Дружественные числа

Дружественные числа — это два разных натуральных числа, связанных таким образом, что сумма собственных делителей каждого равна другому числу. То есть s ( a )= b и s ( b )= a , где s ( n )=σ( n )-n равно сумме положительных делителей n, кроме самого n (см. также функцию делителя ).

Наименьшая пара дружественных чисел — ( 220 , 284 ). Они дружественны, потому что собственные делители числа 220 суть 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, сумма которых равна 284; а собственные делители числа 284 — это 1, 2, 4, 71 и 142, сумма которых равна 220. (Правильный делитель числа — это положительный делитель этого числа, отличный от самого числа. Например, правильные делители числа из 6 это 1, 2 и 3.)

Первые десять дружественных пар: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), ( 17296, 18416), (63020, 76084) и (66928, 66992). (последовательность A259180 в OEIS ). (Также см. OEIS : A002025 и OEIS : A002046 ). Неизвестно, существует ли бесконечно много пар дружественных чисел.

Пара дружественных чисел образует аликвотную последовательность периода . 2. Связанное с этим понятие — понятие совершенного числа , которое представляет собой число, равное сумме своих собственных делителей, другими словами, число, которое образует аликвотную последовательность периода 1 Числа, являющиеся членами аликвотной последовательности с периодом больше 2, называются общительными числами .

История [ править ]

Нерешенная задача по математике :

Существует ли бесконечно много дружественных чисел?

(еще нерешенные задачи по математике)

Дружественные числа были известны пифагорейцам , которые приписывали им множество мистических свойств. Общая формула, по которой можно было вывести некоторые из этих чисел, была изобретена около 850 г. иракским математиком Табитом ибн Куррой (826–901). Другими арабскими математиками, изучавшими дружественные числа, являются аль-Маджрити (умер в 1007 г.), аль-Багдади (980–1037 гг.) и аль-Фариси (1260–1320 гг.). Иранский Мухаммад математик Бакир Язди (16 век) открыл пару (9363584, 9437056), хотя это часто приписывают Декарту . ^[1] Большая часть работ восточных математиков в этой области забыта.

Формула Табита ибн Курры была заново открыта Ферма (1601–1665) и Декартом (1596–1650), которым ее иногда приписывают, и расширена Эйлером ( 1707–1783). расширил его. В 1972 году Борхо Ферма и Декарт также заново открыли пары дружественных чисел, известные арабским математикам. Эйлер также открыл десятки новых пар. ^[2] Вторая наименьшая пара (1184, 1210) была открыта в 1867 году 16-летним Б. Николо И. Паганини (не путать с композитором и скрипачом), хотя ранние математики ее не заметили. ^[3]^[4]

Первые десять дружеских пар
#	м	н
1	220	284
2	1,184	1,210
3	2,620	2,924
4	5,020	5,564
5	6,232	6,368
6	10,744	10,856
7	12,285	14,595
8	17,296	18,416
9	63,020	76,084
10	66,928	66,992

Известно более 1 000 000 000 дружественных пар. ^[5]

Правила генерации [ править ]

Хотя эти правила действительно генерируют некоторые пары дружественных чисел, известно множество других пар, поэтому эти правила ни в коем случае не являются всеобъемлющими.

В частности, два приведенных ниже правила производят только четные дружественные пары, поэтому они не представляют интереса для открытой проблемы поиска дружественных пар, взаимно простых с 210 = 2·3·5·7, в то время как более 1000 пар взаимно простых с 30 = 2·3 ·5 известны [García, Pedersen & te Riele (2003), Sándor & Crstici (2004)].

