Идеальное число

Чтобы узнать о фильме 2012 года, см. «Идеальное число» (фильм) .

Иллюстрация статуса идеального числа числа 6

В теории чисел совершенное число — это целое положительное число , равное сумме своих положительных собственных делителей , то есть делителей, исключающих само число. Например, число 6 имеет собственные делители 1, 2 и 3, а 1 + 2 + 3 = 6, поэтому 6 — совершенное число. Следующее совершенное число — 28, поскольку 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Сумма собственных делителей числа называется его аликвотной суммой , поэтому совершенное число — это то, которое равно его аликвотной сумме. Эквивалентно, совершенное число — это число, которое составляет половину суммы всех своих положительных делителей; в символах, $\sigma _{1}(n)=2n$ где $\sigma _{1}$ — функция суммы делителей .

Это определение древнее и появляется еще в » Евклида «Началах (VII.22), где оно называется τέλειος ἀριθμός ( совершенное , идеальное или полное число ). Евклид также доказал правило образования (IX.36), согласно которому $q(q+1)/2$ является четным совершенным числом всякий раз, когда $q$ является простым числом формы $2^{p}-1$ для положительного целого числа $p$— то, что сейчас называется простым числом Мерсенна . Два тысячелетия спустя Леонард Эйлер доказал, что все даже совершенные числа имеют именно такой вид. Это известно как теорема Евклида-Эйлера .

Неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа и существует ли бесконечно много совершенных чисел. Первые несколько совершенных чисел — 6 , 28 , 496 и 8128 .

История

Примерно в 300 г. до н.э. Евклид показал, что если 2 ^п − 1 простое, тогда 2 ^{р -1} (2 ^п − 1) идеально.Первые четыре совершенных числа были единственными, известными ранней греческой математике , а математик Никомах заметил 8128 еще около 100 г. н.э. Говоря современным языком, Никомах без доказательства утверждает, что каждое совершенное число имеет вид $2^{n-1}(2^{n}-1)$ где $2^{n}-1$ является простым. Похоже, он не осознает, что n само должно быть простым. Он также говорит (ошибочно), что совершенные числа попеременно оканчиваются на 6 или 8. (Первые 5 совершенных чисел оканчиваются цифрами 6, 8, 6, 8, 6; но шестое также оканчивается на 6.) Филон Александрийский в своей книге первого века «О сотворении мира» упоминает совершенные числа, утверждая, что мир была создана за 6 дней, а луна обращается по орбите за 28 дней, потому что 6 и 28 идеальны. За Филоном следует Ориген , и Дидимом Слепым , который добавляет наблюдение, что существует только четыре совершенных числа, меньших 10 000. (Комментарий к Бытие 1. 14–19). Святой Августин дает определение совершенных чисел в «Городе Божием» (книга XI, глава 30) в начале V века нашей эры, повторяя утверждение, что Бог сотворил мир за 6 дней, потому что 6 — наименьшее совершенное число. Египетский математик Исмаил ибн Фаллус (1194–1252) упомянул следующие три совершенных числа (33 550 336; 8 589 869 056 и 137 438 691 328) и перечислил еще несколько, которые, как теперь известно, неверны. Первое известное европейское упоминание о пятом совершенном числе — это рукопись, написанная между 1456 и 1461 годами неизвестным математиком. В 1588 году итальянский математик Пьетро Катальди определил шестое (8 589 869 056) и седьмое (137 438 691 328) совершенные числа, а также доказал, что каждое совершенное число, полученное по правилу Евклида, оканчивается цифрой 6 или 8.

Даже идеальные числа

Смотрите также: теорема Евклида – Эйлера.

Нерешенная задача по математике :

Существует ли бесконечно много совершенных чисел?

(еще нерешенные задачи по математике)

Евклид доказал, что $2^{p-1}(2^{p}-1)$ является четным совершенным числом всякий раз, когда $2^{p}-1$ является простым ( Элементы , предлож. IX.36).

