Число Декарта
В теории чисел число Декарта — это нечетное число , которое было бы нечетным совершенным числом, если бы один из его составных множителей был простым . Они названы в честь Рене Декарта, который заметил, что число D = 3. 2 ⋅7 2 ⋅11 2 ⋅13 2 ⋅22021 = (3⋅1001) 2 ⋅ (22⋅1001 − 1) = 198585576189 было бы нечетным совершенным числом, если бы только 22021 было простым числом , поскольку функция суммы делителей для D удовлетворяла бы, если бы 22021 было простым,
где мы игнорируем тот факт, что 22021 является составным ( 22021 = 19 2 ⋅ 61 ).
Число Декарта определяется как нечетное число n = m ⋅ p, где m и p и взаимно просты 2 n = σ( m ) ⋅ ( p + 1) , откуда p считается «пародийным» простым числом. Приведенный пример является единственным известным на данный момент.
Если m — нечетное почти идеальное число , [1] то есть σ( m ) = 2 m − 1 и 2 m − 1 считается «обманным» простым числом, тогда n = m ⋅ (2 m − 1) является числом Декарта, поскольку σ( n ) = σ( м ⋅ (2 м - 1)) знак равно σ( м ) ⋅ 2 м знак равно (2 м - 1) ⋅ 2 м знак равно 2 п . Если бы 2 m − 1 были простыми, n было бы нечетным совершенным числом.
Свойства [ править ]
Бэнкс и др. в 2008 году показал, что если n — бескубное число Декарта, не делящееся на , то n имеет более миллиона различных простых делителей. [2]
Тот показал в 2021 году, что если обозначает число Декарта (кроме примера Декарта) с псевдопростым множителем , затем .
Обобщения [ править ]
Джон Войт обобщил числа Декарта, допустив отрицательные основания. Он нашел пример . [3] Последующая работа группы из Университета Бригама Янга обнаружила больше примеров, похожих на пример Войта: [3] а также разрешен новый класс подделок, где можно также не замечать, что простое число при факторизации совпадает с другим простым числом. [4]
См. также [ править ]
- Число Эрдеша – Николаса , еще один тип почти идеального числа.
Примечания [ править ]
- ^ В настоящее время единственные известные почти совершенные числа - это неотрицательные степени 2 , следовательно, единственное известное нечетное почти идеальное число - это 2. 0 = 1.
- ^ Бэнкс, Уильям Д.; Гюлоглу, Ахмет М.; Неванс, К. Уэсли; Сайдак, Филип (2008), «Числа Декарта» , Анатомия целых чисел. По материалам семинара CRM, Монреаль, Канада, 13–17 марта 2006 г. , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество (AMS), стр. 167–173, ISBN. 978-0-8218-4406-9 , получено 13 мая 2024 г.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Надис, Стив (10 сентября 2020 г.). «Математики открывают новый фронт в решении древней проблемы чисел» . Журнал Кванта . Проверено 3 октября 2021 г.
- ^ Андерсен, Николас; Дарем, Спенсер; Гриффин, Майкл Дж.; Хейлз, Джонатан; Дженкинс, Пол; Кек, Райан; Ко, Ханкун; Молнар, Грант; Мосс, Эрик; Нильсен, Пейс П.; Ниендорф, Кайл; Гробницы, Ванди; Уорник, Меррилл; У, Дуншэн (2020). «Странная пародия на идеальные факторизации». Дж. Теория чисел (234): 31–47. arXiv : 2006.10697 .
{{cite journal}}
: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) версия arXiv
Ссылки [ править ]
- Бэнкс, Уильям Д.; Гюлоглу, Ахмет М.; Неванс, К. Уэсли; Сайдак, Филип (2008). «Числа Декарта». В Де Конинке, Жан-Мари ; Гранвилл, Эндрю ; Лука, Флориан (ред.). Анатомия целых чисел. По материалам семинара по CRM, Монреаль, Канада, 13–17 марта 2006 г. Материалы CRM и конспекты лекций. Том. 46. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 167–173. ISBN 978-0-8218-4406-9 . Збл 1186.11004 .
- Клее, Виктор ; Вагон, Стэн (1991). Старые и новые нерешенные проблемы плоской геометрии и теории чисел . Математические изложения Дольчиани. Том. 11. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . ISBN 0-88385-315-9 . Збл 0784.51002 .
- Тот, Ласло (2021). «О плотности подделки нечетных совершенных чисел» (PDF) . Вычислить. Методы Науч. Технол . 27 (1). arXiv : 2101.09718 . .