Сабита Теорема ибн Курры

Теорема Табита ибн Курры — метод открытия дружественных чисел, изобретенный в 9 веке арабским математиком Сабитом ибн Куррой . ^[6]

В нем говорится, что если

{\begin{aligned}p&=3\times 2^{n-1}-1,\\q&=3\times 2^{n}-1,\\r&=9\times 2^{2n-1}-1,\end{aligned}}

где $n > 1$ — целое число , а $p, q, r$ — простые числа , то $2 н \times p \times q$ и $2 н \times r$ — пара дружественных чисел. Эта формула дает пары $(220, 284)$ для $n = 2$ , $(17296, 18416)$ для $n = 4$ и $(9363584, 9437056)$ для $n = 7$ , но другие такие пары неизвестны. Числа вида $3\times2 н - 1$ известны как числа Табита . Чтобы формула Ибн Курры образовала дружественную пару, два последовательных числа Сабита должны быть простыми; это серьезно ограничивает возможные значения $n$ .

Чтобы доказать теорему, Сабит ибн Курра доказал девять лемм, разделенных на две группы. Первые три леммы касаются определения кратных частей натурального целого числа . Вторая группа лемм более конкретно касается образования совершенных, избыточных и дефицитных чисел. ^[6]

Правило Эйлера [ править ]

Правило Эйлера является обобщением теоремы Сабита ибн Курры. В нем говорится, что если

{\begin{aligned}p&=(2^{n-m}+1)\times 2^{m}-1,\\q&=(2^{n-m}+1)\times 2^{n}-1,\\r&=(2^{n-m}+1)^{2}\times 2^{m+n}-1,\end{aligned}}

где

n > m > 0

— целые числа , а

p, q, r

— простые числа , то

2 н \times p \times q

и

2 н \times r

— пара дружественных чисел. Теорема Табита ибн Курры соответствует случаю

m = n - 1

. Правило Эйлера создает дополнительные дружественные пары для

(m, n) = (1,8), (29,40),

другие неизвестны. Эйлер (1747 и 1750) в общей сложности нашел 58 новых пар, увеличив число известных тогда пар до 61. ^[2]^[7]

Обычные пары [ править ]

Пусть ( $m$ , $n$ ) — пара дружественных чисел с $m < n$ , и запишите $m = gM$ и $n = gN$ где $g$ — наибольший общий делитель m $и$ n $,$ . Если $M$ и $N$ взаимно просты с $g$ и свободны от квадратов , то пара ( $m$ , $n$ ) называется регулярной (последовательность A215491 в OEIS ); в противном случае его называют нерегулярным или экзотическим . Если ( $m$ , $n$ ) является регулярным и $M$ и $N$ имеют $i$ и $j$ простых множителей соответственно, то $(m, n)$ называется типом $(i, j)$ .

Например, при $(m, n) = (220, 284)$ наибольший общий делитель равен $4$ , поэтому $M = 55$ и $N = 71$ . Следовательно, $(220, 284)$ регулярно типа $(2, 1)$ .

Дружественные пары-близнецы [ править ]

Дружественная пара $(m, n)$ нет целых чисел, $является близнецом, если между m$ и $n$ принадлежащих какой-либо другой дружественной паре (последовательность A273259 в OEIS ).

Другие результаты [ править ]

В каждом известном случае числа пары либо четные , либо оба нечетные. Неизвестно, существует ли четно-нечетная пара дружественных чисел, но если это так, то четное число должно быть либо квадратным числом, либо дважды единицей, а нечетное число должно быть квадратным числом. Однако дружественные числа, в которых два члена имеют разные наименьшие простые делители, существуют: известно семь таких пар. ^[8]Кроме того, каждая известная пара имеет хотя бы один общий простой делитель . Неизвестно, существует ли пара взаимно простых дружественных чисел, но если они существуют, то их произведение должно быть больше 10. ⁶⁵. ^[9]^[10] Кроме того, пара взаимно простых дружественных чисел не может быть получена ни по формуле Табита (см. выше), ни по какой-либо аналогичной формуле.