Например, первые четыре совершенных числа генерируются по формуле $2^{p-1}(2^{p}-1),$ где p — , простое число а именно: $${\begin{aligned}p=2&:\quad 2^{1}(2^{2}-1)=2\times 3=6\\p=3&:\quad 2^{2}(2^{3}-1)=4\times 7=28\\p=5&:\quad 2^{4}(2^{5}-1)=16\times 31=496\\p=7&:\quad 2^{6}(2^{7}-1)=64\times 127=8128.\end{aligned}}$$

Простые числа формы $2^{p}-1$ известны как простые числа Мерсенна , в честь монаха семнадцатого века Марина Мерсенна , который изучал теорию чисел и совершенные числа. Для $2^{p}-1$ чтобы быть простым, необходимо, чтобы p само было простым. Однако не все числа вида $2^{p}-1$ с простым числом p являются простыми; например, 2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89 не является простым числом. На самом деле простые числа Мерсенна очень редки — из 2 610 944 простых чисел p до 43 112 609 , $2^{p}-1$ является простым только для 47 из них.

Хотя Никомах заявил (без доказательства), что все совершенные числа имеют вид $2^{n-1}(2^{n}-1)$ где $2^{n}-1$ является простым (хотя он заявил об этом несколько иначе), Ибн аль-Хайсам (Альхазен) около 1000 г. н.э. не пожелал заходить так далеко, заявив вместо этого (также без доказательства), что эта формула дает только каждое четное совершенное число. Лишь в XVIII веке Леонард Эйлер доказал, что формула $2^{p-1}(2^{p}-1)$ даст все четные совершенные числа. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна; каждое простое число Мерсенна порождает одно четное совершенное число, и наоборот. Этот результат часто называют теоремой Евклида-Эйлера .

Исчерпывающий поиск, проведенный проектом распределенных вычислений GIMPS, показал, что первые 48 четных совершенных чисел $2^{p-1}(2^{p}-1)$ для

р = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 и 57885161 (последовательность A000043 в ОЭИС ).

Также были обнаружены три высших совершенных числа, а именно те, для которых p = 74207281, 77232917 и 82589933. Хотя все еще возможно, что в этом диапазоне могут быть и другие, первоначальные, но исчерпывающие тесты GIMPS не выявили других совершенных чисел для p ниже. 109332539. По состоянию на декабрь 2018 г. , известно 51 простое число Мерсенна, и, следовательно, 51 четное совершенное число (самое большое из которых 2 ^82589932 × (2 ^82589933 − 1) с 49 724 095 цифр). Неизвестно, существует ли бесконечно много совершенных чисел, а также бесконечно много простых чисел Мерсенна.

А также иметь форму $2^{p-1}(2^{p}-1)$, каждое четное совершенное число является $(2^{p}-1)$-е треугольное число (и, следовательно, равное сумме целых чисел от 1 до $2^{p}-1$) и $2^{p-1}$-е шестиугольное число . Более того, каждое четное совершенное число, кроме 6, является ${\tfrac {2^{p}+1}{3}}$-е центрированное девятиугольное число и равно сумме первого $2^{\frac {p-1}{2}}$ нечетные кубики (нечетные кубики до куба $2^{\frac {p+1}{2}}-1$):

$${\begin{alignedat}{3}6&=2^{1}(2^{2}-1)&&=1+2+3,\\[8pt]28&=2^{2}(2^{3}-1)&&=1+2+3+4+5+6+7\\&&&=1^{3}+3^{3}\\[8pt]496&=2^{4}(2^{5}-1)&&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}\\[8pt]8128&=2^{6}(2^{7}-1)&&=1+2+3+\cdots +125+126+127\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}\\[8pt]33550336&=2^{12}(2^{13}-1)&&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}\end{alignedat}}$$

