Семиугольное число

Семиугольное число — фигурное число , которое получается путем объединения семиугольников возрастающего размера. n -е семиугольное число определяется формулой

$H_{n}={\frac {5n^{2}-3n}{2}}$.

Первые пять семиугольных чисел.

Первые несколько семиугольных чисел:

0 , 1 , 7 , 18 , 34 , 55 , 81 , 112 , 148 , 189 , 235 , 286, 342, 403, 469, 540, 616 , 697, 783, 874, 970, 1071, 1177, 8, 1404, 1525, 1651, 1782, … (последовательность A000566 в OEIS )

Паритет

Четность семиугольных чисел подчиняется схеме нечет-нечет-чет-чет. Как и квадратные числа , цифровой корень по основанию 10 семиугольного числа может быть только 1, 4, 7 или 9. Пять раз семиугольное число плюс 1 равняется треугольному числу .

Дополнительные свойства

• У семиугольных чисел есть несколько примечательных формул:

$H_{m+n}=H_{m}+H_{n}+5mn$

$H_{m-n}=H_{m}+H_{n}-5mn+3n$

$H_{m}-H_{n}={\frac {(5(m+n)-3)(m-n)}{2}}$

$40H_{n}+9=(10n-3)^{2}$

Сумма обратных величин

Формула суммы обратных семиугольных чисел имеет вид:

${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n(5n-3)}}&={\frac {1}{15}}{\pi }{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}+{\frac {2}{3}}\ln(5)+{\frac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)+{\frac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left({\frac {\pi }{\sqrt[{4}]{5\,\phi ^{6}}}}+{\frac {5}{2}}\ln(5)-{\sqrt {5}}\ln(\phi )\right)\\&=1.3227792531223888567\dots \end{aligned}}$

с золотым сечением $\phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$.

Семиугольные корни

По аналогии с квадратным корнем из x можно вычислить семиугольный корень из x , то есть количество членов последовательности до x включительно .

Семиугольный корень из x определяется формулой

$n={\frac {{\sqrt {40x+9}}+3}{10}},$

который получается с помощью квадратичной формулы для решения $x={\frac {5n^{2}-3n}{2}}$ для его единственного положительного корня n .