В 1955 году Пол Эрдеш показал, что плотность дружественных чисел относительно целых положительных чисел равна 0. ^[11]

В 1968 году Мартин Гарднер заметил, что большинство даже известных в его время дружественных пар имеют суммы, кратные 9, ^[12] правило для характеристики исключений (последовательность A291550 в OEIS ). и было получено ^[13]

Согласно гипотезе о сумме дружественных пар, когда число дружественных чисел приближается к бесконечности, процент сумм дружественных пар, делящихся на десять, приближается к 100% (последовательность A291422 в OEIS ). Хотя все дружественные пары до 10 000 являются четными, доля нечетных дружественных пар неуклонно возрастает в сторону более высоких чисел, и предположительно их больше, чем четных дружественных пар ( A360054 в OEIS ).

Существуют гауссовские дружественные пары. ^[14]

Обобщения [ править ]

Дружественные кортежи [ править ]

Дружественные числа $(m,n)$ удовлетворить $\sigma (m)-m=n$ и $\sigma (n)-n=m$ которые можно записать вместе как $\sigma (m)=\sigma (n)=m+n$ . Это можно обобщить на более крупные кортежи, скажем $(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k})$ , где нам требуется

\sigma (n_{1})=\sigma (n_{2})=\dots =\sigma (n_{k})=n_{1}+n_{2}+\dots +n_{k}

Например, (1980, 2016, 2556) — дружественная тройка (последовательность A125490 в OEIS ), а (3270960, 3361680, 3461040, 3834000) — дружественная четверка (последовательность A036471 в OEIS ).

Дружественные мультимножества определяются аналогично и немного обобщают это (последовательность A259307 в OEIS ).

Общительные номера [ править ]

Общительные числа — это числа в циклических списках чисел (длиной больше 2), где каждое число представляет собой сумму собственных делителей предыдущего числа. Например, $1264460\mapsto 1547860\mapsto 1727636\mapsto 1305184\mapsto 1264460\mapsto \dots$ являются общительными числами четвертого порядка.

Поиск общительных номеров [ править ]

можно Последовательность аликвот представить в виде ориентированного графа , $G_{n,s}$ , для данного целого числа $n$ , где $s(k)$ обозначает сумма собственных делителей $k$ . ^[15] Циклы в $G_{n,s}$ обозначают общительные числа в интервале $[1,n]$ . Двумя особыми случаями являются циклы, представляющие совершенные числа , и циклы длины два, представляющие дружественные пары .

См. также [ править ]

Обрученные числа (квазидружественные числа)
Дружественная тройка — трехзначная вариация Дружественных чисел.

Примечания [ править ]