Даже совершенные числа (кроме 6) имеют вид $$T_{2^{p}-1}=1+{\frac {(2^{p}-2)\times (2^{p}+1)}{2}}=1+9\times T_{(2^{p}-2)/3}$$

при этом каждое полученное треугольное число T ₇ = 28 , T ₃₁ = 496 , T ₁₂₇ = 8128 (после вычитания 1 из совершенного числа и деления результата на 9) заканчивается на 3 или 5, последовательность начинается с T ₂ = 3 , T ₁₀ = 55 , Т ₄₂ = 903 , Т ₂₇₃₀ = 3727815,... Отсюда следует, что путем сложения цифр любого четного совершенного числа (кроме 6), затем сложения цифр полученного числа и повторения этого процесса до тех пор, пока не будет получена единственная цифра (называемая цифровым корнем ), всегда получается число 1. Ибо Например, цифровой корень числа 8128 равен 1, потому что 8 + 1 + 2 + 8 = 19 , 1 + 9 = 10 и 1 + 0 = 1 . Это работает со всеми совершенными числами. $2^{p-1}(2^{p}-1)$ с нечетным простым числом p и, фактически, со всеми числами вида $2^{m-1}(2^{m}-1)$ для нечетного целого числа (не обязательно простого) m .

Благодаря своей форме, $2^{p-1}(2^{p}-1),$ каждое четное совершенное число представлено в двоичной форме как p единиц, за которыми следует p - 1 нулей; например:

$${\begin{array}{rcl}6_{10}=&2^{2}+2^{1}&=110_{2}\\28_{10}=&2^{4}+2^{3}+2^{2}&=11100_{2}\\496_{10}=&2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}&=111110000_{2}\\8128_{10}=&\!\!2^{12}+2^{11}+2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}\!\!&=1111111000000_{2}\end{array}}$$

Таким образом, любое четное совершенное число является пагубным числом .

Каждое четное совершенное число также является практическим числом (см. Сопутствующие понятия ).

Нечетные совершенные числа

Нерешенная задача по математике :

Существуют ли нечетные совершенные числа?

(еще нерешенные задачи по математике)

Неизвестно, существуют ли какие-либо нечетные совершенные числа, хотя были получены различные результаты. В 1496 году Жак Лефевр заявил, что правило Евклида дает все совершенные числа: тем самым подразумевая, что не существует нечетного совершенного числа. Эйлер заявил: «Существуют ли… нечетные совершенные числа — это самый трудный вопрос». Совсем недавно Карл Померанс представил эвристический аргумент , предполагающий, что на самом деле не должно существовать нечетных совершенных чисел. Все совершенные числа также являются числами гармонических делителей , и также было высказано предположение, что не существует нечетных чисел гармонических делителей, отличных от 1. Многие из доказанных свойств нечетных совершенных чисел также применимы к числам Декарта , и Пейс Нильсен предположил, что достаточно изучение этих чисел может привести к доказательству того, что нечетных совершенных чисел не существует.

Любое нечетное совершенное число N должно удовлетворять следующим условиям:

• Н > 10 ¹⁵⁰⁰ .
• N не делится на 105.
• N имеет вид N ≡ 1 (по модулю 12) или N ≡ 117 (по модулю 468) или N ≡ 81 (по модулю 324).
• Наибольший простой делитель N больше 10. ⁸ и меньше чем ${\sqrt[{3}]{3N}}.$
• Второй по величине простой множитель больше 10. ⁴ , и меньше, чем ${\sqrt[{5}]{2N}}$.
• Третий по величине простой множитель больше 100, и меньше чем ${\sqrt[{6}]{2N}}.$
• N имеет как минимум 101 простой делитель и как минимум 10 различных простых делителей. Если 3 не является одним из сомножителей числа N , то N имеет по крайней мере 12 различных простых сомножителей.
• N имеет вид

$N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}},$

где:

• q , p ₁ , ..., p _k — различные нечетные простые числа (Эйлера).
• q ≡ α ≡ 1 ( mod 4) (Эйлер).
• Наименьший простой делитель числа N не превышает ${\frac {k-1}{2}}.$
• Хотя бы одна из степеней простых чисел, делящих n, превышает 10. ⁶² .
• $N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}$
• $\alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {99k-224}{37}}$.
• $qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}$.
• ${\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p_{1}}}+{\frac {1}{p_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{p_{k}}}<\ln 2$.

