Число Декарта

В теории чисел число Декарта — это нечетное число , которое было бы нечетным совершенным числом, если бы один из его составных множителей был простым . Они названы в честь Рене Декарта , который заметил, что число $D = 3. 2 \cdot7 2 \cdot11 2 \cdot13 2 \cdot22021 = (3\cdot1001) 2 \cdot (22\cdot1001 - 1) = 198585576189$ было бы нечетным совершенным числом, если бы только $22021$ было простым числом , поскольку функция суммы делителей для $D$ удовлетворяла бы, если бы 22021 было простым,

{\begin{aligned}\sigma (D)&=(3^{2}+3+1)\cdot (7^{2}+7+1)\cdot (11^{2}+11+1)\cdot (13^{2}+13+1)\cdot (22021+1)\\&=(13)\cdot (3\cdot 19)\cdot (7\cdot 19)\cdot (3\cdot 61)\cdot (22\cdot 1001)\\&=3^{2}\cdot 7\cdot 13\cdot 19^{2}\cdot 61\cdot (22\cdot 7\cdot 11\cdot 13)\\&=2\cdot (3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot (19^{2}\cdot 61)\\&=2\cdot (3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot 22021=2D,\end{aligned}}

где мы игнорируем тот факт, что 22021 является составным ( $22021 = 19 2 \cdot 61$ ).

Число Декарта определяется как нечетное число $n = m \cdot p$ , где $m$ и $p$ и взаимно просты 2 $n = σ(m) \cdot (p + 1)$ , откуда $p$ считается «пародийным» простым числом. Приведенный пример является единственным известным на данный момент.

Если $m$ — нечетное почти идеальное число , ^[1]то есть $σ(m) = 2 m - 1$ и $2 m - 1$ считается «обманным» простым числом, тогда $n = m \cdot (2 m - 1)$ является числом Декарта, поскольку $σ(n) = σ(м \cdot (2 м - 1)) знак равно σ(м) \cdot 2 м знак равно (2 м - 1) \cdot 2 м знак равно 2 п$ . Если бы $2 m - 1$ были простыми, $n$ было бы нечетным совершенным числом.

Свойства [ править ]

Бэнкс и др. в 2008 году показал, что если $n$ — бескубовое число Декарта, не делящееся на $3$ , то $n$ имеет более миллиона различных простых делителей. ^[2]

Тот показал в 2021 году, что если $D=pq$ обозначает число Декарта (кроме примера Декарта) с псевдопростым множителем $p$ , затем $q>10^{12}$ .

Обобщения [ править ]

Джон Войт обобщил числа Декарта, допустив отрицательные основания. Он нашел пример $3^{4}7^{2}11^{2}19^{2}(-127)^{1}$ . ^[3] Последующая работа группы из Университета Бригама Янга обнаружила больше примеров, похожих на пример Войта: ^[3] а также разрешен новый класс подделок, где можно также не замечать, что простое число при факторизации совпадает с другим простым числом. ^[4]

См. также [ править ]

Число Эрдеша – Николаса , еще один тип почти идеального числа.

Примечания [ править ]

^ В настоящее время единственные известные почти совершенные числа — это неотрицательные степени 2 , следовательно, единственное известное нечетное почти идеальное число — это $2. 0 = 1.$
^ Бэнкс, Уильям Д.; Гюлоглу, Ахмет М.; Неванс, К. Уэсли; Сайдак, Филип (2008), «Числа Декарта» , Анатомия целых чисел. По материалам семинара CRM, Монреаль, Канада, 13–17 марта 2006 г. , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество (AMS), стр. 167–173, ISBN. 978-0-8218-4406-9 , получено 13 мая 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Надис, Стив (10 сентября 2020 г.). «Математики открывают новый фронт в решении древней проблемы чисел» . Журнал Кванта . Проверено 3 октября 2021 г.
^ Андерсен, Николас; Дарем, Спенсер; Гриффин, Майкл Дж.; Хейлз, Джонатан; Дженкинс, Пол; Кек, Райан; Ко, Ханкун; Молнар, Грант; Мосс, Эрик; Нильсен, Пейс П.; Ниендорф, Кайл; Гробницы, Ванди; Уорник, Меррилл; У, Дуншэн (2020). «Странная пародия на идеальные факторизации». Дж. Теория чисел (234): 31–47. arXiv : 2006.10697 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) версия arXiv

Ссылки [ править ]

Бэнкс, Уильям Д.; Гюлоглу, Ахмет М.; Неванс, К. Уэсли; Сайдак, Филип (2008). «Числа Декарта». В Де Конинке, Жан-Мари ; Гранвилл, Эндрю ; Лука, Флориан (ред.). Анатомия целых чисел. По материалам семинара по CRM, Монреаль, Канада, 13–17 марта 2006 г. Материалы CRM и конспекты лекций. Том. 46. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 167–173. ISBN 978-0-8218-4406-9 . Збл 1186.11004 .
Клее, Виктор ; Вагон, Стэн (1991). Старые и новые нерешенные проблемы плоской геометрии и теории чисел . Математические изложения Дольчиани. Том. 11. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . ISBN 0-88385-315-9 . Збл 0784.51002 .
Тот, Ласло (2021). «О плотности подделки нечетных совершенных чисел» (PDF) . Вычислить. Методы Науч. Технол . 27 (1). arXiv : 2101.09718 . .

Эта теории чисел статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] В настоящее время единственные известные почти совершенные числа — это неотрицательные степени 2 , следовательно, единственное известное нечетное почти идеальное число — это $2. 0 = 1.$

[2] Бэнкс, Уильям Д.; Гюлоглу, Ахмет М.; Неванс, К. Уэсли; Сайдак, Филип (2008), «Числа Декарта» , Анатомия целых чисел. По материалам семинара CRM, Монреаль, Канада, 13–17 марта 2006 г. , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество (AMS), стр. 167–173, ISBN. 978-0-8218-4406-9 , получено 13 мая 2024 г.

[Quanta-3] Перейти обратно: ^а ^б Надис, Стив (10 сентября 2020 г.). «Математики открывают новый фронт в решении древней проблемы чисел» . Журнал Кванта . Проверено 3 октября 2021 г.

[BYU-4] Андерсен, Николас; Дарем, Спенсер; Гриффин, Майкл Дж.; Хейлз, Джонатан; Дженкинс, Пол; Кек, Райан; Ко, Ханкун; Молнар, Грант; Мосс, Эрик; Нильсен, Пейс П.; Ниендорф, Кайл; Гробницы, Ванди; Уорник, Меррилл; У, Дуншэн (2020). «Странная пародия на идеальные факторизации». Дж. Теория чисел (234): 31–47. arXiv : 2006.10697 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) версия arXiv

[1]

[2]

[3]

[4]