^ Костелло, Патрик (1 мая 2002 г.). «Новые дружественные пары типа (2; 2) и типа (3; 2)» (PDF) . Математика вычислений . 72 (241): 489–497. doi : 10.1090/S0025-5718-02-01414-X . Архивировано (PDF) из оригинала 29 февраля 2008 г. Проверено 19 апреля 2007 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Сандифер, К. Эдвард (2007). Как Эйлер это сделал . Математическая ассоциация Америки . стр. 49–55. ISBN 978-0-88385-563-8 .
^ Спруньоли, Ренцо (27 сентября 2005 г.). «Введение в математику: математика в средней школе» (PDF) (на итальянском языке). Университет Флоренции: факультет систем и информатики. п. 59. Архивировано из оригинала (PDF) 13 сентября 2012 года . Проверено 21 августа 2012 года .
^ Мартин Гарднер (2020) [первоначально опубликовано в 1977 году]. Математическое магическое шоу . Американское математическое общество . п. 168. ИСБН 9781470463588 . Архивировано из оригинала 12 сентября 2023 г. Проверено 18 марта 2023 г.
^ Черных, Сергей. «Список дружеских пар» . Проверено 28 мая 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Рашед, Рошди (1994). Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй . Том. 156. Дордрехт, Бостон, Лондон: Kluwer Academic Publishers. п. 278 279. ISBN 978-0-7923-2565-9 .
^ См. Уильяма Данэма в видео: Вечер с Леонардом Эйлером - YouTube, архивировано 16 мая 2016 г. на Wayback Machine.
^ «Новости дружных пар» . Архивировано из оригинала 18 июля 2021 г. Проверено 31 января 2016 г.
^ Хагис, Питер-младший (1969). «Об относительно простых нечетных дружественных числах». Математика вычислений . 23 : 539–543. дои : 10.2307/2004381 . МР 0246816 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Хагис, Питер-младший (1970). «Нижние оценки для относительно простых дружественных чисел противоположной четности». Математика вычислений . 24 : 963–968. дои : 10.2307/2004629 . МР 0276167 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Эрдеш, Пол (2022). «О дружных числах» (PDF) . Публикации Mathematicae Дебрецен . 4 (1–2): 108–111. дои : 10.5486/PMD.1955.4.1-2.16 . S2CID 253787916 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
^ Гарднер, Мартин (1968). «Математические игры» . Научный американец . 218 (3): 121–127. Бибкод : 1968SciAm.218c.121G . doi : 10.1038/scientificamerican0368-121 . ISSN 0036-8733 . JSTOR 24926005 . Архивировано из оригинала 25 сентября 2022 г. Проверено 7 сентября 2020 г.
^ Ли, Элвин (1969). «О делимости на девять сумм четных дружественных пар» . Математика вычислений . 23 (107): 545–548. дои : 10.2307/2004382 . ISSN 0025-5718 . JSTOR 2004382 .
^ Патрик Костелло, Рэнтони AC Эдмондс. «Дружественные пары по Гауссу». Журнал математических наук Миссури, 30 (2) 107–116, ноябрь 2018 г.
^ Роча, Родриго Каэтано; Татте, Бхалчандра (2015), Обнаружение распределенных циклов в крупномасштабных разреженных графах , Бразильский симпозиум по эксплуатационным исследованиям (SBPO), doi : 10.13140/RG.2.1.1233.8640

Ссылки [ править ]

В эту статью включен текст из публикации, которая сейчас находится в свободном доступе : Чисхолм, Хью , изд. (1911). « Дружественные числа ». Британская энциклопедия (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета.
Сандор, Джозеф; Крстичи, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II . Дордрехт: Клювер Академик. стр. 100-1 32–36. ISBN 978-1-4020-2546-4 . Збл 1079.11001 .
Уэллс, Д. (1987). Словарь любопытных и интересных чисел Penguin . Лондон: Группа Пингвин . стр. 145–147.
Вайсштейн, Эрик В. «Дружная пара» . Математический мир .
Вайсштейн, Эрик В. «Правило Сабита ибн Курры» . Математический мир .
Вайсштейн, Эрик В. «Правило Эйлера» . Математический мир .

Внешние ссылки [ править ]

М. Гарсиа; Дж. М. Педерсен; HJJ те Риле (31 июля 2003 г.). «Дружественные пары, опрос» (PDF) . Отчет MAS-R0307 .
Грайм, Джеймс. «220 и 284 (Дружественные числа)» . Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 16 июля 2017 г. Проверено 2 апреля 2013 г.
Грайм, Джеймс. «MegaFavNumbers — гипотеза о четных числах» . YouTube . Архивировано из оригинала 23 ноября 2021 г. Проверено 9 июня 2020 г.
Куцуку-Аргираки, Анжелики (4 августа 2020 г.). «Дружественные числа (разработка формального доказательства в Isabelle/HOL, Архив формальных доказательств)» .
Черных, Сергей. «Список дружеских пар» . Проверено 10 сентября 2023 г. (база данных всех известных дружеских номеров)

[1] Костелло, Патрик (1 мая 2002 г.). «Новые дружественные пары типа (2; 2) и типа (3; 2)» (PDF) . Математика вычислений . 72 (241): 489–497. doi : 10.1090/S0025-5718-02-01414-X . Архивировано (PDF) из оригинала 29 февраля 2008 г. Проверено 19 апреля 2007 г.

[Sandifer-2] Перейти обратно: ^а ^б Сандифер, К. Эдвард (2007). Как Эйлер это сделал . Математическая ассоциация Америки . стр. 49–55. ISBN 978-0-88385-563-8 .