Кроме того, известно несколько второстепенных результатов об экспонентах е ₁ , ..., е _к .

• Не все e _i ≡ 1 ( mod 3).
• Не все e _i ≡ 2 ( mod 5).
• Если все e _i ≡ 1 ( mod 3) или 2 ( mod 5), то наименьший простой делитель числа N должен лежать между 10 ⁸ и 10 ¹⁰⁰⁰ .
• В более общем смысле, если все 2 e _i +1 имеют простой множитель в данном конечном множестве S , то наименьший простой множитель числа N должен быть меньше эффективно вычислимой константы, зависящей только S. от
• Если ( e ₁ , ..., e _k ) = (1, ..., 1, 2, ..., 2) с t единицами и u двойками, то $(t-1)/4\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}$.
• ( е ₁ , ..., е _k ) ≠ (1, ..., 1, 3), (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6).
• Если e ₁ = ... = e _k = e , то
  • е не может быть 3, 5, 24, 6, 8, 11, 14 или 18.
  • $k\leq 2e^{2}+8e+2$ и $N<2^{4^{2e^{2}+8e+3}}$.

В 1888 году Сильвестр заявил:

... продолжительное размышление на эту тему убедило меня в том, что существование любого такого [нечетного совершенного числа] - его выход, так сказать, из сложной паутины условий, которые окружают его со всех сторон - будет немного коротким. чуда.

Незначительные результаты

Все даже совершенные числа имеют очень точную форму; нечетные совершенные числа либо не существуют, либо встречаются редко. Существует ряд результатов о совершенных числах, которые на самом деле довольно легко доказать, но, тем не менее, на первый взгляд они впечатляют; некоторые из них также подпадают под Ричарда Гая строгий закон малых чисел :

• Единственное четное совершенное число вида n ³ + 1 равно 28 ( Маковский 1962 ).
• 28 также является единственным четным совершенным числом, которое представляет собой сумму двух положительных кубов целых чисел ( Галлардо 2010 ).
• Сумма обратных делителей совершенного числа N должна составлять 2 (чтобы получить это, возьмите определение совершенного числа, $\sigma _{1}(n)=2n$и разделим обе части на n ):
  • На 6 у нас есть ${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1}}={\frac {1}{6}}+{\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}+{\frac {6}{6}}={\frac {1+2+3+6}{6}}={\frac {2\cdot 6}{6}}=2$;
  • У нас есть 28 $1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2$, и т. д.
• Число делителей совершенного числа (четного или нечетного) должно быть четным, поскольку N не может быть полным квадратом.
  • Из этих двух результатов следует, что каждое совершенное число является гармоническим числом Оре .
• Четные совершенные числа не являются трапециевидными числами ; то есть их нельзя представить в виде разности двух положительных непоследовательных треугольных чисел . Существует всего три типа нетрапециевидных чисел: четные совершенные числа, степени двойки и числа вида $2^{n-1}(2^{n}+1)$ образуется как произведение простого числа Ферма $2^{n}+1$ со степенью двойки аналогично построению четных совершенных чисел из простых чисел Мерсенна.
• Число совершенных чисел меньше n меньше, чем $c{\sqrt {n}}$, где c > 0 — константа. На самом деле это $o({\sqrt {n}})$, используя обозначение Little-o .
• Каждое четное совершенное число оканчивается на 6 или 28 по основанию десять; и, за единственным исключением 6, оканчивается на 1 по основанию 9. Следовательно, в частности, цифровой корень любого четного совершенного числа, кроме 6, равен 1.
• Единственное совершенное число без квадратов — 6.

