные строго положительные значения, это равно производной ln( f ) или натуральному логарифму f , . Это следует непосредственно из правила цепочки : ^[1] ${\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {1}{f(x)}}{\frac {df(x)}{dx}}$

Основные свойства

Многие свойства действительного логарифма также применимы к логарифмической производной, даже если функция не принимает значения в положительных действительных числах. Например, поскольку логарифм произведения представляет собой сумму логарифмов факторов, мы имеем $(\log uv)'=(\log u+\log v)'=(\log u)'+(\log v)'.$ Таким образом, для функций с положительными действительными значениями логарифмическая производная произведения представляет собой сумму логарифмических производных факторов. Но мы также можем использовать закон Лейбница для производной произведения, чтобы получить ${\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.$ функции верно Таким образом, для любой , что логарифмическая производная произведения представляет собой сумму логарифмических производных факторов (когда они определены).

Следствием этого является то, что логарифмическая производная обратной функции является отрицанием логарифмической производной функции: ${\frac {(1/u)'}{1/u}}={\frac {-u'/u^{2}}{1/u}}=-{\frac {u'}{u}},$ точно так же, как логарифм обратной величины положительного действительного числа является отрицанием логарифма числа. ^{[ нужна ссылка ]}

В более общем смысле, логарифмическая производная частного представляет собой разность логарифмических производных делимого и делителя: ${\frac {(u/v)'}{u/v}}={\frac {(u'v-uv')/v^{2}}{u/v}}={\frac {u'}{u}}-{\frac {v'}{v}},$ точно так же, как логарифм частного есть разность логарифмов делимого и делителя.

Обобщая в другом направлении, логарифмическая производная степени (с постоянным действительным показателем) представляет собой произведение показателя степени и логарифмической производной по основанию: ${\frac {(u^{k})'}{u^{k}}}={\frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}}}=k{\frac {u'}{u}},$ точно так же, как логарифм степени является произведением показателя степени и логарифма основания.

Таким образом, и производные, и логарифмы имеют правило произведения , правило взаимности , правило фактора и правило степени (сравните список логарифмических тождеств ); каждая пара правил связана через логарифмическую производную.

Вычисление обычных производных с использованием логарифмических производных

Логарифмические производные могут упростить вычисление производных, требующих правила произведения , при этом давая тот же результат. Процедура следующая: предположим, что $f(x)=u(x)v(x)$ и что мы хотим вычислить $f'(x)$ . Вместо того, чтобы вычислять его напрямую, как $f'=u'v+v'u$ , мы вычисляем его логарифмическую производную. То есть вычисляем: ${\frac {f'}{f}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.$

Умножение на ƒ вычисляет $f'$ : $f'=f\cdot \left({\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}\right).$

Этот метод наиболее полезен, когда ƒ является произведением большого количества факторов. Этот метод позволяет вычислить $f'$ путем вычисления логарифмической производной каждого фактора, суммирования и умножения на $f$ .

Например, мы можем вычислить логарифмическую производную $e^{x^{2}}(x-2)^{3}(x-3)(x-1)^{-1}$ быть $2x+{\frac {3}{x-2}}+{\frac {1}{x-3}}-{\frac {1}{x-1}}$ .

Интегрирующие факторы

Идея логарифмической производной тесно связана с методом интегрирующих коэффициентов для дифференциальных уравнений первого порядка . В оператора напишите терминах $D={\frac {d}{dx}}$ и пусть M обозначает оператор умножения на некоторую заданную функцию G ( x ). Затем $M^{-1}DM$ можно записать (по правилу произведения ) как $D+M^{*}$ где $M^{*}$ теперь обозначает оператор умножения на логарифмическую производную ${\frac {G'}{G}}$

На практике нам дан такой оператор, как $D+F=L$ и хочу решить уравнения $L(h)=f$ для функции h , учитывая f . Тогда это сводится к решению ${\frac {G'}{G}}=F$ который имеет в качестве решения $\exp \textstyle (\int F)$ с любым неопределенным интегралом от F . ^{[ нужна ссылка ]}

Комплексный анализ

Приведенную формулу можно применять более широко; например, если f ( z ) является мероморфной функцией , это имеет смысл при всех комплексных значениях z, при которых f не имеет ни нуля, ни полюса . Далее, в нуле или полюсе логарифмическая производная ведет себя так, что ее легко проанализировать с точки зрения частного случая.

С н

где n целое число, $n \neq 0$ . Логарифмическая производная тогда равна $n/z$ и можно сделать общий вывод, что для мероморфного f все особенности логарифмической производной f являются простыми полюсами с вычетом n из нуля порядка n , вычетом − n из полюса порядка n . См. принцип аргументации . Эта информация часто используется при контурной интеграции . ^[2]^[3]^{[ нужна проверка ]}

В области теории Неванлинны важная лемма гласит, что функция близости логарифмической производной мала по сравнению с характеристикой Неванлинны исходной функции, например $m(r,h'/h)=S(r,h)=o(T(r,h))$ . ^[4]^{[ нужна проверка ]}

Мультипликативная группа

За использованием логарифмической производной скрываются два основных факта о GL ₁ , то есть о мультипликативной группе действительных чисел или другом поле . Дифференциальный оператор $X{\frac {d}{dX}}$ инвариантен X относительно расширения (замена на aX для константы ) . И дифференциальная форма ${\frac {dx}{X}}$ также инвариантен. Для функций F в GL ₁ формула ${\frac {dF}{F}}$ следовательно, является возвратом к инвариантной форме. ^{[ нужна ссылка ]}

Примеры

Экспоненциальный рост и экспоненциальный затух — это процессы с постоянной логарифмической производной. ^{[ нужна ссылка ]}
В математических финансах греческий . λ — это логарифмическая производная цены производного инструмента по отношению к базовой цене ^{[ нужна ссылка ]}
В численном анализе представляет число обусловленности собой бесконечно малое относительное изменение выходного сигнала при относительном изменении входных данных и, таким образом, представляет собой отношение логарифмических производных. ^{[ нужна ссылка ]}

См. также

Обобщения производной - Фундаментальная конструкция дифференциального исчисления
Логарифмическое дифференцирование - Метод математического дифференцирования
Эластичность функции

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б «Логарифмическая производная — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . 7 декабря 2012 года . Проверено 12 августа 2021 г.
^ Гонсалес, Марио (24 сентября 1991 г.). Классический комплексный анализ . ЦРК Пресс. ISBN 978-0-8247-8415-7 .
^ «Логарифмический остаток — Энциклопедия математики» . энциклопедияofmath.org . 7 июня 2020 г. Проверено 12 августа 2021 г.
^ Чжан, Гуань-хоу (1 января 1993 г.). Теория целых и мероморфных функций: дефектные и асимптотические значения и особые направления . Американское математическое соц. п. 18. ISBN 978-0-8218-8764-6 . Проверено 12 августа 2021 г.

[:0-1] Jump up to: ^а ^б «Логарифмическая производная — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . 7 декабря 2012 года . Проверено 12 августа 2021 г.

[2] Гонсалес, Марио (24 сентября 1991 г.). Классический комплексный анализ . ЦРК Пресс. ISBN 978-0-8247-8415-7 .

[3] «Логарифмический остаток — Энциклопедия математики» . энциклопедияofmath.org . 7 июня 2020 г. Проверено 12 августа 2021 г.

[4] Чжан, Гуань-хоу (1 января 1993 г.). Теория целых и мероморфных функций: дефектные и асимптотические значения и особые направления . Американское математическое соц. п. 18. ISBN 978-0-8218-8764-6 . Проверено 12 августа 2021 г.

[1]

[2]

[3]

[4]