Аликвотная сумма

В теории чисел аликвотная сумма $s (n)$ натурального числа $n$ является суммой всех собственных делителей числа $n$ , то есть всех делителей числа $n$ , кроме $самого числа n$ .То есть, $s(n)=\sum _{{d|n,} \atop {d\neq n}}d\,.$

Его можно использовать для характеристики простых чисел , совершенных чисел , общительных чисел , дефицитных чисел , обильных чисел и неприкасаемых чисел , а также для определения аликвотной последовательности числа.

Примеры

Например, собственные делители числа 12 (то есть положительные делители числа 12, не равные 12) равны 1, 2, 3, 4 и 6, поэтому аликвотная сумма числа 12 равна 16, т. е. ( 1 + 2 + 3+4+6 ).

Значения $s (n)$ для $n$ = 1, 2, 3, ... таковы:

0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, 1, 10, 9, 15, 1, 21, 1, 22, 11, 14, 1, 36, 6, 16, 13, 28, 1, 42, 1, 31, 15, 20, 13, 55, 1, 22, 17, 50, 1, 54, 1, 40, 33, 26, 1, 76, 8, 43, ... (последовательность A001065 в OEIS )

Характеристика классов чисел

Функция суммы аликвот может использоваться для характеристики нескольких известных классов чисел:

1 — единственное число, сумма аликвот которого равна 0.
Число является простым тогда и только тогда, когда его аликвотная сумма равна 1. ^[1]
Аликвотные суммы совершенных , недостаточных и обильных чисел равны, меньше и больше самого числа соответственно. ^[1] Квазисовершенные числа (если такие числа существуют) — это числа $n$ , аликвотные суммы которых равны $n + 1$ . Почти совершенные числа (которые включают степени 2 и являются единственными известными такими числами) — это числа $n,$ аликвотные суммы которых равны $n - 1$ .
Неприкасаемые числа — это числа, которые не являются аликвотной суммой любого другого числа. Их исследование восходит, по крайней мере, к Абу Мансуру аль-Багдади (около 1000 г. н.э.), который заметил, что и 2, и 5 являются неприкасаемыми. ^[1]^[2] Пауль Эрдеш доказал, что их число бесконечно. ^[3] Гипотеза о том, что 5 является единственным нечетным неприкасаемым числом, остается недоказанной, но следует из одной из форм гипотезы Гольдбаха вместе с наблюдением, что для полупростого числа $pq$ аликвотная сумма равна $p + q + 1$ . ^[1]

Математики Поллак и Померанс (2016) отметили, что одним из «любимых предметов исследования» Эрдёша была функция аликвотной суммы.

Итерация

Итерация функции суммы аликвот дает последовательность аликвот $n, s (n), s (s (n)), \dots$ неотрицательного целого числа $n$ (в этой последовательности мы определяем $s (0) = 0$ ).

Общительные числа — это числа, аликвотная последовательность которых является периодической последовательностью . Дружественные числа — это общительные числа, аликвотная последовательность которых имеет период 2.

Остается неизвестным, всегда ли эти последовательности заканчиваются простым числом , совершенным числом или периодической последовательностью социальных чисел. ^[4]

См. также

Функция суммы положительных делителей , сумма ( $х-$ х степеней) положительных делителей числа.
Уильям Оберивский , средневековый нумеролог, интересующийся аликвотными суммами.

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Поллак, Пол; Померанс, Карл (2016), «Некоторые проблемы Эрдеша о функции суммы делителей», Труды Американского математического общества , серия B, 3 : 1–26, doi : 10.1090/btran/10 , MR 3481968
^ Сезиано, Дж. (1991), «Две проблемы теории чисел в исламские времена», Архив истории точных наук , 41 (3): 235–238, doi : 10.1007/BF00348408 , JSTOR 41133889 , MR 1107382 , S2CID 115235810
^ Эрдеш, П. (1973), «О числах вида $\sigma (n)-n$ и $n-\phi (n)$ ( PDF) , Элементы математики , 28 : 83–86, МР 0337733
^ Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Каталана об аликвотной последовательности» . Математический мир .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Ограниченная функция делителя» . Математический мир .

[pp-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Поллак, Пол; Померанс, Карл (2016), «Некоторые проблемы Эрдеша о функции суммы делителей», Труды Американского математического общества , серия B, 3 : 1–26, doi : 10.1090/btran/10 , MR 3481968

[s-2] Сезиано, Дж. (1991), «Две проблемы теории чисел в исламские времена», Архив истории точных наук , 41 (3): 235–238, doi : 10.1007/BF00348408 , JSTOR 41133889 , MR 1107382 , S2CID 115235810

[e-3] Эрдеш, П. (1973), «О числах вида $\sigma (n)-n$ и $n-\phi (n)$ ( PDF) , Элементы математики , 28 : 83–86, МР 0337733

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Каталана об аликвотной последовательности» . Математический мир .

[1]

[2]

[3]

[4]