Связанные понятия

Диаграмма Эйлера чисел до 100:

   Обильный

   Примитивное изобилие

   Очень обильный

   Сверхобильные и очень сложные

   Колоссально обильный и превосходный высококомпозитный

   Странный

   Идеальный

   Композитный

   Дефицит

Сумма собственных делителей дает различные другие виды чисел. Числа, у которых сумма меньше самого числа, называются недостаточными , а где она больше числа, — обильными . Эти термины, вместе с самим совершенством , происходят из греческой нумерологии . Пара чисел, представляющая собой сумму собственных делителей друг друга, называется дружественной , а более крупные циклы чисел называются общительной . Положительное целое число, каждое меньшее положительное целое число которого представляет собой сумму различных его делителей, является практическим числом .

По определению, совершенное число — это фиксированная точка ограниченной функции делителя s ( n ) = σ ( n ) − n , а последовательность аликвот , связанная с совершенным числом, является постоянной последовательностью. Все совершенные числа также ${\mathcal {S}}$-совершенные числа, или числа Гранвилля .

— Полусовершенное число натуральное число, равное сумме всех или некоторых собственных делителей. Полусовершенное число, равное сумме всех своих собственных делителей, является совершенным числом. Наиболее распространенные числа также полусовершенны; Множество чисел, которые не являются полусовершенными, называются странными числами .

См. также

• Гиперсовершенное число
• Ленстерская группа
• Список простых чисел Мерсенна и совершенных чисел
• Умножить совершенное число
• Суперсовершенные числа
• Унитарное совершенное число
• Номер гармонического делителя

Ссылки

Источники

• Евклид, «Начала» , Книга IX, Предложение 36. См. на сайте Д.Э. Джойса перевод и обсуждение этого предложения и его доказательства.
• Канольд, Х.-Дж. (1941). «Исследования нечетных совершенных чисел». Журнал чистой и прикладной математики . 1941 (183): 98–109. дои : 10.1515/crll.1941.183.98 . S2CID   115983363 .
• Стойервальд, Р. «Ужесточение необходимого условия существования нечетного совершенного числа». С.-Б. Баварский. Академическая наука . 1937 : 69–72.

Дальнейшее чтение

• Нанкар, М.Л.: «История совершенных чисел», Ганита Бхарати 1, вып. 1–2 (1979), 7–8.
• Хагис, П. (1973). «Нижняя граница множества нечетных совершенных простых чисел» . Математика вычислений . 27 (124): 951–953. дои : 10.2307/2005530 . JSTOR   2005530 .
• Риле, HJJ «Совершенные числа и аликвотные последовательности» в книге HW Lenstra и R. Tijdeman (ред.): Вычислительные методы в теории чисел , Vol. 154, Амстердам, 1982, стр. 141–157.
• Ризель, Х. Простые числа и компьютерные методы факторизации , Биркхаузер, 1985.
• Шандор, Джозеф; Крстичи, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II . Дордрехт: Клювер Академик. стр. 15 –98. ISBN  1-4020-2546-7 . Збл   1079.11001 .

Внешние ссылки

• «Совершенное число» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Дэвид Мьюз: Идеальные, дружелюбные и общительные числа
• Совершенные числа – история и теория
• Вайсштейн, Эрик В. «Совершенное число» . Математический мир .
• Последовательность OEIS A000396 (Совершенные числа)
• OddPerfect.org Проект распределенных вычислений для поиска нечетных совершенных чисел.
• Отличный интернет-поиск простых чисел Мерсенна (GIMPS)
• Perfect Numbers , математический форум в Дрекселе.
• Граймс, Джеймс. «8128: Совершенные числа» . Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 31 мая 2013 г. Проверено 2 апреля 2013 г.