Центрированное многоугольное число

Центрированные многоугольные числа представляют собой класс серий фигурных чисел , каждая из которых образована центральной точкой, окруженной многоугольными слоями точек с постоянным числом сторон. Каждая сторона многоугольного слоя содержит на одну точку больше, чем каждая сторона предыдущего слоя; поэтому, начиная со второго многоугольного слоя, каждый слой центрированного k -угольного числа содержит на k больше точек, чем предыдущий слой.

Примеры

Восьмиугольные числа в центре доказательства являются нечетными квадратами.

Каждое центрированное k -угольное число в серии в k раз больше предыдущего треугольного числа плюс 1. Это можно формализовать выражением ${\frac {kn(n+1)}{2}}+1$, где n — ранг серии, начиная с 0 для начальной 1. Например, каждое центрированное квадратное число в серии в четыре раза больше предыдущего треугольного числа плюс 1. Это можно формализовать выражением ${\frac {4n(n+1)}{2}}+1$.

Эти серии состоят из

• центрированные треугольные числа 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, ... ( OEIS : A005448 ),
• центрированные квадратные числа 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, ... ( OEIS : A001844 ),
• центрированные пятиугольные числа 1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, ... ( OEIS : A005891 ),
• центрированные шестиугольные числа 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, ... ( OEIS : A003215 ), которые в точности представляют собой разность последовательных кубов, т. е. n ³ - ( п - 1) ³ ,
• центрированные семиугольные числа 1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, ... ( OEIS : A069099 ),
• центрированные восьмиугольные числа 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, ... ( OEIS : A016754 ), которые являются в точности нечетными квадратами ,
• центрированные девятиугольные числа 1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, ... ( OEIS : A060544 ), которые включают в себя все четные совершенные числа, кроме 6,
• центрированные десятиугольные числа 1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, ... ( OEIS : A062786 ),
• центрированные шестнадцатеричные числа 1, 12, 34, 67, 111, 166, 232, 309, 397, 496, 606, 727, ... ( OEIS : A069125 ),
• центрированные додекагональные числа 1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, ... ( OEIS : A003154 ), которые также являются звездными числами ,

и так далее.

На следующих диаграммах показано несколько примеров центрированных многоугольных чисел и их геометрической конструкции. Сравните эти диаграммы с диаграммами в разделе «Многоугольное число» .

центрированный треугольный число	центрированный квадрат число	центрированный пятиугольный число	центрированный шестиугольный число

Центрированные квадратные числа

1		5		13		25

Центрированные шестиугольные числа

1		7		19		37

Формулы

Как видно на диаграммах выше, n -е центрированное k -угольное число можно получить, разместив k копий ( n -1)-го треугольного числа вокруг центральной точки; следовательно, n- е центрированное k -угольное число равно

$C_{k,n}={\frac {kn}{2}}(n-1)+1.$

Разность n -го и ( n +1)-го последовательных центрированных k -угольных чисел равна k (2 n +1).

n -е центрированное k -угольное число равно n -му правильному k -угольному числу плюс ( n -1) ² .

Как и в случае с правильными многоугольными числами, первое центрированное k -угольное число равно 1. Таким образом, для любого k 1 является одновременно k -угольной и центрированной k -угольной. Следующее число, которое одновременно является k -угольным и центрированным k -угольным, можно найти по формуле:

${\frac {k^{2}}{2}}(k-1)+1$

что говорит нам, что 10 является одновременно треугольным и треугольным с центром, 25 является одновременно квадратным и центрированным квадратом и т. д.

Хотя простое число p не может быть многоугольным числом (за исключением тривиального случая, т. е. каждое p является вторым p -угольным числом), многие центрированные многоугольные числа являются простыми. В самом деле, если k ≥ 3, k ≠ 8, k ≠ 9, то существует бесконечно много центрированных k -угольных чисел, которые являются простыми (в предположении гипотезы Буняковского ). Поскольку все центрированные восьмиугольные числа также являются квадратными числами , а все центрированные девятиугольные числа также являются треугольными числами (и не равны 3), то оба они не могут быть простыми числами.

Сумма обратных величин

Сумма равна для обратных величин центрированных k -угольных чисел

${\frac {2\pi }{k{\sqrt {1-{\frac {8}{k}}}}}}\tan \left({\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-{\frac {8}{k}}}}\right)$, если k ≠ 8

${\frac {\pi ^{2}}{8}}$, если к = 8

Ссылки

• Нил Слоан и Саймон Плуфф (1995). Энциклопедия целочисленных последовательностей . Сан-Диего: Академическая пресса. : Рис. M3826
• Вайсштейн, Эрик В. «Центрированное многоугольное число» . Математический мир .
• Ф. Тэпсон (1999). Оксфордский учебный словарь по математике (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. стр. 88–89. ISBN  0-19-914-567-9 .