[3] Спруньоли, Ренцо (27 сентября 2005 г.). «Введение в математику: математика в средней школе» (PDF) (на итальянском языке). Университет Флоренции: факультет систем и информатики. п. 59. Архивировано из оригинала (PDF) 13 сентября 2012 года . Проверено 21 августа 2012 года .

[4] Мартин Гарднер (2020) [первоначально опубликовано в 1977 году]. Математическое магическое шоу . Американское математическое общество . п. 168. ИСБН 9781470463588 . Архивировано из оригинала 12 сентября 2023 г. Проверено 18 марта 2023 г.

[5] Черных, Сергей. «Список дружеских пар» . Проверено 28 мая 2024 г.

[Rashed-6] Перейти обратно: ^а ^б Рашед, Рошди (1994). Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй . Том. 156. Дордрехт, Бостон, Лондон: Kluwer Academic Publishers. п. 278 279. ISBN 978-0-7923-2565-9 .

[7] См. Уильяма Данэма в видео: Вечер с Леонардом Эйлером - YouTube, архивировано 16 мая 2016 г. на Wayback Machine.

[8] «Новости дружных пар» . Архивировано из оригинала 18 июля 2021 г. Проверено 31 января 2016 г.

[9] Хагис, Питер-младший (1969). «Об относительно простых нечетных дружественных числах». Математика вычислений . 23 : 539–543. дои : 10.2307/2004381 . МР 0246816 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[10] Хагис, Питер-младший (1970). «Нижние оценки для относительно простых дружественных чисел противоположной четности». Математика вычислений . 24 : 963–968. дои : 10.2307/2004629 . МР 0276167 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[11] Эрдеш, Пол (2022). «О дружных числах» (PDF) . Публикации Mathematicae Дебрецен . 4 (1–2): 108–111. дои : 10.5486/PMD.1955.4.1-2.16 . S2CID 253787916 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.

[12] Гарднер, Мартин (1968). «Математические игры» . Научный американец . 218 (3): 121–127. Бибкод : 1968SciAm.218c.121G . doi : 10.1038/scientificamerican0368-121 . ISSN 0036-8733 . JSTOR 24926005 . Архивировано из оригинала 25 сентября 2022 г. Проверено 7 сентября 2020 г.

[13] Ли, Элвин (1969). «О делимости на девять сумм четных дружественных пар» . Математика вычислений . 23 (107): 545–548. дои : 10.2307/2004382 . ISSN 0025-5718 . JSTOR 2004382 .

[14] Патрик Костелло, Рэнтони AC Эдмондс. «Дружественные пары по Гауссу». Журнал математических наук Миссури, 30 (2) 107–116, ноябрь 2018 г.

[15] Роча, Родриго Каэтано; Татте, Бхалчандра (2015), Обнаружение распределенных циклов в крупномасштабных разреженных графах , Бразильский симпозиум по эксплуатационным исследованиям (SBPO), doi : 10.13140/RG.2.1.1233.8640

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

v т Это Наборы целых чисел на основе делимости
Overview	Integer factorization Divisor Unitary divisor Divisor function Prime factor Fundamental theorem of arithmetic
Factorization forms	Prime Composite Semiprime Pronic Sphenic Square-free Powerful Perfect power Achilles Smooth Regular Rough Unusual
Constrained divisor sums	Perfect Almost perfect Quasiperfect Multiply perfect Hemiperfect Hyperperfect Superperfect Unitary perfect Semiperfect Practical Erdős–Nicolas
With many divisors	Abundant Primitive abundant Highly abundant Superabundant Colossally abundant Highly composite Superior highly composite Weird
Aliquot sequence-related	Untouchable Amicable (Triple) Sociable Betrothed
Base-dependent	Equidigital Extravagant Frugal Harshad Polydivisible Smith
Other sets	Arithmetic Deficient Friendly Solitary Sublime Harmonic divisor Descartes Refactorable Superperfect